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2015届高三文科数学小综合专题练习-------三角与向量


2015 届高三文科数学小综合专题练习-------三角与向量
东莞一中彭启虎老师提供

一、选择题 1.函数 f ( x) ? cos ( x ?
2

?

) ? cos 2 ( x ? ) ( x ? R )是 4 4
B. 周期为 ? 的偶函数 D. 周期为 2? 的偶函数

/>
?

A. 周期为 ? 的奇函数 C. 周期为 2? 的奇函数

2.已知 ? ? 0 , 0 ? ? ? ? ,直线 x ? 相 邻的对称轴,则 ? ? A.

?
4

和x ?

5? 是函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 图象的两条 4

? 4

B.

? 3

C.

? 2

D.

3? 4 ,? )

3.在 ?ABC 中, sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin B sin C ,则 A 的取值范围是 A. (0,

?
6

]

B. [

?
6

,? )

C. (0,

?
3

]

D. [

?
3

4.已知 f ( x) ? a sin(? x ? ? ) ? b cos(? x ? ? ) ? 4 ( a , b , ? , ? 为非零实数),

f (2011) ? 5 ,则 f (2012) ?
A. 3 B. 5 C. 1 D.不能确定

5.已知向量 a ? (1, 2) , b ? ( x , 4) 若向量 a //b 则 x

?
D. ?8

A. ?2
二、填空题

B.2

C.8

6.若平面向量 a , b 满足 a ? b ? 1, a ? b 平行于 x 轴, b ? (2, ?1) ,则 a ? 7.在 ?ABC 中,已知 ?C ? 60 , a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边,则
0



a b ? 的 b?c c?a

值等于_________.
8.设平面向量

a ? ?3,5? , b ? ? ?2,1?

,则

a ? 2b ?
.

.

9.在 △ABC 中,若 b ? 3, c ? 1, cos A ?

1 ,则 a = 3

10.已知向量 a =(4,2), 向量 b =( x ,3),且 a // b ,则 x =

.

三、解答题 11.已知函数 .

(1)在给定的坐标系内,用五点法画出函数 y=f(x)在一个周期内的图象;

(2)若

,求 sin2x 的值.

12.已知 m,x∈R,向量 a=(x,-m),b=((m+1)x,x). (1)当 m>0 时,若|a|<|b|,求 x 的取值范围; (2)若 a·b>1-m 对任意实数 x 恒成立,求 m 的取值范围.[来源:


13.已知函数 f ( x) ? cos x( 3 cos x ? sin x) ? 3 . (1)求 f ( ) 的值;

?

3

(2)求 y ? f ( x) 在区间 [0,

?
2

] 上的最小值,并求使 y ? f ( x) 取得最小值时的 x 的值.

14.已知向量 a ? (cosθ ,sinθ ) , b ? (? 3,1) , ? (1)当 a ? b 时,求 ? 的值; (2)求 a ? b 的取值范围.

? ? ??? . 2 2

15.已知函数 f ( x) ? 2sin (
2

?
4

? x) ? 3 cos 2 x .

(1)求 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间; (2)若 f ( x) ? m ? 2 在 x ? [0,

?
6

] 上恒成立,求实数 m 的取值范围.

16.已知向量 a ? (cos x ? sin x,sin x) , b ? (cos x ? sin x, 2cos x) , 设 f ( x) ? a ? b . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)当 x ? [ ?

? ?

, ] 时,求函数 f ( x) 的最大值及最小值. 4 4
2

17.已知 A(cos x,sin x) ,其中 0 ? x ? 2? , B(1,1) , OA ? OB ? OC , f ( x) ? OC . (1)求 f ( x) 的对称轴和对称中心; (2)求 f ( x) 的单调递增区间.

18.已知函数 (1)求函数 f ( x) 的单调递减区间; (2)设

.

,求函数 f(x)的值域.

1) , B(?2, 0) , C (cos ?, sin ? ) ( ? ? (0, ? ) ), 19.已知平面直角坐标系上的三点 A(0,
O 为坐标原点,向量 BA 与向量 OC 共线.
(1)求 tan ? 的值;

?? ? sin ? 2? ? ? 4 ? 的值. ? (2)求

2015 届高三文科数学小综合专题练习-------三角与向量 参考答案
一、选择题 AACAB 二、填空题 6. (?1,1) 或 (?3,1) 三、解答题 11.解:(1)列表: x 0 f(x) 0 1 π 0 ﹣1 2π 0 7.1 8. 5 2 9. a ? 2 2 10.6

描点,连线,得 y=f(x)在一个周期内的图象.如右图所示

(2)由已知得 ∵ ,∴



从而:



12.解:(1)|a| =x +m ,|b| =(m+1) x +x ,

2

2

2

2

2 2

2

因为|a|<|b|,所以|a|2<|b|2. 从而 x2+m2<(m+1)2x2+x2. 因为 m>0,所以错误!未找到引用源。<x2, 解得 x<-错误!未找到引用源。或 x>错误!未找到引用源。. (2)a·b=(m+1)x2-mx. 由题意,得(m+1)x2-mx>1-m 对任意的实数 x 恒成立, 即(m+1)x2-mx+m-1>0 对任意的实数 x 恒成立. 当 m+1=0,即 m=-1 时,显然不成立, 从而错误!未找到引用源。 解得错误!未找到引用源。 所以 m>错误!未找到引用源。.

13.解:∵ f ( x) ? cos x( 3 cos x ? sin x) ? 3 ? 3 cos x ? sin x cos x ? 3
2

1 ? cos 2 x 1 3 1 3 ? 3( ) ? sin 2 x ? 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 2 2 2 2

? 3 ? ? sin(2 x ? ) ? 3 2
(1) f ( ) ? ? sin(2 ?

