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初高中数学衔接课程教案01-三角形的五心


初高中数学衔接课程教案 01 三角形的五心 一、知识点梳理 1、三角形的重心:三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心. 性质: (1)三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2. (2)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等. (3)三角形所在平面内的所有点中,三角形的重心到三个顶点的距离的平方和最小. 2、三角形的垂心:三角形的三条高交于一点

,这点称为三角形的垂心. 性质: (1)锐角三角形的垂心在三角形的内部;直角三角形的垂心在三角形的直角顶点 处;钝角三角形的垂心在三角形的外部. (2)三角形的三个顶点、三个垂足和垂心这 7 个点可以得到 6 个共圆的四点组合. (3)斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中,任何三个为顶点的三角形的垂心就是第 四个点.所以把这样的四个点称为一个“垂心组”. 3、三角形的外心:三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心. 过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆, 外接圆的圆心即三角形的外心, 这个三角形 叫做这个圆的内接三角形. 三角形有且只有一个外接圆. 性质: (1)三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等.都等于三角形的外接圆半径. (2)锐角三角形的外心在三角形内;直角三角形的外心在斜边中点;钝角三角形 的外心在三角形外. 4、三角形的内心:三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆, 内切圆的圆心即三角形的内心, 这个三 角形叫做圆的外切三角形. 性质: (1)三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径. (2)若三角形的三条边长分别为 a,b,c,面积为 s,则其内切圆半径 r ?

2s . a?b?c

(3)直角三角形的内心到各边的距离等于两直角边的和与斜边的差的二分之一. 拓展内容:①内角平分线定理:如图,AD 为△ABC 中 ?BAC 的平分线,则有

A c b C

AB BD 上左 下左 ? ( = ) AC DC 上右 下右
B

(证明:作 BE//AC 交其延长线于 E,则 ?E ? ?DAC .∵

D

?BAD ? ?DAC , ∴ ?E ? ?BAD ,AB ? BE =c.又∵BE//AC, AB EB BD ? = 易证△ADC ∽△EDB, ∴ , 得证. ) AC AC DC
②外角平分线定理: 如图, AD 为△ABC 的外角平分 A

c

FE

E

B C

D

线,交 BC 延长线于 D,则有

AB BD ? . AC DC

(证明:作 CE//AB 交 AD 于 E,则 ?AEC ? ?EAF .∵ ?EAF ? ?EAC ,∴

?AEC ? ?EAC , AC ? AE .又∵CE//AB,易证△ADB ∽△EDC,∴
得证.)

AB AB BD ? = , AC CE DC

5、 三角形的旁心: 三角形的一条角一条角平分线与另外两个角的外角平分线交于一点, 该点称为这个三角形的旁心. 性质: (1)三角形有三个旁心. (2)三角形的旁心到三角形三边的距离相等. 二、典型例题 例 1、证明重心定理:三角形的三条中线交于一点。 证法 1
A F B D G C E

∥1BC,由三角形相 如图,D、E、F 为三边中点,设 BE、CF 交于 G,连接 EF,显然 EF = 2 似可得 GB=2GE,GC=2GF. 又设 AD、BE 交于 G',同理可证 G'B=2G'E,G'A=2G'D,即 G、G'都是 BE 上从 B 到 E 的三 分之二处的点,故 G'、G 重合. 即三条中线 AD、BE、CF 相交于一点 G. 证法 2

A

F G H B D I

E

C

设 BE、CF 交于 G,BG、CG 中点为 H、I.连 EF、FH、HI、IE, ∥1BC,HI = ∥1BC, 因为 EF = 2 2 所以 EFHI 为平行四边形.

所以 HG=GE、IG=GF,GB=2GE,GC=2GF. 同证法 1 可知 AG=2GD,AD、BE、CF 共点.证毕.

例 2、证明外心定理:三角形三边的垂直平分线交于一点; 证明:如图,设 AB、BC 的中垂线交于点 O,则有 OA=OB=OC,故 O 也在 AC 的中垂线上, 因为 O 到三顶点的距离相等,故点 O 是 ΔABC 外接圆的圆心.因而称为外心.
A

O B C

例 3、证明内心定理:三角形的三条角平分线交于一点。 证明: 如图, 设∠A、 ∠C 的平分线相交于 I、 过 I 作 ID⊥BC, IE⊥AC, IF⊥AB, 则有 IE=IF=ID. 因 此 I 也在∠C 的平分线上,即三角形三内角平分线交于一点.
A M I B D H E K C

F

例 4、证明垂心定理:三角形三边上的三条高线交于一点。 证明:以锐角三角形为例,如图,AD、BE 是三角形的两条高线,设 BE、CF 交于点 O,连 结 AO 并延长交 BC 于 D,因为 ?OFA ? ?OEA ? 180? ,所以 A、F、O、E 四点共圆, 所以 ?EAO ? ?EFO ,同理可得,B、C、E、F 四点共圆,所以 ?EFC ? ?EBC 。于 是 ?EAD ? ?EBD ,从而 A、B、D、E 四点共圆,所以 ?ADB ? ?AEB ? 90? ,因此

AD ? BC ,命题得证。

思考:对于直角三角形和钝角三角形的情形,是否可以用同样方法证明?

