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数学归纳法教学设计1


数学归纳法教学设计
环县一中 姚志智 【教材分析】数学归纳法是以解决与正整数有关问题的一种推理方法, 它将一个 无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程, 是证明与正整数有关问题的有力 工具, 本节课主要是让学生了解数学归纳法原理,并能够用数学归纳法解决一些 简单的实际应用问题。 【学情分析】学生在学习本节之前已经学习过归纳推理, 以及一些简单的数学证 明方法,并且已经

开始使用与正整数有关的结论(在求曲边梯形面积中) ,但学 生只是停留在认知阶段, 对问题本质没有作更进一步的研究。另外高二学生经过 了一年半的高中学习之后, 已初步具有了发现和探究问题的能力,这为本节学习 数学归纳法奠定了一定的基础。 【教学目标】 1、知识与技能目标: (1)了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关 的数学命题; (2)进一步发展猜想归纳能力和创新能力,经历知识的构建过程, 体会类比 的数学思想。 2、过程与方法目标: (1)通过对例题的探究,体会由猜想到证明的数学方法; (2)努力创设积极思考、大胆质疑的课堂愉悦情境,提高学习兴趣和课堂效 率。 3、情感态度与价值观目标: 通过对数学归纳法的学习, 进一步感受数学来源于生活,并形成严谨的科学 态度和勤于思考、善于观察的学习习惯。

【教学重点】数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握。 【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解。 【教法准备】讲授法,引导发现法,合作探究法。 【教具准备】传统板书与多媒体辅助教学相结合。 【教学过程】 一、创设情境,引出课题 1、问题情境,方法引入:

2 ? 3? 5 2 3? 4 ? 7 2 4? 5? 9 1 ? 22 ? 32 ? 1 ? 22 ? 32 ? 42 ? ; ; ; 6 6 6 5 ? 6 ?11 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? 52 ? ;…… 6 12 ? 22 ? 情境一:
问:①请同学们观察以上等式,可以猜想出什么结论? ( 12 ? 22 ? 32 ? …+n 2 ?

n(n ? 1)(2n ? 1) ) 6

②对于以上问题,你能完成证明吗? 注:①对于第一个问题,由于学生在学习求曲边梯形面积时已经用过,再结 合归纳推理,学生很容易得出结论; ②第二个问题,学生利用现有知识,无法完成证明。 师: ①今天我们一起探究如何解决形如上面与正整数有关的问题(追问引出 课题:数学归纳法) ②其实这种方法来源于生活,请同学们看多米诺骨牌的视频。 情境二: (播放多米诺骨牌视频) 问:怎样才能让多米诺骨牌全部倒下? 二、师生合作,探究新知: 探究一:让所有的多米诺骨牌全部倒下,必须具备什么条件? 条件一:第一张骨牌倒下; 条件二:任意相邻的两张骨牌,前一张倒下一定导致后一张倒下。

注:此问题由学生合作交流完成,必要时,教师重新播放视频或给予提示。 探究二:同学们在看完多米诺骨牌视频后,是否对证明

12 ? 22 ? 32 ? …+n 2 ?

n(n ? 1)(2n ? 1) 有些启发?(证明本题对任意正整数都成立 6

相当于验证让骨牌全部倒下的条件) 注:通过以上合作交流,以及使骨牌全部倒下的两个条件,此时,师生共同 探究得到解决引例的方法: (1)第一块骨牌倒下相当于证明当 n ? 1 时,命题成立; (2) 对于任一块骨牌倒下相邻的后一块也倒下, 相当于当 n ? k (k ? 1, k ? N * ) 时命题成立,证明当 n ? k ? 1 时命题也成立。 师: (投影)证明 12 ? 22 ? 32 ? …+n 2 ? (1)证明当 n ? 1 时,命题成立; (2)假设当 n ? k (k ? 1, k ? N * ) 时命题成立,证明当 n ? k ? 1 时命题也成立。 探究三:第一块骨牌不倒行不行?假如从第二块、第三块骨牌开始将骨牌 推倒,结果会是怎样?(第一块骨牌必须倒,才能让所有的骨牌倒下。如果从第 二块或第三块开始倒,则只能让该块骨牌后面的全部倒下。 ) 注: 此问题说明第一块骨牌倒下对全部骨牌倒下的重要性,同时也说明在证 明与正整数有关问题时, n0 是使命题成立的最小正整数, n0 不一定取 1,也可以 取其它正整数。 师: (板书) “数学归纳法” 一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行: (1) (归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0 (n0 ? N * ) 时命题成立; (2) (归纳递推)假设 n ? k (k ? n0 , k ? N * ) 时命题成立,证明当 n ? k ? 1 时, 命题也成立。 只要完成以上两个步骤,就可以判定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成

