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等比、等差数列性质总结


吉林四平 甘老师

等差数列的性质总结
1.等差数列的定义: an ? an?1 ? d (d为常数) n ? 2 ) ( ; 2.等差数列通项公式:

an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * )
推广: an ? am ? (n ? m)d . 3.等差中项

/>, 首项: a1 ,公差:d,末项: an

从而 d ?

an ? am ; n?m
a?b 或 2A ? a ? b 2

(1)如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.即: A ?

(2)等差中项:数列 ?an ? 是等差数列 ? 2an ? an-1 ? an?1 (n ? 2) ? 2an?1 ? an ? an?2 4.等差数列的前 n 项和公式:

Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? d )n ? An2 ? Bn 2 2 2 2

(其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0) 特别地,当项数为奇数 2n ? 1 时, an ?1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项

S2 n?1 ?

? 2n ? 1?? a1 ? a2n?1 ? ?
2

? 2n ? 1? an?1 (项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)
?

5.等差数列的判定方法 (1) 定义法:若 an ? an?1 ? d 或 an?1 ? an ? d (常数 n ? N ) ? ⑶数列 ?an ? 是等差数列 ? an ? kn ? b (其中 k, b 是常数)。

(2) 等差中项:数列 ?an ? 是等差数列 ? 2an ? an-1 ? an?1 (n ? 2) ? 2an?1 ? an ? an?2 . (4)数列 ?an ? 是等差数列 ? Sn ? An2 ? Bn ,(其中A、B是常数)。 6.等差数列的证明方法 定义法:若 an ? an?1 ? d 或 an?1 ? an ? d (常数 n ? N ) ?
?

?an ?是等差数列.

?an ?是等差数列.

7.提醒: (1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 d 、 n 、 an 及 Sn ,其中 a1 、 d 称作为 基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2。 (2)设项技巧: ①一般可设通项 an ? a1 ? (n ?1)d ②奇数个数成等差,可设为?, a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d ?(公差为 d ) ; ③偶数个数成等差,可设为?, a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,?(注意;公差为 2 d ) 8..等差数列的性质: (1)当公差 d ? 0 时, 等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函数,且斜率为公差 d ; 前 n 和 S n ? na1 ?

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0. 2 2 2

(2)若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若公差 d ? 0 ,则为常数列。 (3)当 m ? n ? p ? q 时,则有 am ? an ? a p ? aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? 2a p . 注: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ??? , - 1 成就孩子梦想,达成家长夙愿

吉林四平 甘老师

(4)若 ?an ? 、 ?bn ? 为等差数列,则 ??an ? b?, 1an ? ?2bn ? 都为等差数列 ?? (5) 若{ an }是等差数列,则 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?也成等差数列 (6)数列 {an } 为等差数列,每隔 k(k ? N )项取出一项( am , am?k , am?2k , am?3k , ??? )仍为等差数列
*

(7)设数列 ?an ? 是等差数列,d 为公差, S 奇 是奇数项的和, S 偶 是偶数项项的和, S n 是前 n 项的和 1.当项数为偶数 2n 时,

S奇 ? a1 ? a3 ? a5 ? ??? ? a2 n?1 ?

n ? a1 ? a2 n?1 ? ? nan 2 n ? a2 ? a2 n ? S偶 ? a2 ? a4 ? a6 ? ??? ? a2 n ? ? nan ?1 2 S偶 ? S奇 ? nan?1 ? nan ? n ? an?1 ? an ? =nd

S奇 nan a ? ? n S偶 nan?1 an?1
2、当项数为奇数 2n ? 1 时,则

? S2 n?1 ? S奇 ? S偶 ? (2n ? 1) an+1 ?S奇 ? (n ? 1)an+1 S n ?1 ? ? ?? ? 奇? ? S奇 ? S偶 ? an+1 S偶 n ? S偶 ? nan+1 ? ? ? (其中 an+1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项) .
(8) ?an ? 、 {bn } 的前 n 和分别为 An 、 Bn ,且 则

An ? f ( n) , Bn

an (2n ? 1)an A2 n ?1 ? ? ? f (2n ? 1) . bn (2n ? 1)bn B2 n ?1

(9)等差数列 {an } 的前 n 项和 Sm ? n ,前 m 项和 Sn ? m ,则前 m+n 项和 Sm?n ? ? ? m ? n ? (10)求 Sn 的最值 法一:因等差数列前 n 项和是关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性

n? N* 。
法二: “首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和 (1) 即当 a1 ? 0,d ? 0,由 ?

