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【名师一号】北师大版高中数学必修1双基限时练25


双基限时练(二十五)

对数函数的图像和性质(二)
基 础 强 化

1. 若函数 y=log(a-3)x 在(0, +∞)上单调递减, 则实数 a 的取值范围是( A. (-∞,-3) C. (3,4) 解析 由 0<a-3<1,得 3<a<4. 答案 C 2.已知 log1 b<log1 a<

;log1 c,则(
2 2 2

)

B. (0,1)∪(1,3) D. (4,+∞)

)

A. 2b>2a>2c C. 2c<2b<2a

B. 2a<2b<2c D. 2c>2a>2b

解析 由对数函数的单调性可知 b>a>c,由指数函数的性质知 2b>2a>2c,故 选 A. 答案 A 3.函数 y=2+log2x(x≥1)的值域为( A. (2,+∞) C. [2,+∞) )

B. (-∞,2) D. [3,+∞)

解析 ∵x≥1,∴log2x≥0,∴2+log2x≥2,故选 C. 答案 C
?1? ?1? 4.已知 f(x)=|lgx|,则 f?4?,f?3?,f(2)的大小关系为( ? ? ? ? ?1? ?1? A.f(2)>f?3?>f?4? ? ? ? ? ?1? ?1? B.f?4?>f?3?>f(2) ? ? ? ? ?1? ?1? C.f(2)>f?4?>f?3? ? ? ? ?
1

)

?1? ?1? D.f?3?>f?4?>f(2) ? ? ? ? ?1? ?1? 1 解析 f?4?=|lg4|=|-lg4|=lg4,f?3?=lg3,f(2)=|lg2|=lg2,∵lg4>lg3>lg2, ? ? ? ? ?1? ?1? ∴f?4?>f?3?>f(2). ? ? ? ?

答案 B 5.设 a=log0.70.8,b=log1.10.9,c=1.10.9,则 a,b,c 的大小顺序是( A. a<b<c C. b<a<c B. b<c<a D. c<b<a )

解析 ∵c=1.10.9>1,b=log1.10.9<0, 又 0<log0.70.8<log0.70.7=1, ∴b<a<c. 答案 C 6.已知 loga(a2+1)<loga(2a)<0,则 a 的取值范围是( A. (0,1)
?1 ? C. ?2,1? ? ?

)

1? ? B. ?0,2? ? ? D. (1,+∞)

解析 原不等式可化为 loga(a2+1)<loga(2a)<loga1, 当 a>1 时,显然 loga2a<loga1 不成立;
?a2+1>2a, ? 当 0<a<1 时,由函数的单调性可知? ? ?2a>1,

1 得 a>2,且 a≠1. 1 又由 0<a<1,∴2<a<1.
?1 ? 综上所述,a 的取值范围为?2,1?. ? ?

2

答案 C 1 7. 函数 y=log2(x+k)的图像恒过(0,0)点, 则函数 y=log2(x-k)的图像恒过点 ________. 1 解析 由题意得,log2k=0,∴k=1,∴y=log2(x-1)的图像恒过(2,0)点. 答案 (2,0) 能 力 提 升 8.已知 0<a<1,0<b<1,若 alogb(x-3)<1,则 x 的取值范围是________. 解析 ∵0<a<1, ∴由 alogb(x-3)<1 知 logb(x-3)>0, 又 0<b<1, ∴0<x-3<1, 得 3<x<4. 答案 (3,4) 9.对于函数 f(x)定义域中任意的 x1,x2(x1≠x2)有如下结论:①f(x1+x2)= f?x1?-f?x2? f(x1)· f(x2);②f(x1· x2)=f(x1)+f(x2);③ >0;④f(x)的值域为 R. x1-x2 当 f(x)=lnx 时,上述结论中正确结论的序号是________. 解析 ∵lnx1+lnx2=ln(x1x2), ∴①不正确,②正确;又 y=lnx 为单调递增函数, ∴③正确;结合 y=lnx 的图像可知④正确. 答案 ②③④ 10.已知 f(x)=log1
2

(x2-ax+2)

(1)写出当 a=3 时,f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在(2,+∞)上单调递减,求 a 的取值范围. 解 (1)当 a=3 时,f(x)=log1
2

(x2-3x+2)

=log1
2

(x-1)(x-2).

3

函数 f(x)在(-∞,1)上单调递增;在(2,+∞)上单调递减.

?a≤2, (2)由题意得:?2 ?4-2a+2≥0,
(1)求 a 的值;

得 a≤3.

11.若函数 f(x)=loga(x+1)(a>0,且 a≠1)的定义域和值域都为[0,1].

(2)试比较 loga5 与 log5a 的大小. 解析
? ?f?0?=0, (1)当 a>1 时,由题意得? ?f?1?=1, ?

即 loga2=1,所以 a=2;
? ? ?f?0?=1, ?loga1=1, ? 当 0<a<1 时,由题意得 即? 无解. ? ? ?f?1?=0, ?loga2=0,

综上可知 a=2. (2)由(1)知 a=2,则 loga5=log25>2,log5a=log52<1,所以 loga5>log5a. 12.已知函数 f(x)=loga(3-ax). (1)当 x∈[0,2]时,函数 f(x)恒有意义,求实数 a 的取值范围. (2)是否存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大 值为 1,如果存在,试求出 a 的值;如果不存在,请说明理由. 解 (1)当 x∈[0,2]时,f(x)恒有意义, 3 必须 3-2a>0,a<2. 又 a 是底数, 3? ? ∴a∈(0,1)∪?1,2?.
? ?

(2)令 t=3-ax,则 t 在[1,2]上递减,要使 f(x)在[1,2]上为减函数,必须 a>1, 而 t 在 x∈[1,2]上必须恒大于 0.

4

? ?3-a>0, ∴? ?3-2a>0. ?

3 ∴1<a<2. ∵f(1)=loga(3-a)=1, ∴3-a=a. 3 ∴a=2. ∴不存在这样的 a,使得 f(x)在[1,2]上为减函数且最大值为 1. 考 题 速 递 13.设 a=log36,b=log510,c=log714,则( A.c>b>a C.a>c>b 解析 B.b>c>a D.a>b>c )

a=log36=1+log32,b=log510=1+log52,c=log714=1+log72,则

只要比较 log32,log52,log72 的大小即可,在同一坐标中作出函数 y=log3x,y= log5x,y=log7x 的图像,由三个图像的相对位置关系,可知 a>b>c,故选 D. 答案 D

5


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