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海南省2015届高考数学模拟试卷(文科)(5月份)

时间:2016-08-14


海南省 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (5 月份)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 M={x|x ≥4},N={﹣3,0,1,3,4},则 M∩N=() A.{﹣3,0,1,3,4} B. {﹣3,3,4} C. {1,3,4} D. {x|x≥±2

} 2. (5 分)复数的 A. 的共轭复数是() B. ﹣ C. i D.﹣i
2

3. (5 分)若 x,y 满足约束条件:

;则 x﹣y 的取值范围为()

A.

B.

C.

D.

4. (5 分)已知函数 f(x)=3sin(ωx﹣

) (ω>0)和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的图象的

对称轴完全相同,若 x∈,则 f(x)的取值范围是() A. B. C.

D.

5. (5 分)执行如图所示的程序框图(其中表示不超过 x 的最大整数) ,则输出的 S 值为()

A.7

B. 6

C. 5

D.4

6. (5 分)从数字 0,1,2,3,4,5 中任取两个数组成两位数,其中奇数的概率为() A. B. C. D.

7. (5 分)已知如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积为()

A.12+

B.12+

C.4+

D.4+

8. (5 分)各项都为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=32,a5+a6+a7=2,则公比 的值是() A. B. C. D.

9. (5 分) 设点 P 是双曲线

与圆 x +y =a +b 在第一象限的交点,

2

2

2

2

F1、F2 分别是双曲线的左、右焦点,且|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率() A. B. C. D.

10. (5 分)已知函数 f(x)=log2x﹣2log2(x+c) ,其中 c>0.若对于任意的 x∈(0,+∞) , 都有 f(x)≤1,则 c 的取值范围是() A. B. C. D.

11. (5 分)已知函数 f(x)的定义域为,部分对应值如下表. x ﹣1 0 4 5 f(x) 1 2 2 1 f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示. 下列关于函数 f(x)的命题: ①函数 y=f(x)是周期函数; ② 函数 f(x)在是减函数; ③如果当 x∈时,f(x)的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 1<a<2 时,函数 y=f(x)﹣a 有 4 个零点. 其中真命题的个数是()

A.4 个

B. 3 个

C. 2 个

D.1 个

12. (5 分)如图在等腰直角△ ABC 中,点 O 是斜边 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N,若 ,则 mn 的最大值为()

A.

B. 1

C. 2

D.3

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 13. (5 分)已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0) ,过焦点 F 的直线 l 与抛物 线 C 相交于 A、B 两点,若直线 l 的倾斜角为 45°,则弦 AB 的中点坐标为.

14. (5 分)如图,正六边形 ABCDEF 的边长为 1,则

=.

15. (5 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<

)的图象与 y 轴的交点

为(0,1) , 它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 (x0, 2)和(x0+2π, ﹣2)则 f(x)=.

16. (5 分)已知两个圆锥有公共底面,且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上, 若圆锥底面面积是这个球面面积的 高的比值为. ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的

三、解答题(本大题共 5 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将 答题的过程写在答题卷中指定的位置) 17. (12 分)已知数列{an}满足:a1=20,a2=7,an+2﹣an=﹣2(n∈N*) . (Ⅰ)求 a3,a4,并求数列{an}通项公式; (Ⅱ)记数列{an}前 2n 项和为 S2n,当 S2n 取最大值时,求 n 的值. 18. (12 分)某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一次停车不超过 1 小时收费 6 元,超过 1 小时的部分每小时收费 8 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算) .现 有甲、乙二人在该商区临时停车,两人停车都不超过 4 小时. (Ⅰ)若甲停车 1 小时以上且不超过 2 小时的概率为 ,停车付费多于 14 元的概率为 ,

求甲停车付费恰为 6 元的概率; (Ⅱ)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和为 36 元的 概率. 19. (12 分)在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 ABB1A1 为矩形,AB=1,AA1= AA1 的中点,BD 与 AB1 交于点 O,CO⊥侧面 ABB1A1. (Ⅰ)证明:BC⊥AB1; (Ⅱ)若 OC=OA,求三棱锥 C1﹣ABC 的体积. ,D 为

20. (12 分)已知圆的方程为 x +y =4,过点 M(2,4)作圆的两条切线,切点分别为 A1、 A2,直线 A1A2 恰好经过椭圆 C1: + =1(a>b>0)的右顶点和上顶点.