?an ? 0 可得 Sn 达到最大值时的 n 值. ?an?1 ? 0
?a n ? 0 可得 Sn 达到最小值时的 n 值. ?a n ?1 ? 0

(2) “首负”的递增等差数列中,前 n 项和的最小值是所有非正项之和。 即 当 a1 ? 0,d ? 0,由 ? 或求 ?an ?中正负分界项

法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数,故n取离二次函数对 称轴最近的整数时, S n 取最大值(或最小值) S p = S q则其对称轴为 n ? 。若 注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法: ①基本量法:即运用条件转化为关于 a1 和 d 的方程; ②巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量.

p?q 2

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成就孩子梦想,达成家长夙愿

吉林四平 甘老师

等比数列性质总结
1. 等比数列的定义: 2. 通项公式:

an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? , q 称为公比 an?1

an ? a1q n ?1 ?

a1 n q ? A ? B n ? a1 ? q ? 0, A ? B ? 0 ? , q

首项: a1 ;公比: q

推广: an ? amqn?m , 3. 等比中项

从而得 q

n?m

?

a an 或 q ? n?m n am am
2

(1)如果 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.即: A ? ab 或 A ? ? ab 注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数) (2)数列 ?an ? 是等比数列 ? an 2 ? an?1 ? an?1 4. 等比数列的前 n 项和 Sn 公式: (1) 当 q ? 1 时, Sn ? na1 (2) 当 q ? 1 时, S n ?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? an q 1? q

?
5. 等比数列的判定方法

a1 a ? 1 q n ? A ? A ? B n ? A ' B n ? A ' ( A, B, A ', B ' 为常数) 1? q 1? q

(1)用定义:对任意的 n,都有 an?1 ? qan或

an?1 ? q(q为常数,an ? 0) ? {an } 为等比数列 an

(2) 等比中项: an 2 ? an?1an?1 ( an ?1an ?1 ? 0) ? {an } 为等比数列 (3) 通项公式: an ? A ? B
n

? A ? B ? 0? ? {an } 为等比数列
n n

(4) 前 n 项和公式: Sn ? A ? A ? B 或Sn ? A ' B ? A ' A, B, A ', B ' 为常数 ? {an } 为等比数列 6. 等比数列的证明方法 依据定义:若

?

?

an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? 或 an?1 ? qan ? {an } 为等比数列 an?1

7. 注意 (1)等比数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 q 、 n 、 an 及 Sn ,其中 a1 、 q 称作为 基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2。 (2)为减少运算量,要注意设项的技巧,一般可设为通项; an ? a1q n?1 如奇数个数成等差,可设为?,

a a , , a, aq, aq 2 ?(公比为 q ,中间项用 a 表示) ; q2 q
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吉林四平 甘老师

8. 等比数列的性质 (1) 当 q ? 1 时
①等比数列通项公式 an ? a1q
n ?1

?

a1 n q ? A ? B n ? A ? B ? 0 ? 是关于 n 的带有系数的类指数函数,底数为公比 q q

②前 n 项和 Sn ?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? a1q n a1 a ? 1 q n ? A ? A ? B n ? A ' B n ? A ' ,系数和常数项是互为相反 1? q 1? q 1? q

数的类指数函数,底数为公比 q

(2) 对任何 m,n ? N * ,在等比数列 {an } 中,有 an ? amqn?m ,特别的,当 m=1 时,便得到等比数列的通项公 式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。 (3) 若 m+n=s+t (m, n, s, t ? N * ),则 an ? am ? as ? at .特别的,当 n+m=2k 时,得 an ? am ? ak 2 注: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3an?2 ???
a k (4) 列 {an } , {bn } 为等比数列,则数列 { } , {k ? an } , {an k } , {k ? an ? bn } { n } (k 为非零常数) 均为等比数 bn an

列. (5) 数列 {an } 为等比数列,每隔 k(k ? N * )项取出一项( am , am?k , am?2k , am?3k , ??? )仍为等比数列 (6) 如果 {an } 是各项均为正数的等比数列,则数列 {log a an } 是等差数列 (7) 若 {an } 为等比数列,则数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , ??? ,成等比数列 (8) 若 {an } 为等比数列,则数列 a1 ? a2 ????? an , (9) ①当 q ? 1 时,
? 0,则{a }为递增数列 {a11 ?0,则{ann }为递减数列 , a

an?1 ? an?2 ????? a2n ,
②当 0<q ? 1时,

a2n?1 ? a2n?2 ??????a3n 成等比数列

? 0,则{an }为递减数列 {a1 ?0,则{an }为递增数列 a1

③当 q=1 时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列); ④当 q<0 时,该数列为摆动数列. (10)在等比数列 {an } 中, 当项数为 2n (n ? N * )时,

S奇 1 ? ,. S偶 q

(11)若 {an } 是公比为 q 的等比数列,则 Sn?m ? Sn ? qn ? Sm

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