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2.2.2 双曲线的参数方程


2.2.2 圆锥曲线的参数方程 双曲线的参数方程

复习回顾
双 曲 线 性 质 图象
y

范围

对称 性

顶点

渐近 线

离心 率

x2 y 2 ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0) y

x ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0)
2 2

x?a
x

o

x ? ?a
y?a




y o x

y ? ?a

b c 关于 (?a,0) y ? ? x e ? 坐标 a a 轴和 (其中 原点 2 2 2 都对 a c ? a ?b ) 称 (0,?a) y ? ? x b

1.双曲线的参数方程 y l1
B′

l3 A

l2

l

l4
a

b

φ B O

M A′ x

M的轨迹动画

? a ? a 则A? ? , 0 ? , B? ? b, b tan ? ? ? cos ? ? a ? ?x ? ? ? cos ? ??为参数 ?, 1 ? sec ? 记 cos ? ? y ? b tan ? ? b x ? a sec ? ? 所以M 的轨迹方程是 ? (?为参数) ? y ? b tan ?
2 2 2

双曲线的参数方程 设?AOx=? ,M ( x, y)

y A

动画
B'

?

?M
A' x

o B

1 sin ? 又 sec ? ? tan ? ? ? ? 1 即sec2 ? ? tan 2 ? ? 1 cos 2 ? cos 2 ? x2 y2 消去参数后,得 2 - 2 =1, a b 这是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线。

? 3? 说明:1,通常规定? ?[o,2? )且? ? ,? ? 。 2 2

x y ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ?的参数方程为: 2 a b

2

双曲线的参数方程 2

? x ? a sec ? ??为参数 ? ? ? y ? b tan ?

2,这里参数 ? 叫做双曲线的离心角,不是OM的旋转角.

x2 y2 3, 双曲线的参数方程可以由方程 2 ? 2 ? 1 与三角恒等式 a b 2 2

sec ? ? tan ? ? 1相比较而得到,所以双曲线的参数方程

的实质是三角代换. ? x ? b tan ? y 2 x2 4, 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ?的参数方程为:? ??为参数 ? a b ? y ? a sec ?

5,推广:中心在 ? x0 , y0 ? , 焦点在与x轴平行的直线上, 以2a为实轴,b为虚轴 ? a ? 0,b ? 0 ?的双曲线的参数方程为: 2 ? x ? x0 ? a sec ? ??为参数? ? ? y ? y0 ? b tan ?

例1:将参数方程和普通方程进行互化; ? x ? 2 3 sec ? ? x ? 3 tan ? ? ? 1? ? ? ??为参数 ?;2 ? ? y ? sec ? ??为参数 ? ? ? y ? 4 3 tan ? ?2 x y2 y2 x2 ? 3 ? ? ? 1; ? 4? ? ? 1 25 16 9 16

解:
x2 y 2 ?1? ? ? 1; 12 48
x ? 2 ? y ? ? 1; 9
2 2

? x ? 4 tan ? ? x ? 5sec ? ? 3? ? ??为参数 ?;? 4 ? ? y ? 3sec ? ??为参数 ? ? ? y ? 4 tan ?

试一试

1.已知双曲线的参数方程为:
5 的离心率为______. 2

?

x ? 2 tan ? y ? 4sec?

(? 为参数),则双曲线

2.已知双曲线的参数方程为:

?

x ? 3 tan ? y ?sec?

(? 为参数),则它的两条渐

600 近线所成的锐角是______.

x2 y2 例2:如图,设M为双曲线 2 ? 2 ? 1 ? a , b ? 0 ? 上任意一点,o为原 a b 点,过点M 作双曲线两渐近线的平行线,分别与两渐近线交于A, B两点,探求平行四边形MAOB的面积,由此可以发现什么结论? b 解: y 双曲线的渐近线方程为:y ? ? x. a 不妨设M为双曲线右支上一点,其坐标为(asec?,btan?), A b M x 则直线MA的方程为:y ? b tan ? ? ? ( x ? a sec ? ). a O b B 将y= x代入,解得点A的横坐标为 a x =a (sec? ? tan?). A 2 a 同理可得,点B的横坐标为xB = (sec? ? tan?). b 2 设?AOx=? ,则tan? ? . a xA xB ? sin2? 所以MAOB的面积为 S?MAOB =|OA||OB|sin2? = ? cos? cos? 2 2 2

由此可见,平行四边形MAOB的面积恒为定值, 与点M在双曲线上的位置无关。

a (sec ? -tan ? ) a2 a 2 b ab = ? 2sin? cos? = ? tan ? ? ? ? . 2 4cos ? 2 2 a 2

例3:已知等轴双曲线x ? y ? a 上任意一点P, 求证:点P到两渐近线的距离之积是常数。 解:设P ? a sec ? , a tan ? ?
2 2 2

等轴双曲线x 2 ? y 2 ? a 2的两渐近线的方程为:y= ? x a sec ? ? a tan ? 则P到直线x-y=0的距离为: d1 ? 2 P到直线x+y=0的距离为: a sec ? ? a tan ? d2 ? 2 a sec ? ? a tan ? a sec ? ? a tan ?
? d1 ? d 2 ?

?

2 a 2 sec 2 ? ? a 2 tan 2 ?

?

2

?

a(sec ? ? tan 2 ?)
2 2

2

2

a 为常数 ? 2

2

例4. 设P为等轴双曲线x 2 ? y 2 ? 1上的一点, F1 , F2是两个焦点, 证明 :| PF1 | ? | PF2 |?| OP | .
2

y P

F1

O

F2 x

复习:双曲线的标准方程
焦点在x轴上:
y
M

y

(a ? 0,b ? 0)
F ( ±c, 0)

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

焦点在y轴上:

F O
1

F

2

x

O

x

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b (a ? 0,b ? 0)
F(0, ± c)

c ? a ?b
2 2
2 2

2

问题:如何判断双曲线的焦点在哪个轴上?

看 x , y 前的系数,哪一个为正, 谁正谁对应a 则在哪一个轴上


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