2

2

(1)求直线 A1A2 的方程及椭圆 C1 的方程; (2)椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率,求椭圆 C2 的方程; (3)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, =2 ,求直线 AB 的方程.

21. (12 分)已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=



(I)当 k=e 时,求函数 h(x)=f(x)﹣g(x)的单调区间和极值; (Ⅱ) 若 f(x)≥g(x)恒成立,求实数 k 的值.

四.选考题(从下列三道解答题中任选一道作答,作答时,请注明题号;若多做,则按首 做题计入总分,满分 10 分.请将答题的过程写在答题卷中指定的位置 22. (10 分)如图,AB 是圆 O 的直径,C,D 是圆 O 上两点,AC 与 BD 相交于点 E,GC, GD 是圆 O 的切线,点 F 在 DG 的延长线上,且 DG=GF.求证: (1)D、E、C、F 四点共圆; (2)GE⊥AB.

23.选修 4﹣4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 0 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知圆 C 的极坐标方程为 ρ=2acos(θ+ (Ⅰ)当 a= ) (a>0) .

时,设 OA 为圆 C 的直径,求点 A 的直角坐标; (t 为参数) ,直线 l 被圆 C 截得的弦长为 d,若 d≥ ,

(Ⅱ)直线 l 的参数方程是 求 a 的取值范围.

24.已知函数 f(x)=|x﹣1|. (1)解不等式 f(x)+f(x+4)≥8; (2)若|a|<1,|b|<1,且 a≠0,求证: f(ab)>|a|f( ) .

海南省 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (5 月份)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 2 1. (5 分)已知集合 M={x|x ≥4},N={﹣3,0,1,3,4},则 M∩N=()

A.{﹣3,0,1,3,4} {x|x≥±2}

B.

{﹣3,3,4}

C. {1,3,4} D.

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 M 中不等式的解集确定出 M,找出 M 与 N 的交集即可. 解答: 解:由 M 中不等式解得:x≥2 或 x≤﹣2,即 M={x|x≥2 或 x≤﹣2}, ∵N={﹣3,0,1,3,4}, ∴M∩N={﹣3,3,4}, 故选:B. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)复数的 A. 的共轭复数是() B. ﹣ C. i D.﹣i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 复数的分母实数化,化简为 a+bi 的形式,然后求出它的共轭复数即可. 解答: 解:复数 所以复数的 = = =i.

的共轭复数是:﹣i.

故选 D 点评: 本题考查复数的代数形式的混合运算,共轭复数的概念,考查计算能力.

3. (5 分)若 x,y 满足约束条件:

;则 x﹣y 的取值范围为()

A.

B.

C.

D.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件作出可行域,令 z=x﹣y,化为直线方程的斜截式,数形结合得到最优 解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.

解答: 解:由约束条件

作出可行域如图,

令 z=x﹣y,则 y=x﹣z, 联立 ,得 .

∴B(1,1) , 又 C(0,3) , 由图可知,当直线过 B 时,直线在 y 轴上的截距最小,z 有最大值为 0; 当直线过 C 时,直线在 y 轴上的截距最大,z 有最大值为﹣3. ∴x﹣y 的取值范 围为. 故选:D. 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.

4. (5 分)已知函数 f(x)=3sin(ωx﹣

) (ω>0)和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的图象的

对称轴完全相同,若 x∈,则 f(x)的取值范围是() A. B. C. 考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 先根据函数 f(x)=3sin(ωx﹣

D.

)和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的图象的对称轴完 的范围,最后根据正弦函数的图象和性质可

全相同确定 ω 的值,再由 x 的范围确定 ωx﹣ 得到答案 解答: 解:由题意可得 ω=2,∵x∈,∴ωx﹣ 由三角函数图象知: f(x)的最小值为 3sin(﹣

=2x﹣

∈,

)=﹣ ,最大值为 3sin

=3,

所以 f(x)的取值范围是, 故选:D 点评: 本题考查三角函数的图象与性质,考查了数形结合的数学思想,属于基础题 5. (5 分)执行如图所示的程序框图(其中表示不超过 x 的最大整数) ,则输出的 S 值为()

