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5、幂函数图像与性质


问题引入

我们先看几个具体问题:

(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需
要支付p= w 元 (2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积
S?

y?x
2

a

2

y?x
y? x

/>1 2

(3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积
V?

a

3

3

(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的 边长 a ? 度
V?

S

y?x
km / s

1 2

(5)如果人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均速

t

?1

y? x

?1

幂函数的定义:
一般地,函数 y ? x 叫做幂函数 ? 为 (power function) ,其中x为自变量, 常数。
注意: (1)幂函数的解析式必须是
?

y?x

?

的形式,

? 前的系数必须是 1,没有其它项。 x

(2)定义域与 ? 的值有关系.

幂函数与指数函数的对比:
名称 式子 指数函数: y=a
(a>0且a≠1)
x

常数 a为底数 α为指数

x
指数 底数

y
幂值 幂值

幂函数: y= xα

判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看未知数x是指数还是底数
指数函数

幂函数

快速反应

y ? 0.2

x

y?x

1 2

(指数函数)

(幂函数)

y?x

?1

y ?5
5

x

(幂函数)

(指数函数)

y ?3

?x

y? x
(幂函数)

(指数函数)

幂函数的图象及性质

对于幂函数,我们只讨论 ? =1,2,3, ,
1 -1时的情形。 2

五个常用幂函数的图像和性质
3 2 y ? x y ? x (1) (2) y ? x (3)

(4) y ? x

1 2

(5) y ? x

?1

函数 y ? x 的图像

定义域: 值 域:

R R

奇偶性:在R上是奇函数
单调性:在R上是增函数

函数 y ? x 的图像
2

定义域:

R

值 域:[0,??) 奇偶性: 在R上是偶函数 单调性: 在[0,??)上是增函数

在(??,0]上是减函数

函数 y ? x

?1

的图像

定义域:{x x ? 0} 值 域:{ y

y ? 0}

奇偶性:在{x x ? 0}上是奇函数

单调性: 在(0,??)上是减函数

在(??,0)上是减函数

x y=x3 y=x1/2

… … …

-2 -8 /

-1 -1 /
y 8

0 0 0

1 1 1

2 8
2

3 27

4 … 64 …

3

2 …

y=x3
6
4 2

y=x
1 2 3 4 x

1 2

-3

-2

-1

0 -2 -4 -6 -8

函数 y ? x 的图像
3

定义域: 值 域:

R R

奇偶性: 在R上是奇函数

单调性:在R上是增函数

函数 y ? x 的图像

1 2

定义域:[0,??) 值 域:[0,??) 奇偶性:非奇非偶函数

单调性:在[0,??)上是增函数

幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性,随常 数α取值的不同而不同.

y=x
定义域 值域 R R

y = x2
R [0,+∞) 偶函数

y=

x3

y? x
[0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶 函数

1 2

R R 奇函数

y?x 0? (0,+?) ? ??, 0? (0,+?) ? ??,
奇函数

?1

奇偶性 奇函数

在(-∞,0] 在R上 在(0,+∞) 在( -∞,0), 在R上 上是减函 是增函 上是增函数 (0, +∞)上是 单调性 是增函 数,在(0, 减函数 +∞)上是 数 数 增函数 公共点 (1,1)

y?x
(-2,4)

2
4

y?x
3

3
(2,4)

y=x

2

y?x
(1,1)
2 4 6

1 2

(-1,1)

1

y?x

-4

?1

-2

(-1,-1)

-1

-2

-3

(-2,4)

4

y=x3 (2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

1、所有幂函数在(0,+∞) 上都有定义,并且图象 都通过点(1,1). 2、在第一象限内, α >0,在(0,+∞)上为增函数; α <0,在(0,+∞)上为减函数. 3、α为奇数时,幂函数为奇 函数, α为偶数时,幂函数为偶 函数.

y=x 2
2

1

(-1,1)
-4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

练习:利用单调性判断下列各值的大小。 (1)5.20.8 与 5.30.8 (2)0.20.3-2 与 0.30.3 -2

(3)

2.5

5

与 2.7

5

解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数, ∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数 ∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3 (3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5

例2 : 例 1.证明幂函数f ( x) ?

x在[0,??)上是增函数.

证明: 任取x1 , x2 ? [0,??), 且x1 ? x2 , 则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ?
? x1 ? x2 x1 ? x2

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) x1 ? x2

因为0 ? x1 ? x2 , 所以x1 ? x2 ? 0, x1 ?

x2 ? 0,

所以f ( x1 ) ? f ( x2 ) 即幂函数f ( x ) ? x在[0,??)上的增函数 .

例3 若 ? m ? 4 ?

1 ? 2

? ? 3 ? 2m ? ,
1 ? 2

1 ? 2

则求m的取值范围.

解 : 幂函数f ( x) ? x 的定义域是(0, ??) 且在定义域上是减函数, ? 0 ? 3 ? 2m ? m ? 4 1 3 ?? ? m ? ,即为m的取值范围. 3 2

小结: 幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性, 随常数α取值的不同而不同.
1.所有幂函数的图象都通过点(1,1); 2.当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数.
α>1 a=1

3.如果α>0,则幂函数 在(0,+∞)上为增函数;

0<α<1

如果α<0,则幂函数 在(0,+∞)上为减函数。

α<0


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