?

?

3

? 3 ? 3 ? )? ? sin ? ?? 3 3 3 2 3 2
?
3 ? 2x ?

(2)∵ x ? [0, 当 2x ?

?
2
?

], ∴ ?

?
3

?

2? , 3

?
3

?
2

,即 x ?

5? 3 时,函数 y ? f ( x) 有最小值是 ?1 ? . 12 2

当x?

5? 3 时,函数 y ? f ( x) 有最小值是 ?1 ? . 12 2

14.解:(1) a ? b , a ? b ? ? 3cosθ ? sinθ ? 0 , ∴ tanθ ?

3,?

? ? ? ? ? ? ,∴ θ ? . 2 2 3

(2) a ? b ?

a ? 2a ? b ? b

2

2

? 1 ? 2(sin ? ? 3 cos ? ) ? 4

1 3 ? 5 ? 4( sin ? ? cos? ) 2 2
? 5 ? 4 sin(? ? ) 3
∵?

?

5? ? ? ?θ? ? , 2 2 6 3 6 ? 1 ∴ ?1 ? sin(θ ? ) ? , 3 2

?

?θ ?

?

,∴ ?

∴ 1 ? 5 ? 4 sin(? ? ∴ 1 ?| a ? b |? 7 .

?
3

)?7

15.解:(1) f ( x) ? 1 ? cos(

?
2

? 2 x) ? 3 cos 2 x

? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x
1 3 ? 1 ? 2( sin 2 x ? cos 2 x) 2 2
? ?2sin(2 x ? ) ? 1 . 3
∴ 最小正周期 T ? ? .

?

3? ? 2 k? , k ? Z , 2 3 2 ? 7? ? x ? k? ? ,k ?Z . 解得 k? ? 12 12 ? 7? , k? ? ](k ? Z ) . ∴递增区间为 [k? ? 12 12 ? ? ? 2? ], (2)∵ x ? [0, ] ,∴ 2 x ? ? [ , 6 3 3 3


?

? 2 k? ? 2 x ?

?

?

∴ sin(2 x ?

?
3

) ?[

3 ,1] , 2

∴ f ( x) ?[?1,1 ? 3] ,

∵ m ? 2 ? f ( x)max ,∴ m ? ?1 ? 3 . ∴ m 的取值范围是 (?1 ? 3, ??) .

16.解:(1) f ( x) ? a ? b ? (cos x ? sin x)(cos x ? sin x) ? 2sin x cos x

? ? cos2 x ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 sin(2 x ? ) . 4 2? ?? . ∴函数 f ( x) 的最小正周期 T ? 2 ? ? ? ? 3? ? (2) ∵? ? x ? , ∴ ? ? 2x ? ? , ∴ ?1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 , 4 4 4 4 4 4 ? ? ? ∴当 2 x ? ? ,即 x ? 时, f ( x) 有最大值 2 ; 8 4 2 ? ? ? 当 2 x ? ? ? ,即 x ? ? 时, f ( x) 有最小值 ?1 . 4 4 4

17.解:(1)∵ OA ? (cos x,sin x) , OB ? (1,1) . ∴ OC ? OA ? OB ? (1 ? cos x,1 ? sin x) . ∴ f ( x) ? OC ? (1 ? cos x) ? (1 ? sin x)
2 2 2

令x?

?
4

? 3 ? 2(sin x ? cos x) ? 3 ? 2 2 sin( x ? ) . 4
? k? ?

?

?

2

, k ? Z ,得 x ? k? ?

?

∴对称轴是 x ? k? ? 令x?

?
4

4

,k ?Z .

,k ?Z .

?
4

? k? , k ? Z ,得 x ? k? ?

?
4

,k ?Z .

∴对称中心是 ( k? ? (2)令 2k? ?

?
4

,3) , k ? Z .

,k ?Z , 2 4 2 3? ? ? x ? 2k? ? , k ? Z . ∴ 2 k? ? 4 4 3? ? , 2k? ? ], k ? Z . ∴ f ( x) 的单增区间是 [2k? ? 4 4

?

? x?

?

? 2k ? ?

?

18.解: (1)∵

=

=2

故函数 f ( x) 的单调递减区间为 [k? ? (2)因为 ,所以

?
6

, k? ?

2? ] (k ? Z ) 3
≤2,

,所以 1≤2

即函数 f(x)的值域为[1,2]. 19.解:(1)法 1:由题意得: BA ? (2,1) , OC ? (cos? ,sin ? ) , ∵ BA // OC ,∴ 2sin ? ? cos ? ? 0 ,∴ tan ? ? 法 2:由题意得: BA ? (2,1) , OC ? (cos? ,sin ? ) , ∵ BA // OC ,∴ BA ? ? OC ,∴ ? (2)∵ tan ? ?

1 . 2

?2 ? ? cos ? 1 ,∴ tan ? ? . 2 ? 1 ? ? sin ?

1 ? ? 0 , ? ? [0, ? ) ,∴ ? ? (0, ) , 2 2

? sin ? 1 ? ? 5 2 5 由 ? cos ? 2 ,解得 sin ? ? , cos ? ? , 5 5 ?sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ?
∴ sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 2 ?

5 2 5 4 ? ? ; 5 5 5
4 1 3 ? ? ; 5 5 5

cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ?
∴ sin(2? ?

?
4

) ? sin 2? cos

?
4

? cos 2? sin

?

4 2 3 2 2 . ? ? ? ? ? 4 5 2 5 2 10


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