A.7

B. 6

C. 5

D.4

考点: 程序框图. 专题: 计算题;图表型;算法和程序框图. 分析: 由程序框图依次计算第一、第二…的运行结果,直到满足条件 n>4 时,输出 S,即 为所求. 解答: 解:由程序框图得: 第一次运行 n=0,S=0; 第二次运行 n=1,S=1; 第三次运行 n=2,S=1+1=2; 第四次运行 n=3,S=2+1=3; 第五次运行 n=4,S=3+2=5; 第六次运行 n=5,S=5+2=7;满足 n>4 结束运行,输出 S=7. 故选 A. 点评: 本题考查了直到型循环结构的程序框图,解答的关键是读懂程序框图. 6. (5 分)从数字 0,1,2,3,4,5 中任取两个数组成两位数,其中奇数的概率为() A. B. C. D.

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: 先一一列举所有的基本事件, 再找到满足条件的基本事件, 根据概率公式计算即可. 解答: 解:从数字 0,1,2,3,4,5 中任取两个数组成两位数, 共有 10,12,13,14,15, 20,21,23,24,25, 30,31,32,34,35, 40,41,42,43,45, 50,51,52,53,54, 故 25 中等可能事件,其中奇数有 13,15,21,23,25,31,35,41,43,45,51,53,共 12 个,

故从数字 0,1,2,3,4,5 中任取两个数组成两位数,其中奇数的概率为 P=



故选:B 点评: 数字问题是概率中经常出现的题目, 一般可以列举出要求的事件, 古典概型要求能 够列举出所有事件和发生事件的个数,而不能列举的可以借助于排列数和组合数来表示 7. (5 分)已知如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积为()

A.12+

B.12+

C.4+

D.4+

考点: 专题: 分析: 解答:

由三视图求面积、体积. 计算题;作图题;空间位置关系与距离. 由题意作直观图,从而求各部分的体积,再求和. 解:由题意作直观图如下,

其上方为半球 V1= × ×π×2 = 其下方为长方体 V2=2×2×3=12; 故该几何体的体积为 12+ π;

3

π;

故选 B. 点评: 本题考查了学生的空间想象力与作图用图的能力,属于基础题. 8. (5 分)各项都为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=32,a5+a6+a7=2,则公比 的值是() A. B. C. D.

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 利用等比数列的通项公式和等比数列的前 n 项和公式, 由条件, 两式相除求出公比 q. 解答: 解:因为 S3=32,所以 a1+a2+a3=32, 因为 a5+a6+a7=2, 所以 q =
4



所以 q= . 故选:A. 点评: 本题主要考查等比数列的通项公式,等比数列的前 n 项和公式的应用,比较基础.

9. (5 分) 设点 P 是双曲线

与圆 x +y =a +b 在第一象限的交点,

2

2

2

2

F1、F2 分别是双曲线的左、右焦点,且|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率() A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先由双曲线定义和已知求出两个焦半径的长, 再由已知圆的半径为半焦距, 知焦点 三角形为直角三角形,从而由勾股定理得关于 a、c 的等式,求得离心率 解答: 解:依据双曲线的定义:|PF1|﹣|PF2|=2a,又∵|PF1|=3|PF2|, ∴|PF1|=3a,|PF2|=a, ∵圆 x +y =a +b 的半径 ∴F1F2 是圆的直径, ∴∠F1PF2=90° 在直角三角形 F1PF2 中 由(3a) +a =(2c) ,得 故选 D 点评: 本题考查了双曲线的定义,双曲线的几何性质,离心率的求法 10. (5 分)已知函数 f(x)=log2x﹣2log2(x+c) ,其中 c>0.若对于任意的 x∈(0,+∞) , 都有 f(x)≤1,则 c 的取值范围是() A. B. C. D.
2 2 2 2 2 2 2

=c,

考点: 抽象函数及其应用;函数恒成立问题.

