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2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第5讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用习题 理


第四章 三角函数、解三角形 第 5 讲 函数 y=Asin(ω x+φ )的图 象及应用习题 理 新人教 A 版
基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、填空题 π 1.(2016·济南模拟)将函数 y=cos 2x+1 的图象向右平移 个单位,再向下平移 1 个单位 4 后得到的函数图象对应的表达式为________. π ? π? 解析 将函数 y=cos 2x

+1 的图象向右平移 个单位得到 y=cos 2?x- ?+1=sin 2x 4? 4 ? +1,再向下平移 1 个单位得到 y=sin 2x. 答案 y=sin 2x 2.(2015· 苏 北 四 市 调 研 ) 函 数

f(x) = 2sin(ω x +

π π? ? φ )?ω >0,- <φ < ?的部分图象如图所示,则 ω ,φ 的值分别是 2 2? ? ________,________. 解析 由题图可知 T= 5 ? 5 ?11 ?5 ? ? ? ∴5π 2? π - π ?=π , ∴ω =2, 将? π ,2?代入解析式可得 2=2sin?2× π +φ ?, 12 ? 6 ?12 ?12 ? ? 12 ? π π +φ =2kπ + (k∈Z),∴φ =2kπ - , 2 3 π π π ∵- <φ < ,∴φ =- . 2 2 3 π 答案 2,- 3 π π? ? 3.(2015·河南六市联考)将奇函数 f(x)=Asin(ω x+φ )?A≠0,ω >0,- <φ < ?的 2 2? ? π 图象向左平移 个单位得到的图象关于原点对称,则 ω 的最小值为________. 6 解析 由函数为奇函数得 φ =kπ (k∈Z),又- π π <φ < ,∴φ =0,y=Asin ω x.由 2 2

π ? π ? ? π ?? ? 函数图象向左平移 个单位得到函数 y=Asin?ω ?x+ ??=Asin?ω x+ ω ?,其图象关 6 ?? 6 ? 6 ? ? ? π 于原点对称,∴有 ω =kπ (k∈Z),即 ω =6k(k∈Z),又 ω >0,∴k=1 时,ω 的最小 6 值为 6. 答案 6
1

4.(2014·江苏卷)已知函数 y=cos x 与 y=sin(2x+φ )(0≤φ <π ),它们的图象有一个横 π 坐标为 的交点,则 φ 的值是________. 3 解析 利用函数 y=cos x 与 y=sin(2x+φ )(0≤φ <π )的交点横坐标,列方程求解. π ? π ? 由题意,得 sin?2× +φ ?=cos , 3 3 ? ? π 因为 0≤φ <π ,所以φ = . 6 答案 π 6

? π π? 5.(2016·南京、盐城调研)已知函数 f(x)=2sin ω x 在区间?- , ?上的最小值为-2, ? 3 4?
则 ω 的取值范围是________. π π π π 3 解析 当 ω >0 时,- ω ≤ω x≤ ω ,由题意知- ω ≤- ,即 ω ≥ ;当 ω <0 时, 3 4 3 2 2 π π ω ≤ω x≤- ω , 4 3 π π 由题意知 ω ≤- ,∴ω ≤-2. 4 2

?3 ? 综上可知,ω 的取值范围是(-∞,-2]∪? ,+∞?. ?2 ? ?3 ? 答案 (-∞,-2]∪? ,+∞? ?2 ?
π π? ? 6.将函数 f(x)=sin(ω x+φ )?ω >0,- ≤φ < ?图象上每一点的横坐标缩短为原来的 2 2? ? π ?π ? 一半,纵坐标不变,再向右平移 个单位长度得到 y=sin x 的图象,则 f? ?=________. 6 ?6?

