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100测评网高三数学复习江苏省常州市北郊中学2008-2009高三第一学期期中测试


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江苏省常州市北郊中学 2008-2009 高三第一学期期中测试 数学试题
总分:160 分 一. 填空题: (每小题 5 分,共 70 分)
2 1. 若复数 z ? m ? 5m ? 6 ? ? m ? 3? i 是纯虚数,则实数 m ?

r />
时间:120 分钟

?

?



2. 已知两条直线 m, n ,两个平面 ? , ? ,给出下面四个命题: ① m // n, m ? ? ? n ? ? ; ③ m // n, m // ? ? n // ? ; 其中正确命题的序号是 ② ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n ; ④ ? // ? , m // n, m ? ? ? n ? ? . . .

3. y ? sin x ? t cos x 在 x ? 0 处的切线方程为 y ? x ? 1 ,则 t ?

4. 现有性状特征一样的若干个小球,每个小球上写着一个两位数,一个口袋里放有标着所 有不同的两位数的小球, 现任意取一个小球, 取出小球上两位数的十位数字比个位数字大的 概率是 .

5. 一个几何体的俯视图是一个圆,用斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为 6 和 4 的 平行四边形,则该几何体的体积为___________. 6. 已知:圆 M: x ? y ? 2 y ? 0 ,直线 l 的倾斜角为 120 ,与圆 M 交于 P、Q 两点,若
2 2
?

OP? OQ ? 0 (O 为原点),则 l 在 x 轴上的截距为
2

?

?

.

7. 在区间 [ ?1,1] 上任意取两点 a , b ,方程 x ? ax ? b ? 0 的两根均为实数的概率为 P ,则

P 的取值范围为

.
?

8. 面积为 S 的 ?ABC 的三边 a, b, c 成等差数列, ?B ? 60 , b ? 4 ,设 ?ABC 外接圆的面 积为 S ,则 S : S ?
' '

9. 某算法的伪代码如右:

s←1 i←1 While s≤200 i←i+2 s←s*i End While Print i
第9题

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则输出的结果是 .

10. 若在由正整数构成的无穷数列{an}中,对任意的正整数 n,都有 an ≤ an+1,且对任意的 正整数 k,该数列中恰有 2k–1 个 k,则 a2008= .

) ? 1 ,则 11. 已知 f ( x ? 1) 为奇函数, f ( x ? 1) 为偶函数, f (2008 f (4) ?
.

12. 设函数 f ( x) ? 2 sin ?x, x ? [?

? ?

, ] ,其中 ? 是非零常数.(1)若 f ( x) 是增函数,则 4 3

?

的 取 值 范 围 是 ____________ ; ( 2 ) 若 f ( x) 的 最 大 值 为 2 , 则 ? 的 最 大 值 等 于

____________.

? 3x ? y ? 0 ? OA ? OP ? 13. 已知 A(3 3) , O 是原点,点 P( x, y) 的坐标满足 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则(1) | OA | ?y ? 0 ? ?
的最大值为 ; (2)

OA ? OP | OP |

的取值范围为

.

14. 曲线 C :

x ? y ? 1上的点到原点的距离的最小值为

.

二.解答题: (共 6 小题,90 分) 15.(14) 已知函数 f ( x) ? ? x3 ? x2 ? 3x ? a . (1)求 f ( x) 的单调减区间; (2)若 f ( x) 在区间 ? ?3,4? 上的最小值为

1 3

7 ,求 a 的值. 3

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16. (14) 已知向量 a ? (sin( ?x ? ? ), 2), b ? (1, cos( ?x ? ? ))( ? ? 0,0 ? ? ?
? ?

?
2

) ,函数

? ? ? ? 7 f ( x) ? ( a ? b )(a ? b ), y ? f ( x) 的图象的相邻两对称轴之间的距离为 2, 且过点. M (1, ) . 2

(1)求 f ( x) 的表达式;

). (2)求 f (0) ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? ? ? f (2008

17. (15) 如图所示的几何体由斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 和 A2 B2C2 ? A1B1C1 组成,其斜三 棱柱 ABC ? A1B1C1 和 A2 B2C2 ? A1B1C1 满足

ABB 1A 1 ?

A2 B2 B1 A1 、
C2 A2

BCC1B1 ?

B2C2C1B1 、

CAA1C1 ?