专题: 函数的性质及应用. 分析: 把函数 f(x)的解析式代入 f(x)≤1 后,利用对数式的运算性质变形,去掉对数 符号后把参数 c 分离出来,然后利用二次函数求最值,则 c 的取值范围可求. 解答: 解:由 f(x)≤1,得:log2x﹣2log2(x+c)≤1, 整理得: 即 c≥ 令 则 令 g(t)= 所以 则c . . (x>0) . (t>0) . . ,其对称轴为 . . ,所以 x+c≥ ,

所以,对于任意的 x∈(0,+∞) ,都有 f(x)≤1 的 c 的取值范围是

故选 D. 点评: 本题考查了对数型的函数及其应用, 考查了数学转化思想, 训练了利用分离变量法 求参数的取值范围,解答的关键是利用对数函数的单调性去掉对数符号,是中档题. 11. (5 分)已知函数 f(x)的定义域为,部分对应值如下表. x ﹣1 0 4 5 f(x) 1 2 2 1 f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示. 下列关于函数 f(x)的命题: ①函数 y=f(x)是周期函数; ②函数 f(x)在是减函数; ③如果当 x∈时,f(x)的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 1<a<2 时,函数 y=f(x)﹣a 有 4 个零点. 其中真命题的个数是()

A.4 个

B. 3 个

C. 2 个

D.1 个

考点: 函数的单调性与导数的关系;函数的最值及其几何意义;函数的周期性;函数的零 点. 专题: 压轴题;数形结合.

分析: 先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象, 再借助与图象和导函数 的图象, 对四个命题, 一一进行验证, 对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案. 解答: 解:由导函数的图象和原函数的关系得,原函数的大致图象如图:

由图得:①为假命题,与上单调性相反,但原函数图象不一定对称. ②为真命题.因为在上导函数为负,故原函数递减; ③为假命题,当 t=5 时,也满足 x∈时,f(x)的最大值是 2; ④为假命题,当 a 离 1 非常接近时,对于第二个图,y=f(x)﹣a 有 2 个零点,也可以是 3 个零点. 综上得:真命题只有②. 故选 D. 点评: 本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系. 二者之间的关系是: 导函数为 正,原函数递增;导函数为负,原函数递减. 12. (5 分)如图在等腰直角△ ABC 中,点 O 是斜边 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N,若 ,则 mn 的最大值为()

A.

B. 1

C. 2

D.3

考点: 向量在几何中的应用;基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 计算题. 分析: 利用三角形的直角建立坐标系,求出各个点的坐标,有条件求出 M 和 N 坐标,则 由截距式直线方程求出 MN 的直线方程,根据点 O(1,1)在直线上,求出 m 和 n 的关系式,利用基本不等式求出 mn 的最大值,注意成立 时条件是否成立. 解答: 解:以 AC、AB 为 x、y 轴建立直角坐标系,设等腰直角△ ABC 的腰长为 2,

则 O 点坐标为(1,1) ,B(0,2) 、C(2,0) , ∵ ∴ ∴ 、 , , , ,

∴直线 MN 的方程为 ∵直线 MN 过点 O(1,1) , ∴ ∵ ∴ =1,即 m+n=2

(m>0,n>0) , ,

∴当且仅当 m=n=1 时取等号,且 mn 的最大值为 1. 故选 B. 点评: 本题的考查了利用向量的坐标运算求最值问题,需要根据图形的特征建立坐标系, 转化为几何 问题,根据条件求出两数的和,再由基本不等式求出它们的积的最大值,注意 验证三个条件:一正二定三相等,考查了转化思想. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 13. (5 分)已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0) ,过焦点 F 的直线 l 与抛物 线 C 相交于 A、B 两点,若直线 l 的倾斜角为 45°,则弦 AB 的中点坐标为(3,2) . 考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据题意确定出抛物线 C 解析式, 以及直线 l 解析式,联立两解析式消去 y 得到关 于 x 的一元二次方程,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,利用韦达定理求出 x1+x2=6,进而确定 出弦 AB 中点横坐标,即可确定出弦 AB 中点坐标. 2 解答: 解:根据题意得:抛物线 C 解析式为 y =4x, ∵过焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 相交于 A、B 两点,直线 l 的倾斜角为 45°, ∴直线 l 解析式为 y=x﹣1, 联立得: ,
2 2

消去 y 得: (x﹣1) =4x,即 x ﹣6x+1=0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则有 x1+x2=6,即弦 AB 中点横坐标为 3, 把 x=3 代入 y=x﹣1 得:y=2, 则弦 AB 中点坐标为(3,2) , 故答案为: (3,2) .

点评: 此题考查了直线与圆锥曲线的关系,韦达定理,线段中点坐标公式,确定出抛物线 与直线解析式是解本题的关键.

