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(教师典型例题专讲)2014届高三数学一轮提能一日一讲(11月1日)


【教师典型例题专讲】2014 届高三数学一轮提能一日一讲(11 月 1 日)
一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,将答案填在题后括号内. 1.(2013·全国卷Ⅱ)已知集合 M={x|(x-1) <4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则 M∩N =( ) A.{0,1,2} C

.{-1,0,2 ,3} B.{-1,0,1,2} D.{0,1,2,3}
2

解析 M={x|-1<x<3},N={-1,0,1,2,3},所以 M∩N={0,1,2},故选 A. 答案 A 2.(2013·大纲卷)设集合 A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则

M 中元素的个数为(
A.3 C.5

) B.4 D.6

解析 由集合中元素的互异性知 M={5,6,7,8},故选 B. 答案 B 3.(2013·四川卷)设 x∈Z,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集,若命题 p:? x∈A,2 x ∈B,则( )

A.綈 p:? x∈A,2x?B B.綈 p:? x?A,2x?B C.綈 p:? x?A,2x∈B D.綈 p:? x∈A,2x?B 解析 全称命题的否定为特称命题,故选 D. 答案 D 4.(2013·北京卷)“φ =π ”是“曲线 y=sin(2x+φ )过坐标原点”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 φ =π 时,y=sin(2x+π )=-sin2 x 过原点,但函数过原点时 φ 可以取其他 值. 答案 A 5.下列命题中错误的是( ) )

A.命题“若 x -5x+6=0,则 x=2”的逆否命题是“若 x≠2,则 x -5x+6≠0” B.若 x,y∈R,则“x=y”是“xy≥?

2

2

?x+y?2 中等号成立”的充要条件 ? ? 2 ?
2

C.已知命题 p 和 q,若 p∨q 为假命题,则命题 p 与 q 中必一真一假 D.对命题 p:? x∈R,使得 x +x+1<0,则綈 p:? x∈R,x +x+1≥0 解析 易知选项 A,B,D 都正确;选项 C 中,若 p∨q 为假命题,根据真值表,可知 p,
2

q 必都为假,故 C 错.
答案 C 6.(2013·天津卷)已知下列三个命题: 1 1 ①若一个球的半径缩小到原来的 , 则其体积缩小到原来的 ; ②若两组数据的平均数相 2 8 1 2 2 等,则它们的标准差也相等;③直线 x+y+1=0 与圆 x +y = 相切.其中真命题的序号为 2 ( ) A.①②③ C.①③ B.①② D.②③

4 3 解析 由球的体积公式 V= π R 可得①是真命题;因为标准差除了与平均数有关,还 3 与各数据有关,所以②是假命题;圆心(0,0)到直线 x+y+1=0 的距离等于 相等,所以③是真命题;所以真命题 的序号为①③ . 答案 C 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.将答案填在题中横线上. 7.已知命题甲:a+b≠4,命题乙:a≠1 且 b≠3,则命题甲是命题乙的________条件. 解析 ∵a=1 或 b=3D? \a+b=4,且 a+b=4D? \a=1 或 b=3,∴a=1 或 b=3 是 a +b=4 的既不充分也不必要条件.由原命题与逆否命题等价可知,“a+b≠4”是“a≠1 且 b≠3”的既不充分也不必要条件. 答案 既不充分也不必要 8.命题“? x∈R,2x -3ax+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范围是________. 解析 “? x∈R,2x -3ax+9<0”为假命题,则“? x∈R,2x -3ax+9≥0”为真命题, 因此 Δ =9a -4×2×9≤0,故-2 2≤a≤2 2. 答案 [-2 2,2 2] 9.已知集合 A、B,定义集合 A 与 B 的一种运算 A⊕B,其结果如下表所示:
2 2 2 2

2 与圆的半径 2

A B

{1,2,3,4} {2,3,6}

{-1,1} {-1,1}

{-4,8} {-4,-2,0,2}

{-1,0,1} {-2,-1,0,1}

A⊕B

{1,4,6}

?

{-2,0,2,8}

{-2}

按照上述定义,若 M={-2 011,0,2 012},N={-2 012,0,2 013},则 M⊕N=________. 解析 由给出的定义知集合 A⊕B 的元素是由所有属于集合 A 但不属于集合 B 和属于集 合 B 但不属于集合 A 的元素构成的,即 A⊕B={x|x∈A 且 x?B,或 x∈B 且 x?A}.故 M⊕N= {-2 011,2 012,-2 012,2 013}. 答案 {-2 011,2 012,-2 012,2 013} 三、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 10.(本小题 10 分)已知 p:方程 x +mx+1=0 有两个不相等的负根;q:方程 4x +4(m -2)x+1=0 无实根.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求 m 的取值范围. 解
?Δ =m -4>0, ? 2 若方程 x +mx+1=0 有两个不相等的负根,则? ? ?m>0,
2 2 2

解得 m>2,即 p:

m>2.
若方程 4x +4(m-2)x+1=0 无实根,则 Δ =16(m-2) -16=16(m -4m+3)<0,解得 1<m<3,即 q:1<m<3.因 p 或 q 为真,所以 p、q 至少有一个为真,又 p 且 q 为假,所以 p、q 至少有一个为假.因此, p、 q 两命题应一真一假,即 p 真 q 假,或 p 假 q 真.所以
?m>2, ? ? ? ?m≤1或m≥3,
2 2 2

或?

?m≤2, ? ? ?1<m<3,

解得 m ≥3 或 1<m≤2.
2 2 2

11. (本小题 10 分)(2013·大连模拟)已知 p: x -8x -20≤0 , q: x -2x+1-m ≤0(m>0), 且綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 解 由 x -8x-20≤0,得-2≤x≤10, 由 x -2x+1-m ≤0(m>0),得 1-m≤x≤ 1+m. ∵綈 p 是綈 q 的必要不充分条件, ∴q 是 p 的必要不充分条件,即 p 是 q 的充分不必要条件,即 p? q 但 qD? \p. ∴{x|-2≤x≤10} 是{x|1-m≤x≤1+m}的真子集.
? ?1-m≤-2, ∴? ?1+m≥10, ?
2 2 2

解得 m≥9.

∴实数 m 的取值范围为[9,+∞). 12.(本小题 10 分)已知函数 f(x)= 6

x+1

-1的定义域为集合 A,函数 g(x)=lg(-

x2+2x+m)的定义域为集合 B.
(1)当 m=3 时,求 A∩(?RB); (2)若 A∩B={x|-1<x<4},求实数 m 的值. 解

A={x|-1<x≤5},

(1)当 m=3 时,B={x|-1<x<3},

则?RB={x|x≤-1,或 x≥3}, ∴A∩(?RB)={x|3≤x≤5}. (2)∵A={x|-1<x≤5},A∩B={x|-1<x<4}, 故 4 是方程-x +2x+m=0 的一个根, ∴有-4 +2×4+m=0,解得 m=8. 此时 B={x|-2<x<4},符合题意. 因此实数 m 的值为 8.
2 2


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