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高一数学必修5 正弦定理 余弦定理


人的一生要面对无数的困难,只要今天比昨天进步,你就是第一

必修 5
第一章,三角函数 第一节 正弦定理 1、正弦定理:在 ??? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ??? C 的外接圆的半径,则 有 . , c ? 2 R sin C ;

2、正弦定理的变形公式:① a ? 2 R

sin ? , ② sin ? ?

a b , sin ? ? , ;③ a : b : c ? __________________ ; 2R 2R a?b?c a b c ? ? ? ④ . sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C
(正弦定理主要用来解决两类问题:1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量。2、已知两角和一边, 求其余的量。 ) 3、对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。 (一解、两解、无解三种情况) 如:在三角形 ABC 中,已知 a、b、A(A 为锐角)求 B。具体的做法是:数形结合思想 第一类 A 为锐角 (1).算出 CD=bsinA,看 a 的情况: (2) 当 a<bsinA,则 B 无解,三角形不存在 (3) 当 bsinA<a<b,则 B 有两解,有两个三角形 (4)当 a=bsinA 或 a ? b 时,B 有一解,有一个三角形 第二类 A 为钝角或是直角 (1) b<a 则 B 有一个解,有一个三角形 (2) b ? a 则 B 无解,不存在三角形 4、三角形面积公式: S ???C ? A b bsinA D C a

1 1 bc sin ? ? ab sin C ? _________ . 2 2

题型 1、已知两角和一边,求其余的量 1.在△ABC 中,已知 a=8, B ? 60 ,C ? 75 ,则求三角形其他的要素
o o

1

人的一生要面对无数的困难,只要今天比昨天进步,你就是第一
题型 2.已知两边和其中一边所对的角,求其余的量 1.△ABC 中,已知 a=1,b= 3,A=30° 求三角形的其他要素

2.△ABC 中,已知 a=2,b= 2 ,A=45° 求 B,C 和 c, ‘

3.△ABC 中,已知 a=2,b= 2 ,B=135° 求 A,C 和 c,

题型 3.不求解判断三角形一解、两解、无解三种情况 1.在△ABC 中,∠A=60° a ? 2 3 , b=4, 那么满足条件的△ABC (A) 有 一个解 (B) 有两个解 (C) 无解 (D)不能确定 ( )

题型 4.求三角形的面积

题型 5.边角互换,判断三角形的形状

2、 在△ ABC 中,已知 a cosA=b cosB,则△ ABC 的形状是
2



人的一生要面对无数的困难,只要今天比昨天进步,你就是第一
3.在△ ABC 中, = ,则△ ABC 是( ) B. 直角三角形 D.等边三角形

A.等腰三角形 C. 等腰或直角三角形

第二节 余弦定理 1、余弦定理:在 ??? C 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? , b2 ? _________________ ,
2 2 2

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
2、余弦定理的推论: cos ? ? ____________ , cos ? ?

a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 , cos C ? . 2ab 2ac

(余弦定理主要解决的问题:1、已知两边和夹角,求其余的量。2、已知三边求角) 3、如何判断三角形的形状:设 a 、 b 、 c 是 ??? C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则: ①若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;②若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;③若 a ? b ? c ,则 C ? 90 .
2 2 2 2 2 2 2 2 2

①若 a ? b ? c ,则 C ? 90 三角形为直角三角形
2 2 2

?a 2 ? b 2 ? c 2 ②若, ? 2 2 2 ?a ? c ? b ?b2 ? c 2 ? a 2 ?
2 2 2

则三角形为锐角三角形

③若 a ? b ? c ,则 C ? 90 .则三角形为钝角三角形 题型 1、已知两边和夹角,求其余的量。 1.△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 所对的边,已知 a= 3,b=3,C=30° ,则 A=________. 题型 2、已知三边求角 1.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a2+c2-b2= 3ac,则角 B 的值为( π π π 5π π 2π A. B. C. 或 D. 或 6 3 6 6 3 3 2.边长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和为 (A) 90° (B) 120° (C) 135° (D) 150° 题型 3、判断三角形的形状 ( ) )

2.(2010· 上海高考)若△ABC 的三个内角满足 sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,则△ABC ( A.一定是锐角三角形 C.一定是钝角三角形 B.一定是直角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 )
3

)

3.若△ABC 的三个内角满足 a,b,c 边长分别为 5,7,8,则△ABC (

人的一生要面对无数的困难,只要今天比昨天进步,你就是第一
A.一定是锐角三角形 C.一定是钝角三角形 B.一定是直角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形

题型 4、已知两边和一边对角求另一边(求三角形的面积)

题型 5、边角互化

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