?1 π ? 即 f(x)=sin? x+ ?, 6? ?2
π 2 ?π ? ?π π ? ∴f? ?=sin? + ?=sin = . 4 2 ?6? ?12 6 ? 答案 2 2

π π? ? 7.已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )?ω >0,- ≤φ ≤ ?的图象上的两个相邻的最高点和最 2 2? ? 1? ? 低点的距离为 2 2,且过点?2,- ?,则函数解析式 f(x)=________. 2? ?
2

解析 据已知两个相邻最高和最低点距离为 2 2,可得

?T? +(1+1)2=2 2,解得 ?2? ? ?

2

T=4,故 ω =



π ?π x+φ ?,又函数图象过点?2,-1?,故 f(2)= = ,即 f(x)=sin? ? ? ? 2? T 2 ? 2 ? ?

1 ?π ? sin? ×2+φ ?=-sin φ =- , 2 2 ? ? π π π ?π x π ? 又- ≤φ ≤ ,解得 φ = ,故 f(x)=sin? + ?. 6? 2 2 6 ? 2 答案 sin?

?π x+π ? 6? ? 2 ? ?π ?=f ?6? ? ? ?π ?, ?π π ? ? 3 ? 且 f(x)在区间? 6 , 3 ?上有最小值, ? ? ? ?

π? ? 8.已知 f(x)=sin?ω x+ ? (ω >0), f 3? ?

无最大值,则 ω =_____________________________________. π π + 6 3 π 解析 依题意,x= = 时,y 有最小值, 2 4 ∴sin?

?π ·ω +π ?=-1,∴π ω +π =2kπ +3π (k∈Z). 3? 4 3 2 ?4 ?

14 π π π ?π π ? ∴ω =8k+ (k∈Z), 因为 f(x)在区间? , ?上有最小值, 无最大值, 所以 - ≤ , 3 3 4 ω ?6 3? 即 ω ≤12,令 k=0, 14 得ω= . 3 答案 14 3

二、解答题

? π? 9.(2016·景德镇测试)已知函数 f(x)=4cos x·sin?x+ ?+a 的最大值为 2. 6? ?

(1)求 a 的值及 f(x)的最小正周期; (2)在坐标系上作出 f(x)在[0,π ]上的图象. 1 ? 3 ? ? π? (1)f(x) = 4cos xsin ?x+ ? + a = 4cos x · ? sin x+ cos x? + a = 3sin 2x + 6? ? 2 2 ? ? π ? ? 2 2cos x+a= 3sin 2x+cos 2x+1+a=2sin?2x+ ?+1+a 的最大值为 2, 6? ? 解

3

∴a=-1,最小正周期 T=

2π =π . 2

(2)列表:

x
π 2x+ 6

0 π 6 π?

π 6 π 2 2

5π 12 π 0

2π 3 3π 2 -2

11π 12 2π 0

π 13π 6 1

f(x)=2sin?2x+ ? 6

? ?

?

1

画图如下:

10.(2015·北京卷)已知函数 f(x)=sin x-2 3sin . 2 (1)求 f(x)的最小正周期;

2

x

? 2π ? (2)求 f(x)在区间?0, ?上的最小值. 3 ? ?
解 (1)因为 f(x)=sin x+ 3cos x- 3.

? π? =2sin?x+ ?- 3. 3? ?
所以 f(x)的最小正周期为 2π . 2π π π (2)因为 0≤x≤ ,所以 ≤x+ ≤π . 3 3 3 π 2π 当 x+ =π ,即 x= 时,f(x)取得最小值. 3 3

? 2π ? ? 2π ? 所以 f(x)在区间?0, ?上的最小值为 f? ?=- 3. 3 ? ? ? 3 ?

能力提升题组

4

(建议用时:20 分钟) π? ? 11.(2015·黑龙江哈三中二测)设函数 f(x)=sin?2x+ ?给出以下命题: 6? ? ①f(x)的图象关于直线 x= π ?π ? 对称;②f(x)的图象关于点? ,0?对称;③f(x)的最小正周 3 ?6 ?