C2 A2 A1C1 。

(1)证明: AA2 ? A1C1 ; (2)证明: AA2 ? 面ABC ; (3)若 AB ? AC ? AA 1 , ?CAB ? 90 ,
?

B2 C1 A1 C B1

面AA 1 B ? 面ABC . 问:侧棱 AA 1 和底面 ABC
所成的角是多少度时, A1C2 ∥ 面BCC1B1 . A

B

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18. (15) 已知直线 l 的方程为 x ? ?2 ,且直线 l 与 x 轴交于点 M,圆 O : x2 ? y 2 ? 1 与 x 轴交于 A, B 两点(如图) . (1)过 M 点的直线 l1 交圆于 P、 Q 两点,且圆孤 PQ 恰为圆周的

1 ,求直线 l1 的方程; 4

(2)求以 l 为准线,中心在原点,且与圆 O 恰有两个公共点的椭圆方程; (3)过 M 点的圆的切线 l2 交(II)中的一个椭圆于 C、D 两点,其中 C、D 两点在 x 轴上方,求线段 CD 的长. l P M A O B x y

Q

l1

19. (16) 已知 f ( x) ? x | x ? a | ?2 . (1)若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; (2)若当 x ? [0,1] 时,恒有 f ( x) ? 0 ,求实数 a 的取值范围.

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20. (16) 在数列 ?a n ?中,已知 an ? 1, a1 ? 1, 且 a n ?1 ? a n ? (1)记 bn ? (a n ?

a n ?1

2 , n? N ? . ? an ? 1

1 2 ) , n ? N ? . 求证:数列 ?bn ?是等差数列; 2

(2)求 a n 的通项公式; (3)对于任意的正整数 k ,是否存在 m ? N ,使得 a m ? k ?若存在,求出 m 的值; 若不存在,请说明理由.
?

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参考答案
1、2 6、 2、①④ 3、 t ? 1 8、 4、0.5 5、 72? 或 48? 9、9 10、45

3 3

7、

1 9 ? p? 2 16
12、 0 ? ? ?

4 3 ? 9

11、 f (4) ? ?1 15、解: (1)

3 ,? ? ?2 2

13、 3 ; [?3,3]

14、

2 4

f ?( x) ? ? x2 ? 2 x ? 3, 令 f ?( x) ? 0 ,则 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0.

解得 x ? ?1 或 x ? 3. ∴函数 f ( x) 的单调减区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) . (2)列表如下:

x
f ?( x)

-3

( ?3, ?1)


-1 0

(?1,3)
+

3 0

(3, 4)


4

f ( x)
∴ f ( x) 在 ( ?3, ?1) 和 (3, 4) 上分别是减函数,在 (?1,3) 上是增函数. 又

5 20 f (?1) ? a ? , f (4) ? a ? , ? f (?1) ? f (4). 3 3

? f (?1) 是 f ( x) 在 [?3, 4] 上的最小值.

5 7 ?a ? ? . 解得 a ? 4. 3 3
16、解: (1)
? ? ? ? ?2 ?2 ? ?

f ( x) ? ( a ? b )(a ? b ) ? a ? b ?| a |2 ? | b |2 ? sin 2 (?x ? ? ) ? 4 ? 1 ? cos2 (?x ? ? ) ? ? cos(2?x ? 2? ) ? 3
由题意知,周期 T ? 即 sin 2? ?

1 ? ? ? ? ? ,? 0 ? ? ? , ? 2? ? , ? ? . ? f ( x) ? 3 ? cos( x ? ) 2 2 6 12 2 6

2? ? 7 ? ? 2 ? 2,? ? ? . 又图象过点 M ,? ? 3 ? cos( ? 1 ? 2? ), 2? 4 2 2

(2) y ? f ( x)的周期T ? 4 , 又 f (0) ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? (3 -

3 1 3 1 ) ? (3 ? ) ? (3 ? ) ? (3 - ) ? 12, 2 2 2 2

? f (0) ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? ? ? f (2008 ) ? 502 [ f (0) ? f (1) ? f (2) ? f (3)] ? f (2008 ) ? 502? 12 ? f (0) ? 6027? 3 2

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17、 (1)取 AA2 的中点 T ,连接 A1T 、 C1T ,∵ ∴ A1 A ? A1 A2 ,

CAA1C1 ?