n(n ? 1)(2n ? 1) 的两个步骤: 6

立。 上述方法叫做数学归纳法。 三、错例辨析: (利用多媒体展示) 1、求证:所有的奇数都是 2 的倍数。 证明:假设第 m 个奇数为 k,且 k 为 2 的倍数,则第 m+1 个奇数为 k + 2, 而 k+2 也是 2 的倍数,所以命题成立。 2、用数学归纳法证明: 1 ? 3 ? 5 ? …+(2n-1)=n 2 证明: (1)当 n ? 1 时,左边 ? 1 ,右边 ? 12 ? 1 ,等式成立; (2)假设当 n ? k (k≥1,k ? N*)时, 1 ? 3 ? 5 ? …+(2k-1)=k2 ,那么:

1 ? 3 ? 5 ? …+(2k-1)+(2k+1)=
时也成立。

[1 ? 2(k ? 1) ? 1](k ? 1) ? (k ? 1) 2 , 则 当 n ? k ? 1 2

根据(1)和(2) ,可知等式对任何 n ? N * 都成立。 注:①对例 1,师先让学生讨论一下数学归纳法中没有第一步行不行,进而 说出这个例子,让学生理解当 n ? n0 时,命题成立的重要性,没有第一步,就如 同空中阁楼,是不可靠的。另外在例 1 中,让学生明白假设是错误的,此处并不 是把假设当作条件来用, 数学归纳法的第二步其实是一个条件命题,第一步已经 验证是正确的, 如果有怀疑, 第二步中 k 可以取 n0, 这其实是在证明一个传递性。 ②对例 2,师首先说明在利用数学归纳法证题时,当 n ? k ? 1 时的证明必须 利用 n ? k 的归纳假设,并用课本上的思考题举例:即猜想证明 a n ?
得到 a k ?1 ?

1 ,在 n

1 1 时必须要利用 ak ? 这一步。然后请学生观察例 2 并从中找出错 k k ?1

误 (第二步中的错误是没有利用 n=k 的假设进行证明, 而直接利用了等差数列求 和公式) ,以增强学生对第二步的理解。 四、典例分析:

n(n ? 1)(2n ? 1) (n ? N * ) 6 1? (1 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1, 师: (板书) 证明: (1) 当 n ? 1 时, 左边 ? 12 ? 1 , 右边 ? 6
例 1:用数学归纳法证明 12 ? 22 ? 32 ? …+n 2 ? 等式成立; (2)假设当 当n ? k (k ? 1, k ? N*) 时,等式成立,即:

12 ? 22 ? 32 ? …+k2 ?

k (k ? 1)(2k ? 1) ,那么: 6

12 ? 22 ? 32 ? …+k2 ? (k ? 1) 2 ? ?

k (k ? 1)(2k ? 1) ? (k ? 1) 2 6

(k ? 1)(2k 2 ? 7 k ? 6) 6 (k ? 1)(k ? 2)(2k ? 3) ? 6 (k ? 1)[(k ? 1) ? 1][2(k ? 1) ? 1] ? 6

即:当 n ? k ? 1 时,等式成立。 根据(1)和(2) ,可知等式对任何 n ? N * 都成立。 注:上例让学生独立完成,师板书写现完整过程,以突出数学归纳法证题的 一般步骤。 五、反馈练习,加深理解: 用课本 P96 中 A 组第一题作为课堂练习题,分组让学生试做。 六、归纳小结: (学生总结,教师整理) 1、数学来源于生活。 2、数学归纳法中蕴含着一种很重要的数学思想:递推思想。 3、数学归纳法一般步骤。 4、应用数学归纳法要注意以下几点: (1)第一步是基础,没有第一步,只有第二步就如空中楼阁,是不可靠的;

(2)第二步是证明传递性,只有第一步,没有第二步,只能是不完全归纳 法; (3)n0 是使命题成立的最小正整数,n0 不一定取 1,也可取其它一些正整 数; (4)第二步的证明必须利用归纳假设,否则不能称作数学归纳法。 七、布置作业: 1、书面作业:P96 习题 2.3 【板书设计】 § 2.3 数学归纳法
数学归纳法: 1. …… 2. …… ………… 例 1:…… 证明:…… 学生板演 …… ……

A组,第 2 题,B 组 第一题。

【教后反思】


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