π ? π? 期为π ,且在?0, ?上为增函数;④把 f(x)的图象向右平移 个单位,得到一个偶函数 12 12 ? ? 的图象. 则以上命题正确的是________(填序号). π? π ? 解析 对于函数 f(x)=sin?2x+ ?,当 x= 时, 6? 3 ?

f? ?=sin 3 f? ?=sin 6

?π ? ? ? ?π ? ? ?

5π 1 π = ,故①错;当 x= 时, 6 2 6 π 2π ?π ? =1, 故? ,0?不是函数的对称点, 故②错; 函数的最小正周期为 T= = 6 2 2 ? ?

? π? π ,当 x∈?0, ?时, ? 12?
π ?π π ? 2x+ ∈? , ?,此时函数为增函数,故③正确; 6 ?6 3? π ? ? π? π? 把 f(x)的图象向右平移 个单位,得到 g(x)=sin?2?x- ?+ ?=sin 2x,函数是奇函 12 ? ? 12? 6 ? 数,故④错. 答案 ③ 12.若将函数 f(x)=sin 2x+cos 2x 的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称, 则 φ 的最小正值是________. 解析 将 函 数 f(x) 的 图 象 向 右 平 移 φ 个 单 位 后 所 得 图 象 对 应 的 函 数 为 y = 2

π ? cos?2x- -2φ 4 ? 3π . 8 答案 3π 8

?,且该函数为偶函数,故 2φ +π =kπ (k∈Z),所以 φ 的最小正值为 ? 4 ?

13.(2015·湖南卷)已知 ω >0, 在函数 y=2sin ω x 与 y=2cos ω x 的图象的交点中, 距离 最短的两个交点的距离为 2 3,则 ω =________. 解析 由?
? ?y=2sin ω x, ?y=2cos ω x ?

得 sin ω x=cos ω x,

5

∴tan ω x=1,ω x=kπ + ∵ω >0,∴x=

π (k∈Z). 4



π + (k∈Z). ω 4ω

π 5π 设距离最短的两个交点分别为(x1,y1),(x2,y2),不妨取 x1= ,x2= ,则|x2-x1| 4ω 4ω

?5π π ? π =? - ?= . ?4ω 4ω ? ω
又结合图形知|y2-y1|=?2×?-

? ?

? ?

2? 2? ?-2× 2 ?=2 2, 2? ?

且(x1,y1)与(x2,y2)间的距离为 2 3, ∴(x2-x1) +(y2-y1) =(2 3) , 2 π ?π ? 2 ∴? ? +(2 2) =12,∴ω = . 2 ?ω ? 答案 π 2
2 2 2 2

14.已知函数 f(x)=2 3sin xcos x+2sin x-1,x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的 ,再把所得到 2 的图象向左平移 π 个单位长度,得到函数 y = g(x) 的图象,求函数 y = g(x) 在区间 6

?-π ,π ?上的值域. ? 6 12? ? ?
解 (1)因为 f(x)=2 3sin xcos x+2sin x-1
2

π? ? = 3sin 2x-cos 2x=2sin?2x- ?, 6? ? ∴函数 f(x)的最小正周期为 T=π , π π π 由- +2kπ ≤2x- ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 6 2 π π ∴- +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z, 6 3 π ? π ? ∴f(x)的单调递增区间为?- +kπ , +kπ ?,k∈Z. 6 3 ? ? 1 (2) 函数 y = f(x) 的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的 ,得到 y = 2 π? ? 2sin?4x- ?; 6? ? 再把所得到的图象向左平移 π ? ? π? π? 个 单 位 长 度 , 得 到 g(x) = 2sin ?4?x+ ?- ? = 6? 6? 6 ? ?
6

π? ? 2sin?4x+ ?=2cos 4x, 2? ?

? π π? ? 2π π ? 当 x∈?- , ?时,4x∈?- , ?, 3? ? 6 12? ? 3
所以当 x=0 时,g(x)max=2, π 当 x=- 时,g(x)min=-1. 6

? π π? ∴y=g(x)在区间?- , ?上的值域为[-1,2]. ? 6 12?

7


2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第5讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用习题 理

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