C2 A2 A1C1

C1 A ? C1 A2

∴ AA2 ? A1T , AA2 ? C1T .

若 A1 、 C1 、T 共线,易知 AA2 ? A1C1 ; 若 A1 、 C1 、T 不共线, AA2 ? 面A1C1T ∴ AA2 ? A1C1 (2)同(1)可证明 AA2 ? 面B1C1T , ∵ 面C1TA1 与 面B1C1T 过公共点 T , 所以 面C1TA1 与 面B1C1T 重合. 即 面A1 B1C1 ∥ 面ABC (3) ∴ AA2 ? 面ABC

? 3
2 1 ? . PQ 为圆周的 ,??POQ ? . ? O 点到直线 l1 的距离为 2 4 2

18、解: (1I)

设 l1 的方程为 y ? k ( x ? 2),?

| 2k | k ?1
2

?

2 1 ,? k 2 ? . 2 7

7 ( x ? 2). 7 x2 y 2 a2 ? 2. (2)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,半焦距为 c,则 a b c

? l1 的方程为 y ? ?

椭圆与圆 O 恰有两个不同的公共点,则 a ? 1 或 b ? 1. 当 a ? 1 时, c ? , b2 ? a2 ? c2 ? ,?所求椭圆方程为 x 2 ?

1 2

3 4

4 y2 ?1; 3 x2 ? y 2 ? 1. 2

当 b ? 1 时, b2 ? c 2 ? 2c,?c ? 1,? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2. ?所求椭圆方程为 (3)设切点为 N,则由题意得,椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1, 2

在 Rt ?MON 中, MO ? 2, ON ? 1 ,则 ?NMO ? 30 ,

x2 3 ( x ? 2) ,代入椭圆 ? y 2 ? 1 中,整理得 5 x 2 ? 8 x ? 2 ? 0. 2 3 8 2 设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? . 5 5

? l2 的方程为 y ?

1 4 64 8 4 ? CD ? (1 ? )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? ( ? )? 2. 3 3 25 5 5

? 2 a 2 a2 x ? ax ? 2 ? ( x ? ) ? 2 ? ,x?a ? ? 2 4 19、解: (1) f ( x) ? x | x ? a | ?2 ? ? 2 ?? x 2 ? ax ? 2 ? ?( x ? a ) 2 ? 2 ? a , x ? a. ? 2 4 ?

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当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间为 (?? , ) 和 (a,??) ,单调递减区间为 [ , a ] (2)(i)当 x ? 0 时,显然 f ( x) ? 0 成立; (ii)当 x ? (0,1] 时,由 f ( x) ? 0 ,可得 x ? 令 g ( x) ? x ?

a 2

a 2

2 2 ?a?x? , x x

2 2 ( x ? (0,1]), h( x) ? x ? ( x ? (0,1]) ,则有 [ g ( x)]max ? a ? [h( x)]min . x x

由 g ( x) 单调递增,可知 [ g ( x)]miax ? g (1) ? ?1. 又 h( x) ? x ?

2 2 ?( ? x ) 2 ? 2( x ? (0,1]) 是单调减函数, x x

故 [h( x)]min ? h(1) ? 3 ,故所求 a 的取值范围是 (?1,3) . 20、解: (1)? a n ?1 ? a n ? 即 (a n ?1 ?

a n ?1

2 2 2 , n ? N ? , ?an?1 ? an ? an?1 ? an ? 2. ? an ? 1

1 2 1 ) ? (a n ? ) 2 ? 2. 2 2 1 2 又? bn ? ( a n ? ) , ?bn?1 ? bn ? 2(n ? N ? ) 2
故数列 ?bn ?是以 2 为公差的等差数列. (2)由 1)知 (a n ?

1 2 1 8n ? 7 ) ? (a1 ? ) 2 ? 2(n ? 1) ? , n ? N ?. 2 2 4

? a n ? 1,? a n ?

1 ? 8n ? 7 , n? N ?. 2
?

(3)若存在 m ? N ,使得 am ? k (k ? N ? ) ,



k2 ? k 1 ? 8m ? 7 ? 1. ? k , 解得 m ? 2 2
2

因为对于任意的正整数 k , k ? k ? k (k ? 1) 必为非负偶数,

?

k2 ? k k2 ? k ? 1? N ? , 故存在 m ? ? 1, 使得 a m ? k 2 2

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