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2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第2章 第7讲 函数的值域与最值


1.若函数y=x2-4x的定义域是{x|1≤x<5, {-4,-3,0} x∈N},则其值域为____________.
解析:分别将x=1,2,3,4代入函数解析式解 得y=-3,-4,-3,0,由集合中元素的互异

性可知值域是{-4,-3,0}.

[-4,5) 2.函数y=x2-4x,x∈[1,5)的值域是___

_____.
3.已知函数y=log3x的值域为[1,3],则x的取

值范围是________. [3,27]

1 2 4.若函数f ? x ? ? ? x ? 1? ? a的定义域和值域 2 都是[1,b] ? b ? 1?,则a ? 1 ,b ? 3 .

a ?1 ? ? f ?1? ? 1 ? 解析:依题意得 ? ,即 ? 1 2 ? f ?b ? ? b ? 2 ? b ? 1? ? a ? b ? 得b ? 1或b ? 3.又b ? 1,所以b ? 3.

x ?1 5.函数y ? 2 的值域为 x ?1
2

[-1,1)

.

x2 ? 1 x2 ? 1 ? 2 2 解析:方法1:因为y ? 2 ? ?1? 2 . 2 x ?1 x ?1 x ?1 2 2 又因为x ? 1 ? 1,所以0 ? 2 ? 2, x ?1 2 所以 ? 2 ? ? 2 ? 0,所以 ? 1 ? y ? 1. x ?1 x2 ? 1 1? y 2 方法2:由y ? 2 ,所以x ? ? 0, x ?1 1? y 所以 ? 1 ? y ? 1.

函数的值域
【例1】 求下列函数的值域. x ; ?1? y= ? x ? 3x ? 4;  ? y= ?2 2x ? 1 ? 3? y= | x+1| + | x-2 | ;4 ? y=2x-1- 6 ? 2 x; ?
2

5 ? 5? y=log 1 ( x -x+ ). 4 2
2

3 2 25 5 【解析】1?因为y= ?? x ? ? ? ,所以y ? [0, ]. ? 2 4 2 1 2x ?1 ?1 1 1 2 ?因为y= ( )= (1 ? ), ? 2 2x ?1 2 2x ?1 1 1 所以y ? (-?, ) U ( ,+?). 2 2 ? ?2 x ? 1( x ? ?1) ? ? 3?由y=?3(?1 ? x ? 2) ,得y ? [3,+?). ? 2 x ? 1( x ? 2) ?

? 4 ?由u=
2

6 ? 2 x ? 0,得2x=6-u 2,

1 2 21 则y=-u -u+5=-(u+ ) + ,所以y ? (-?,. 5] 2 4 5 1 5 ?由u=x 2-x+ =( x- ) 2+1 ? 1,得y ? (-?,. 0] ? 4 2

以上各题所用方法是求函数值域 常见的方法:

(1)二次函数法;
(2)分离系数(亦可用反函数法); (3)分段函数法; (4)换元法(注意新元的取值范围); (5)复合函数转化法.

【变式练习】 1 x2 ? x ? 3 ; ?1? y= 2 x ? x ?1 1 ? 2x ? 2 ? y= x ; 1? 2 3x ( x ? 0); ? 3? y= 2 x ? x ?1 ? 4 ? y=log 1 x+2( x ? ? 0,3?).
3

【解析】1? 将原式转化为关于x的方程(1-y ) x 2 ? +( y-1) ? x+3-y=0( y ? 1),该方程对x ? R成立, 所以?=( y-1) 2-4(1-y )(3-y ) ? 0,且y ? 1, 11 11 即3y -14y+11 ? 0,解得1 ? y ? ,所以y ? (1, ]. 3 3 1? y x ? 0.综上,得y ? (-1,1). ? 2 ? 转化为2 = 1? y
2

? 3?当x=0时,y=0;当x ? 0时,
3 转化为y= ? x ? 0 ?.综上,得y ? ?0,1?. 1 x ? ?1 x ? 4 ?当x ? ? 0,3?时,log 1 x ? [-1,+?),所以y ? [1,+?).
3

函数值域的应用
【例2】
已 知 函 数 f(x) = x2 + bx + c(b≥0 , c∈R).是否存在函数f(x)满足其定义域、 值域都是[-1,0]?若存在,求出f(x)的表 达式;若不存在,请说明理由.

b 【解析】因为函数图象的对称轴是x=- , 2 b 又b ? 0,所以- ? 0. 2 1 b ?1?当- < ? 0,即0 ? b ? 1时, 2 2 b 则当x=- 时,f ? x ? 有最小值-1, 2 b ? ?b ? 4 ? f (- ) ? ?1 ?b ? 0 则? ?? 或? (舍). 2 ?c ? ?1 ?c ? 3 ? f (?1) ? 0 ?

