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2016.10.10 直线与圆的位置关系(第三课时)


切线的性质和切线长定理

复习巩固
(1)定义

判定切线的方法:
直线与圆相切

( 2 ) d=r

(3)切线的判定定理. (已知直线过圆上一点: 连半径,证垂直) (不明确直线是否过圆上一点: 作垂直,证半径)

如图,D为⊙O的直径AB延长线上一

点,PD是⊙O的切线,∠D=300. 求证:PA=PD
P A O B D

画一画
1、如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线? 借助三角板,我们可以画出PA是⊙O的切线。
2、这样的切线能画出几条? 3、如果∠P=50°,求∠AOB的度数
A

130°
O

50°

P

B

经过圆外一点的圆的切线上,这一点和 切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长
A
O

·
· B

P

A

O

P

B 切线与切线长是一回事吗? 它们有什么区别与联系呢? 切线和切线长是两个不同的概念: 1、切线是一条与圆相切的直线,不能度量; 2、切线长是线段的长,这条线段的两个端点分 别是圆外一点和切点,可以度量。

图中有哪些等量关系? PA = PB ∠OPA=∠OPB O A B

P

切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长 相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的 夹角。 A
书写格式:

∵ PA、PB分别与 ⊙O相切于A、B ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB

O
B

P

反思:切线长定理为证明线段相等、角相 等提供新的方法

A

·
B

C

如图,若连接AB,则OP与AB有什么关系? ⌒ ⌒ AD与BD 相等吗?

从圆外一点引圆的两条切线,圆心和这一点 的连线垂直平分切点所成的弦;平分切点所 成的弧。

o

D

p

例题:

A

O

M

P

C B (1)若PA=4、PM=2,求圆O的半径OA (2)已知OA=3cm,OP=6cm,则∠APB= (3)若∠APB=70°,则∠AOB= = ° ,AB



(4)OP交⊙O于M,则

OP

练习

如图,已知⊙O的半径为3厘米,PO=6厘米, PA,PB分别切⊙O于A,B,则PA=______,

A P O B

如图,在△ABC中,∠B=90°,O是AB上 一点,以O为圆心,OB为半径的圆交AB于 点E,切线AC与⊙O切于点D。求证: DE∥OC C
D A E · O 1 2

B

如图,在△ABC中,∠B=90°,O是AB上 一点,以O为圆心,OB为半径的圆交AB于 点E,切线AC与⊙O切于点D。求证: DE∥OC C
D A E · O 1 2

B

已知:如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别 是A、B,Q为AB上一点,过Q点作⊙O的切线, 交PA、PB于E、F点,已知PA=12CM,求△PEF 的周长。

A E
Q P B O

F

如图,PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点. 直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E,交 AB 于 C. (1)写出图中所有的垂直关系; (2)写出图中所有的全等三角形. (3)如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半 径 OA 的长.
A O C D

P

B

我们学过的切线,常有 六个 五个 性质:
1、切线和圆只有一个公共点;

2、切线和圆心的距离等于圆的半径;
3、切线垂直于过切点的半径; 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点; 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。 6、从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线 长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的 夹角。

如图,PA、PB是⊙O的两条切线,切点分 别为点A、B,若直径AC= 12,∠P=60o, 求弦AB的长

定 义

三角形与圆的位置关系

如图是一块三角形铁皮,如何在它上面 裁下一块圆形的用料,并且使裁下的圆与三 角形的三条边都相切? A B C

例1: 作圆,使它和已知三角形的各边都相切
A
N IM

已知: △ABC(如图)

B

D

C

求作:和△ABC的各边都相切的圆

A B

与三角形各边都相切的圆 叫三角形的内切圆 C

三角形叫圆的外切三角形 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线 的交点叫三角形的内心

三角形内切圆的圆心叫三角形的内心

①三角形的内心是三角形角平 分线的交点 三角形 ②三角形的内心到三边的距 内心的 离相等 性质 ③三角形的内心一定在三角形的 内部

三角形与圆的位置关系
这样的圆可以作出几个?为什么A?. 1、一个三角 F 形有且只有 ?∵直线 BE和CF只有一个交 I 点I,并且点 I 到△ ABC 三边的 一个内切圆
?
● ●

E

距离相等(为什么?),
?