14. (5 分)如图,正六边形 ABCDEF 的边长为 1,则

=



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 连接 DF,BF,利用正六边形的性质和余弦定理即可得出 120°,AC=3,再利用数量积的定义即可得出. 解答: 解:连接 DF,BF,则△ BDF 是等边三角形,∴ ∵ ,即
2



)与

的夹角为



的夹角为 120°,


2

的夹角为 120°,
2

∵AB=1,∴AC =1 +1 ﹣2×1×1×cos120°=3,∴AC= ∴ 故答案为 = . =﹣ .

.即



点评: 熟练掌握正六边形的性质和余弦定理、数量积的定义、向量的夹角是解题的关键.

15. (5 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<

)的图象与 y 轴的交点

为(0,1) , 它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 (x0, 2)和(x0+2π, ﹣2)则 f(x)=2sin( x+ ) .

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据图象求出 A,T,求出 ω,图象经过(0,1) ,求出 φ,然后求 f(x)的解析式 解答: 解: (1)由题意可得:A=2, =2π,T=4π

∴ω=

=

= ,

∴f(x)=2sin( x+φ) ∴f(0)=2sinφ=1, 由|φ|< ∴φ= ∴ 故答案为:2sin( x+ ) ) , . ( ,

点评: 本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查计算能力,视图能力, 是基础题 16. (5 分)已知两个圆锥有公共底面,且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上, 若圆锥底面面积是这个球面面积的 高的比值为 . ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的

考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) ;球的体积和表面积. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 所成球的半径,求出球的面积,然后求出圆锥的底面积,求出圆锥的底面半径,即 可求出体积较小者的高与体积较大者的高的比值. 解答: 解:不妨设球的半径为:4;球的表面积为:64π,圆锥的底面积为:12π,圆锥的 底面半径为:2 ; 由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离, 求的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个 直角三角形 由此可以求得球心到圆锥底面的距离是 ,

所以圆锥体积较小者的高为:4﹣2=2,同理可得圆锥体积较大者的高为:4+2=6; 所以这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为: . 故答案为: 点评: 本题是基础题,考查旋转体的体积,球的内接圆锥的体积的计算,考查计算能力, 空间想象能力,常考题型. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将 答题的过程写在答题卷中指定的位置) 17. (12 分)已知数列{an}满足:a1=20,a2=7,an+2﹣an=﹣2(n∈N*) . (Ⅰ)求 a3,a4,并求数列{an}通项公式;

(Ⅱ)记数列{an}前 2n 项和为 S2n,当 S2n 取最大值时,求 n 的值. 考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (I)由 a1=20,a2=7,an+2﹣an=﹣2,分布令 n=1,2 即可求解 a3,a4,由题意可得 数列{an}奇数项、偶数项分布是以﹣2 为公差的等差数列,结合等差数列的通项公式,分 n 为奇数,n 为偶数两种情况可求 an, (II)由 s2n=a1+a2+…+a2n=(a1+a3+…+a2n﹣1)+(a2+…+a2n) ,分组利用等差数列的求和公式 可求 解答: 解: (I)∵a1=20,a2=7,an+2﹣an=﹣2 ∴a3=18,a4=5 由题意可得数列{an}奇数项、偶数项分布是以﹣2 为公差的等差数列 当 n 为奇数时, 当 n 为偶数时, =21﹣n =9﹣n

∴an= (II)s2n=a1+a2+…+a2n =(a1+a3+…+a2n﹣1)+(a2+…+a2n) = =﹣2n +29n 结合二次函数的性质可知,当 n=7 时最大 点评: 本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用及二次函数的性质的 应用,体现了分类讨论思想的应用 18. (12 分)某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一次停车不超过 1 小时收费 6 元,超过 1 小时的部分每小时收费 8 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算) .现 有甲、乙二人在该商区临时停车,两人停车都不超过 4 小时. (Ⅰ)若甲停车 1 小时以上且不超过 2 小时的概率为 ,停车付费多于 14 元的概率为 ,
2

求甲停车付费恰为 6 元的概率; (Ⅱ)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和为 36 元的 概率. 考点: 古典概型及其概率计算公式;互斥事件与对立事件. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据题意,由全部基本事件的概率之和为 1 求解即可. (Ⅱ)先列出甲、乙二人停车付费之和为 36 元的所有情况,再利用古典概型及其概率计算 公式求概率即可. 解答: 解: (Ⅰ)设“甲临时停车付费恰为 6 元”为事件 A,





所以甲临时停车付费恰为 6 元的概率是 . (Ⅱ)设甲停车付费 a 元,乙停车付费 b 元,其中 a,b=6,14,22,30. 则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为: (6,6) , (6,14) , (6,22) , (6,30) , (14,6) , (14,14) , (14,22) , (14,30) , (22,6) , (22,14) , (22,22) , (22,30) , (30,6) , (30,14) , (30,22) , (30,30) ,共 16 种情形. 其中, (6,30) , (14,22) , (22,14) , (30,6)这 4 种情形符合题意. 故“甲、乙二人停车付费之和为 36 元”的概率为 .