b 1 ? 2 ?当-1 ? - ? - ,即1 ? b ? 2时, 2 2 b ? ?b ? ?2 ? f (- ) ? ?1 ?b ? 2 则? ?? (舍)或 ? (舍). 2 ?c ? 0 ?c ? 0 ? f (0) ? 0 ? b ? 3?当- ? -1,即b ? 2时, 2 ? f (-1) ? ?1 ?b ? 2 则? ,解得 ? 满足题意. ? f (0) ? 0 ?c ? 0 综上所述,符合条件的函数有两个: f ? x ?=x 2-1或f ? x ?=x 2+2x.

含有参数的一元二次函数的定义域 与值域相同问题,本质上就是二次函数

的最值.求解的关键是通过函数图象进
行分析,由函数的最大值与最小值和函 数的值域进行比较而得一方程组,再通 过方程组的解的存在性进行判断.

【变式练习2】已知函数f ? x ? ? x 2 ? 2x ? 3在 [0,a] ? a ? 0 ? 上的最大值为3,最小值为2, 求实数a的取值范围.
解析:f ? x ? ? x ? 2x ? 3 ? ? x ? 1? ? 2,
2 2

当0 ? a ? 1时,函数f ? x ? ? ? x ? 1? ? 2在
2

[0,a]上递减,故最大值为f ? 0 ? ? 3,最小值 为f ? a ? ? a ? 2a ? 3 ? ? a ? 1? ? 2 ? 2,所以
2 2

0 ? a ? 1不符合题意.

当a ? 1时,函数f ? x ? ? ? x ? 1? ? 2在 ? 0,1? 上递
2

减,在[1,a ]上递增,故最小值为f ?1? ? 2. 又因为f ? 0 ? ? 3,所以f ? 0 ? ? f ? a ?. ? a ?1 即? 2 ,解得1 ? a ? 2. ? a ? 2a ? 此时,函数f ? x ? ? ? x ? 1? ? 2在[0,a ]上最大值
2

为3,最小值为2. 综上所述,a的取值范围是1 ? a ? 2.

1.若函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3}, {-1,0,3} 则其值域为____________ 2.若定义在R上的函数y=f(x)的值域为[a, [a,b] b],则y=f(x+1)的值域为________

3.(2011 ? 南师附中模拟卷)已知函数f ? x ? ? ? x ? x ? 0? ? ,若f ? x ? ? 3,则x的取值 ? 2 ?? x ? 4 x ? x ? 0 ? ? [-1,9]∪(-∞,-3] . 范围是 

4.已知函数f ? x ?=2+log3 x(1 ? x ? 9), 求函数y=? f ? x ? ? +f ? x ?的最大值. ? ?
2 2

【解析】y=? f ? x ? ? +f ? x 2 ? ? ?
2

=(2+log 3 x) 2+2+log 3 x 2 =? log 3 x ? +6log 3 x+6=(log 3 x+3) 2-3.
2

?1 ? x ? 9 由? ,得1 ? x ? 3,所以log 3 x ? ? 0,1?. 2 ?1 ? x ? 9 所以,当log 3 x=1,即x=3时,ymax=16-3=13.

1 5.已知函数f ? x ?=x +x+ .若f ? x ?的定义 2 域为[n,n+1](n ? N),求f ? x ?的值域中整
2

数的个数.

1 【解析】因为函数f ? x ?=x +x+ 的图象的 2 1 对称轴方程为x=- , 2 所以函数f ? x ?的值域为[ f ? n ?,f (n+1)],
2

1 5 2 即[n +n+ ,n +3n+ ]. 2 2 1 5 2 2 而n +n+ ,n +3n+ 都不是整数, 2 2 1 5 2 2 所以在区间[n +n+ ,n +3n+ ]上共有 2 2 1 5 2 2 n +n+ -(n +3n+ )=2n+2个整数. 2 2
2

1.函数的值域 求函数值域的方法是依据函数的表达 式来选择的.根据表达式的结构,有如下 的常见方法可供选择:配方法、换元法、 具体函数法(如二次函数、反比例函数、分 段函数)、基本不等式法、数形结合法、判 别式法、导数法.求函数的值域,必须首 先考虑函数的定义域.

2.求函数的值域常常用到以下性质: x 2 ? 0; x ? 0;a x ? 0(a ? 0且a ? 1); -1 ? sinx ? 1;-1 ? cosx ? 1. 3.函数的值域一定要写成集合或区 间的性质.


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