例 5、已知 ?ABC 的三边长分别为 BC = a, AC = b, AB = c ,I 为 ?ABC 的内心,且 I 在

?ABC 的边 BC、AC、AB 上的射影分别为 D、E、F ,求证: AE = AF =
证明:作 ?ABC 的内切圆,则 D、E、F 分别为内切圆在三边上的切点,

b+ c- a . 2

AE、AF 为圆的从同一点作的两条切线,所以 AE=AF,同理,BD=BF,CD=CE.

\ b + c - a = AF + BF + AE + CE - BD - CD = AF + AE = 2 AF = 2 AE , b+ c- a 即 AE = AF = . 2

提高型: 例 6、过等腰△ABC 底边 BC 上一点 P 引 PM∥CA 交 AB 于 M;引 PN∥BA 交 AC 于 N.作点 P 关于 MN 的对称点 P'.试证:P'点在△ABC 外接圆上. 证明由已知可得 MP'=MP=MB,NP'=NP=NC, 故点 M 是△P'BP 的外心,点 N 是△P'PC 的外心.于是有 1 1 ∠BP'P= ∠BMP= ∠BAC, 2 2 1 1 ∠PP'C= ∠PNC= ∠BAC. 2 2 ∴∠BP'C=∠BP'P+∠P'PC=∠BAC. 从而,P'点与 A、B、C 共圆,即 P'在△ABC 外接圆上. 例 7、AD,BE,CF 是△ABC 的三条中线,P 是任意一点.证明:在△PAD, △PBE,△PCF 中,其中一个面积等于另外两个面积的和. 证明设 G 为△ABC 重心,直线 PG 与 AB,BC 相交.从 A,C,D,E,F 分 别作该直线的垂线,垂足为 A',C',D',E',F'. 易证 AA'=2DD',CC'=2FF',2EE'=AA'+CC', ∴EE'=DD'+FF'. 有 S△PGE=S△PGD+S△PGF. 两边各扩大 3 倍,有 S△PBE=S△PAD+S△PCF. 三、巩固练习 1、如果一个三角形的面积与周长都被一条直线平分,则此直线一定通过三角形的( A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 答案:A 2、ΔABC 中,∠A=45?,BC=a,高 BE、CF 交于点 H,则 AH=( 1 1 A. aB. 2aC.aD. 2a 2 2 答案:C ) )
P'

A N

B

M
P

C

A A' F ' F G B D E
E' D'
C'

C
P

3、下面三个命题中: ⑴设 H 为 ΔABC 的高 AD 上一点, ∠BHC+∠BAC=180?, 则点 H 是 ΔABC 的垂心; ⑵设 G 为 ΔABC 的中线 AD 上一点,且 SΔAGB=SΔBGC,则点 G 是 ΔABC 的重心; ⑶设 E 是 ΔABC 的外角∠BAK 的角平分线与 ΔABC 的外接圆⊙ O 的交点,ED 是⊙O 的直径,I 在线段 AD 上,且 DI=DB,则 I 是 ΔABC 的内心. 正确命题的个数是( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 答案:B,只有(3)是对的
B F

A

H

E

D

C

4、 如图, 设 G 为△ABC 的重心, M、 N 分别为 AB、 CA 的中点, 求证: 四边形 GMAN 和△GBC 的面积相等.
A

M

N G C

B

证明如图,连 GA,因为 M、N 分别为 AB、CA 的中点,所以△AMG 的面积=△GBM 的面积, △GAN 的面积=△GNC 的面积, 即四边形 GMAN 和△GBC 的面积相等. 5、三角形的任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的二倍. 证明如图,O 为 ΔABC 的外心,H 为垂心,连 CO 交 ΔABC 外接圆于 D,连 DA、DB,则 DA⊥AC,BD⊥ BC, 又 AH⊥BC, BH⊥AC. 所以 DA∥BH, BD∥AH, 从而四边形 DAHB 为平行四边形.又显然 DB=2OM, D 所以 AH=2OM. 同理可证 BH=2ON,CH=2OK.证毕.
B K O M C H N A


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