点评: 本题考查古典概型及其概率计算公式、 独立事件和互斥事件的概率, 考查利用所学 知识解决问题的能力. 19. (12 分)在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 ABB1A1 为矩形,AB=1,AA1= AA1 的中点,BD 与 AB1 交于点 O,CO⊥侧面 ABB1A1. (Ⅰ)证明:BC⊥AB1; (Ⅱ)若 OC=OA,求三棱锥 C1﹣ABC 的体积. ,D 为

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: (I) 利用△ AOD ∽△B1OB, 可求得 OA、 OD 的长, 根据勾股定理可证 AB1⊥BD, 可证 AB1⊥平面 CBD,从而可证线线垂直; (II)由(1)知 OC 为三棱锥 C﹣ABA1 的高,底面△ ABA1 为直角三角形,利用三棱锥的 换底性求得三棱锥的体积. 解答: 解: (I)证明:由题意得 BD= 且△ AOD∽△B1OB, ∴
2

=

,AB1=



=

=
2

= ,∴OD= BD=
2

,AO=



∵AO +OD =AD ,∴AB1⊥BD, 又 CO⊥侧面 ABB1A1,∴AB1⊥CO, 又 BD 与 CO 交于点 O,∴AB1⊥面 CBD, 又∵BC?面 CBD,∴BC⊥AB1. (II)∵OC=OA= ,且 A1C1∥平面 ABC,

由(1)知 OC 为三棱锥 C﹣ABA1 的高, 底面△ ABA1 为直角三角形, ∴ = = ×OC= × ×1× × = .

点评: 本题考查了棱锥的体积计算,考 查了线面垂直的判定与性质,考查了面面垂直的 判定,考查学生的空间想象能力与运算能力. 20. (12 分)已知圆的方程为 x +y =4,过点 M(2,4)作圆的两条切线,切点分别为 A1、 A2,直线 A1A2 恰好经过椭圆 C1: + =1(a>b>0)的右顶点和上顶点.
2 2

(1)求直线 A1A2 的方程及椭圆 C1 的方程; (2)椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率,求椭圆 C2 的方程; (3)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)x=2 是圆的一条切线,切点为 A1(2,0) ,设 O 为圆心,根据圆的切线性质, MO⊥A1A2,由此能求出直线 A1A2 的方程和椭圆 C1 的方程. (2)设椭圆 C2 的方程为 , (a>2) ,由 e= 能求出椭圆 C2 的方程. =2 ,求直线 AB 的方程.

(3) 设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 设直线 AB 的方程为 y=kx, 并分别代入 得 , ,由此能求出直线 AB 的方程.





解答: 解: (1)观察知,x=2 是圆的一条切线,切点为 A1(2,0) , (1 分) 设 O 为圆心,根据圆的切线性质,MO⊥A1A2, (2 分) 所以 所以直线 A1A2 的方程为 , (3 分) , (4 分)

直线 A1A2 与 y 轴相交于(0,1) ,依题意 a=2,b=1, (6 分) 所求椭圆 C1 的方程为 .

(2)依题意设椭圆 C2 的方程为

, (a>2) ,

∵e=

,∴

,解得 a =16,

2

∴椭圆 C2 的方程为

. (8 分)

(3)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , ∵ ,∴O,A,B 三点共线且不在 y 轴上, (9 分)

∴设直线 AB 的方程为 y=kx, 并分别代入 , ∵ ,∴ 和 ,得: , (11 分) ,∴ ,

解得 k=±1,∴直线 AB 的方程为 y=x 或 y=﹣x. 点评: 本题考查直线方程及椭圆方程的求法,解题时要认真审题,注意直线方程、圆、椭 圆等知识点的合理运用.

