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空间位置关系的判断与证明[1].板块五.平行与垂直关系综合证明.学生版


板块五.平行与垂直关系综合 证明 典例分析
【例1】 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面, E , F 分别是 PB 和 AC 的中点, 求证:① EF ∥平面 PAD ;② EF ? AB
P

E I B

G A F C H D

【例2】 (2008 新课标江苏 16) 如图,在四

面体 ABCD 中, CB ? CD , AD ? BD ,点 E 、 F 分别是 AB 、 BD 的中 点.求证:⑴ 直线 EF ∥面 ACD ;⑵ 面 EFC ? 面 BCD .
B F D

E

C

A

【例3】 已知:四棱锥 P ? ABCD , PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形, ?A ? 90 ,

1 且 AB ∥ CD , AB ? CD ,点 F 为线段 PC 的中点. 2

1

P

E A F B

D

C

⑴ 求证: BF ∥平面 PAD ; ⑵ 求证: BF ? CD .

【例4】 (2010 年一模· 丰台· 文科· 题 16) 如图, 在底面是正方形的四棱锥 P ? ABCD 中,PA ? 面 ABCD ,BD 交 AC 于点 E , F 是 PC 中点, G 为 AC 上一点. ⑴ 求证: BD ? FG ; ⑵ 确定点 G 在线段 AC 上的位置,使 FG //平面 PBD ,并说明理由.
P

F

A E G B C

D

【例5】 (2010 年一模· 宣武· 文· 题 16) 如图 ,在四棱锥 P ? ABCD 中 , PA ? 平面 ABC D ,底 面 ABCD 为直角梯形 , ?ABC ? ?BAD ? 90? , AD ? BC , E , F 分别为棱 AB , PC 的中点. ⑴ 求证: PE ? BC ; ⑵ 求证: EF ∥平面 PAD .
P

A E B

F D

C

【例6】 (2010 年二模· 丰台· 文· 题 16) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, SA ? 底面ABCD , M 为 SA 的 中点, N 为 CD 的中点. ⑴ 证明:平面 SBD ? 平面 SAC ;
2

⑵ 证明:直线 MN‖ 平面SBC .
S

M

A N B C

D

【例7】 (2010 年二模· 朝阳· 文· 题 17) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,其他四个侧面都是等边三角 形, AC 与 BD 的交点为 O . ⑴ 求证: SO ? 平面 ABCD ; ⑵ 已知 E 为侧棱 SC 上一个动点. 试问对于 SC 上任意一点 E ,平面 BDE 与平面 SAC 是否垂直?若垂直,请加以证明;若不垂直,请 说明理由.
S

E

D O B

C

A

【例8】 如图,已知 PA ? ⊙O 所在的平面, AB 是 ⊙O 的直径, AB ? 2 , C 是 ⊙O 上一点, 且 AC ? BC , PC 与 ⊙O 所在的平面成 45 ? 角, E 是 PC 中点. F 为 PB 中点. ⑴ 求证: EF ∥ 面ABC ;⑵ 求证: EF ? 面PAC ;⑶ 求三棱锥 B ? PAC 的体积.
P

F E A O C B

【例9】 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, EF ? A1 D , EF ? AC ,求证:⑴BD1 ? 平

3

面 AC 1 1 D ;⑵EF / / BD1 .
D1 A1 E D F A B C B1 C1

【例10】 (2010 年一模· 石景山· 文· 题 17) 如图,已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 , ?ACB ? 90? , AC ? BC ? 2 , AA1 ? 4 . E 、

F 分别是棱 CC1 、 AB 中点.
⑴ 求证: CF ? BB1 ; ⑵ 求四棱锥 A ? ECBB1 的体积; ⑶ 判断直线 CF 和平面 AEB1 的位置关系,并加以证明.
C1

A1 E

B1

C

A

F

B

【例11】 (2010 年二模· 西城· 文· 题 17) 如图,已知四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面是菱形,侧棱 BB1 ? 底面 ABCD , E 是 侧棱 CC1 的中点.

⑴ 求证: AC ? 平面 BDD1 B1 ; ⑵ 求证: AC ? 平面 B1 DE .

4

【例12】 (2010 年二模· 海淀· 文· 题 17) 在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 ACC1 A1 ? 平面 ABC , ?ACB ? 90? . ⑴ 求证: BC ? AA1 ; ⑵ 若 M , N 是棱 BC 上的两个三等分点,求证: A1 N ∥平面 AB1M .
A1 B1 C1

A B M N

C

【例13】 如图所示, 在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,DB ? BC , DB ? AC , 点 M 是棱 BB1 上一点. ⑴ 求证: B1 D1 ∥ 面 A1 BD ; ⑵ 求证: MD ? AC . ⑶ 试确定点 M 的位置,使得平面 DMC1 ? 平面 CC1 D1 D .
D1 C1

A1 B1 M D C

A B

【例14】 (2009 山东文 18) 如图, 在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 底面 ABCD 为等腰梯形,AB ∥ CD ,AB ? 4
BC ? CD ? 2 , AA1 ? 2 , E , E1 分别是棱 AD , AA1 的中点.

⑴ 设 F 是棱 AB 的中点,证明:直线 EE1 ∥ 平面 FCC1 ; ⑵ 证明:平面 D1 AC ? 平面 BB1C1C .
D1 A1 C1 B1

E1 E A

D

C B

F

5

【例15】 如图,已知 A1 B1C1 ? ABC 是正三棱柱, D 是 AC 的中点, AB ? 2 AA1 ? 1 , ⑴ 证明: BD ? 平面 ACC1 A1 , AB1 / / 平面 BDC1 ; ⑵ 求点 D 到平面 BCC1 B1 的距离. ⑶ 证明: AB1 ? BC1 .
A1 C1 A D C

B1

B

【例16】 (2006 天津) 如图,在五面体 ABCDEF 中,点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点,面 CDE 是等边 1 三角形,棱 EF∥ BC . 2 ⑴ 证明 FO∥ 平面 CDE ; ⑵ 设 BC ? 3CD ,证明: EO ? 平面 CDF .
F E

A O B C

D

【例17】 (2009 江苏高三调研)
F, G 分别 BC ? BC1 , AB ? BC1 , E , 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? BC ,

A1C1 , BB1 的中点, 为线段 AC1 , 求证: ⑴ 平面 ABC ? 平面 ABC1 ; ⑵EF ∥面 BCC1 B1 ;

⑶GF ? 平面 AB1C1 .
A A1

E B C G

F B1 C1

【例18】 如图,?ABC 为正三角形,EC ? 平面 ABC ,BD ∥ CE ,CE ? CA ? 2 BD ,M 是 EA 的中点, 求证:⑴DE ? DA ;⑵ 平面 BDM ? 平面 ECA ;⑶ 平面 DEA ? 平面 ECA .

6

E

D M C A B

7


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