B



C

∴因此和△ABC三边都相切的圆可以 作出一个,并且只能作一个.

名称

确定方法 三角形 三边中 垂线的 交点 三角形三 条角平分 线的交点
B

图形
A

性质

外 心 (三角形 外接圆的 圆心)
内 心 (三角 形内切 圆的圆 心)

O B

C

(1)OA=OB=OC (2)外心不一定 在三角形的内 部.

A

O

(1)到三边的距离 相等; (2)OA、OB、 OC分别平分 ∠BAC、∠ABC、 ∠ACB; (3)内心在三角形 C 内部.

例1 :△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB 分别相切于 点D、E、F,且AB=9cm, BC=14cm,CA=13cm, 求AF、BD、CE的长.

三角形的内切圆的有关计算 如图,△ABC的内切圆的 半径为r, △ABC的周长为l, 求△ABC的面积S.
三角形的面积等于 其周长与内切圆半径 乘积的一半.
B
A D O F

·
C

E

设△ABC的三边为a、b、c,面积为S, 则△ABC的内切圆的半径
2S r= a + b + c

判断题:

1、三角形的内心到三角形各个顶点的距离相 等 2、三角形的外心到三角形各边的距离相等
3、等边三角形的内心和外心重合; ( 4、三角形的内心一定在三角形的内部( )



5、菱形一定有内切圆(
6、矩形一定有内切圆(




1、等边三角形的内切圆半径、外接圆的 半径和高的比为( )
( A ) 1∶ 2 ∶ 3 (C)1∶ 3 ∶2 (B)1∶ 3 ∶2 (D)1∶2∶3

练一练: 1.直角三角形的外接圆半径为5cm, 内切圆半径为1cm, 则此三角形的周长是_______.

如图,已知E是△ABC的内心,∠A平分线 交BC于F,且与△ABC的的外接圆交于点D, 求证:DE=DB。

F

已知:如图,△ABC的面积S=4cm2,三边长 a=4.5,b=3,c=2.5.求内切圆⊙O的半径r.

A D O O ●


F



B

E

C

3、如图,在△ABC中,∠C=90°,它的内 切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、 E、F,且BD=6,AD=4. 求⊙O的半径r.
A D

4
4
O F

6
B

r
6
E

rC

变式:如上图,△ABC中,∠C =90?,且AC=6, BC=8,它的内切圆O分别与边AB、BC、 CA相切于点D、E、F,求⊙O的半径r.

6-r

A

8 8-r
B

D O E

6-r
F

6

r
C

8-r

r

小结
1. 学习了三角形内切圆、三角形的内心、圆的外 切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形的概 念. 2. 利用作三角形的内角平分线,任意两条角平分 线的交点就是内切圆的圆心,交点到任意一边的距 离是圆的半径.

3.在学习有关概念时,应注意区别“内”与 “外”,“接”与“切”;还应注意“连结内心和 三角形顶点”这一辅助线的添加和应用.

4,如图,△ABC的内切圆圆O,切点分别为 D、E、F,已知AB=AC,FG⊥BC于G,下 列结论中:①DF∥BC;②E为BC的中点; ③若G为EC的中点。则点H在CD上;④若 AB=5,BC=6,则圆O的半径为1.5;其中正 确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

5.如图,AB是圆O的直径,BC是圆O的切线, 切点为B,D是圆O上一点,CD=CB,连AD、 OC,OC交圆O于E,交BD于F,下列结论: ①CD是圆O的切线;②CE=2EF;③ AD∥OC;④E是△ABC的内心,其中正确 的个数( ) A.1 B.2 C.3 D.4


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