21. (12 分)已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=



(I)当 k=e 时,求函数 h(x)=f(x)﹣g(x)的单调区间和极值; (Ⅱ) 若 f(x)≥g(x)恒成立,求实数 k 的值. 考点: 函数恒成立问题. 专题: 计算题;综合题;探究型;分类讨论. 分析: (Ⅰ)把 k=e 代入函数解析式,求出函数的导函数,由导函数的符号得到函数的单 调区间,进一步求得函数的极值; (Ⅱ)求出函数 h(x)的导函数,当 k≤0 时,由函数的单调性结合 h(1)=0,可知 h(x) ≥0 不恒成立,当 k>0 时,由函数的单调性求出函数 h(x)的最小值,由最小值大于等于 0 求得 k 的值. 解答: 解: (Ⅰ)注意到函数 f(x)的定义 域为(0,+∞) , h(x)=lnx﹣ ,

当 k=e 时,



若 0<x<e,则 h′(x)<0;若 x>e,则 h′(x)>0. ∴h(x)是(0,e)上的减函数,是(e,+∞)上的增函数,

故 h(x)min=h(e)=2﹣e, 故函数 h(x)的减区间为(0,e) ,增区间为(e,+∞) ,极小值为 2﹣e,无极大值. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,

当 k≤0 时,h′(x)>0 对 x>0 恒成立, ∴h(x)是(0,+∞)上的增函数, 注意到 h(1)=0,∴0<x<1 时,h(x)<0 不合题意. 当 k>0 时,若 0<x<k,h′(x)<0; 若 x>k,h′(x)>0. ∴h(x)是(0,k)上的减函数,是(k,+∞)上的增函数, 故只需 h(x)min=h(k)=lnk﹣k+1≥0. 令 u(x)=lnx﹣x+1(x>0) , , 当 0<x<1 时,u′(x)>0; 当 x>1 时,u′(x)<0. ∴u(x)是(0,1)上的增函数,是(1,+∞)上的减函数. 故 u(x)≤u(1)=0 当且仅当 x=1 时等号成立. ∴当且仅当 k=1 时,h(x)≥0 成立, 即 k=1 为所求. 点评: 本题考查了函数恒成立问题, 考查了数学转化思想方法和函数构造法, 训练了利用 函数的导函数判断函数的单调性,训练了利用导数求函数的最值,是有一定难度题目. 四.选考题(从下列三道解答题中任选一道作答,作答时,请注明题号;若多做,则按首 做题计入总分,满分 10 分.请将答题的过程写在答题卷中指定的位置 22. (10 分)如图,AB 是圆 O 的直径,C,D 是圆 O 上两点,AC 与 BD 相交于点 E,GC, GD 是圆 O 的切线,点 F 在 DG 的延长线上,且 DG=GF.求证: (1)D、E、C、F 四点共圆; (2)GE⊥AB.

考点: 圆的切线的性质定理的证明;与圆有关的比例线段. 专题: 立体几何. 分析: (Ⅰ)如图,连接 OC,OD,则 OC⊥CG,OD⊥DG,可得四点 O,D,G,C 共 圆.设∠CAB=∠1,∠DBA=∠2,∠ACO=∠3,可得∠COB=2∠1,∠DOA=2∠2.于是 ∠DGC=180°﹣∠DOC=2(∠1+∠2) .利用切线长定理可得 DG=CG,而 DG=GF,可得 GF=GC.从而可得∠F=∠1+∠2.可得∠DEC+∠F=180°,即可证明. (Ⅱ)延长 GE 交 AB 于 H.由 GD=GC=GF,可得点 G 是经过 D,E,C,F 四点的圆的圆 心.可得 GE=GC,∠GCE=∠GEC.又∠GCE+∠3=90°,∠1=∠3,可得∠AEH+∠1=90°, 进而得出证明.

解答: 解: (Ⅰ)如图,连接 OC,OD,则 OC⊥CG,OD⊥DG, ∴四点 O,D,G,C 共圆. 设∠CAB=∠1,∠DBA=∠2,∠ACO=∠3, ∠COB=2∠1,∠DOA=2∠2. ∴∠DGC=180°﹣∠DOC=2(∠1+∠2) . ∵DG=GF,DG=CG. ∴GF=GC. ∴∠GCF=∠F. ∵∠DGC=2∠F,∴∠F=∠1+∠2. 又∵∠DEC=∠AEB=180°﹣(∠1+∠2) , ∴∠DEC+∠F=180°, ∴D,E,C,F 四点共圆. (Ⅱ)延长 GE 交 AB 于 H. ∵GD=GC=GF,∴点 G 是经过 D,E,C,F 四点的圆的圆心. ∴GE=GC,∴∠GCE=∠GEC. 又∵∠GCE+∠3=90°,∠1=∠3, ∴∠GEC+∠3=90°,∴∠AEH+∠1=90°, ∴∠EHA=90°,即 GE⊥AB.

点评: 本题综合考查了四点共圆的判定与性质、切线长定理、圆的切线的性质、互余角之 间的关系、 垂直的判定等基础知识与基本技能方法, 考查了推理能力和计算能力, 属于难题.

23.选修 4﹣4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 0 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知圆 C 的极坐标方程为 ρ=2acos(θ+ (Ⅰ)当 a= ) (a>0) .

时,设 OA 为圆 C 的直径,求点 A 的直角坐标; (t 为参数) ,直线 l 被圆 C 截得的弦长为 d,若 d≥ ,

(Ⅱ)直线 l 的参数方程是 求 a 的取值范围.

考点: 参数方程化成普通方程;直线与圆的位置关系;点的极坐标和直角坐标的互化. 专题: 直线与圆. 分析: (Ⅰ)把 a 值代入圆的极坐标方程,化极坐标方程为直角坐标方程,求出圆的圆心 坐标,求出 OA 所在直线方程,与圆的方程联立后可求 A 的坐标;

(Ⅱ)化圆的极坐标方程为直角坐标方程,求出圆心坐标,化直线的参数方程为直角坐标 方程,由圆心到直线的距离求出圆心距,从而得到直线 l 被圆 C 截得的弦长 d,由 d≥ , 求 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)a= 得
2 2

时,由 ρ=2acos(θ+

) , ,即 x +y =4x﹣4y.
2 2

所以圆 C 的直角坐标方程为(x﹣2) +(y+2) =8 ① ∴圆心 C(2,﹣2) . 又点 O 的直角坐标为(0,0) , 所以直线 OA 的直线方程为 y=﹣x② 联立①②解得 (舍) ,或

所以点 A 的直角坐标为(4,﹣4) ; (Ⅱ)由 ρ=2acos(θ+ 圆 C 的直角坐标方程为 由 ,得直线 l 的直角坐标方程为 y=2x. ) ,得 ,

所以圆心 C(



)到直线 l 的距离为



∴d=

=



所以



,解得



点评: 本题考查了参数方程和直角坐标方程的互化,考查了极坐标化 直角坐标,考查了 直线和圆的位置关系,是基础的计算题.

24.已知函数 f(x)=|x﹣1|. (1)解不等式 f(x)+f(x+4)≥8; (2)若|a|<1,|b|<1,且 a≠0,求证:f(ab)>|a|f( ) .

考点: 绝对值不等式的解法;不等式的证明. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: (Ⅰ)根据 f(x)+f(x+4)=|x﹣1|+|x+3|=

,分类讨论求得

不等式 f(x)+f(x+4)≥8 的解集. 2 2 (Ⅱ)要证的不等式即|ab﹣1|>|a﹣b|,根据|a|<1,|b|<1,可得|ab﹣1| ﹣|a﹣b| >0,从而 得到所证不等式成立.

解答: 解: (Ⅰ)f(x)+f(x+4)=|x﹣1|+|x+3|=



当 x<﹣3 时,由﹣2x﹣2≥8,解得 x≤﹣5; 当﹣3≤x≤1 时,f(x)≤8 不成立; 当 x>1 时,由 2x+2≥8,解得 x≥3. 所以,不等式 f(x)≤4 的解集为{x|x≤﹣5,或 x≥3}. (Ⅱ)f(ab)>|a|f( ) ,即|ab﹣1|>|a﹣b|. 因为|a|<1,|b|<1, 2 2 2 2 2 2 2 2 所以|ab﹣1| ﹣|a﹣b| =(a b ﹣2ab+1)﹣(a ﹣2ab+b )=(a ﹣1) (b ﹣1)>0, 所以|ab﹣1|>|a﹣b|,故所证不等式成立. 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法, 体现了等价转化和分类讨论的数学思想, 属于 中档题.


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