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2010-2012“华约”自主招生数学试题及参考解答


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2010 年高水平大学自主选拔学业能力测试(华约)
数学部分

一、选择题 1.设复数 w ? ( (A) ?

3 2

a?i 2 ) ,其中 a 为实数,若 w 的实部为 2,则 w 的虚部为( ) 1? i 1 1 3 (

B) ? (C) (D) 2 2 2

2.设向量 a , b ,满足 | a |?| b |? 1, a ? b ? m ,则 | a ? tb | (t ? R) 的最小值为( ) (A)2 (B) 1 ? m2 (C)1 (D) 1 ? m2

3.已知平面 α//平面 β,直线 m ? ? , n ? ? ,点 A ? m, B ? n, AB 与平面 α 的夹角为 AB 与 m 的夹角为

? ,则 m 与 n 的夹角为( ) . 3

? , AB ? n , 4

(A)n/3 (B)n/4 (C)n/6 (D)n/8 4.正四棱锥 P-ABCD 中,B1 为 PB 的中点,D1 为 PD 的中点,则两个棱锥 A-B1CD1 与 P-ABCD 的 体积之比

VA? B1CD1 VP ? ABCD



) . (D)1:3

(A)1:6

(B)1:5 (C)1:4

5.在 ?ABC 中,三边长 a, b, c ,满足 a ? c ? 3b , 则 tan

A C tan 的值为( ) 2 2 1 1 1 (A) (B) (C) 5 4 2

(D)

2 3

? OH 6. 如图, ABC 的两条高线 AD, BE 交于 H , 其外接圆圆心为 O , O 作 OF 垂直 BC 于 F , 过
与 AF 相交于 G ,则 ?OFG 与 ?GAH 面积之比为( ) (A) 1 : 4 (B) 1 : 3 (C) 2 : 5 (D) 1 : 2
ax 7.设 f ( x) ? e (a ? 0) .过点 P (a, 0) 且平行于 y 轴的直线与曲线 C : y ? f ( x) 的交点为 Q ,曲线

C 过点 Q 的切线交 x 轴于点 R ,则 ?PQR 的面积的最小值是( )

(A)1

(B)

2e 2

(C)

e 2

(D)

e2 4

1

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x2 y 2 x2 y 2 ? k (a ? 2, k ? 0) ,椭圆 C2 : 2 ? ? 1 .若 C2 的短轴长与 C1 的实轴长 8.设双曲线 C1 : 2 ? a 4 a 4
的比值等于 C2 的离心率,则 C1 在 C2 的一条准线上截得线段的长为( ) (A) 2 2 ? k (B)2 (C) 4 4 ? k (D)4

9.欲将正六边形的各边和各条对角线都染为 n 种颜色之一,使得以正六边形的任何 3 个顶点作为 顶点的三角形有 3 种不同颜色的边, 并且不同的三角形使用不同的 3 色组合, n 的最小值为 则 ( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 10.设定点 A、B、C、D 是以 O 点为中心的正四面体的顶点,用 ? 表示空间以直线 OA 为轴满足 条件 ? ( B) ? C 的旋转,用 ? 表示空间关于 OCD 所在平面的镜面反射,设 l 为过 AB 中点与 CD 中 点的直线,用 ? 表示空间以 l 为轴的 180°旋转.设 ? ?? 表示变换的复合,先作 ? ,再作 ? 。则 ? 可以表示为( ) (A) ?? ?? ?? ?? (B) ?? ?? ?? ?? ?? (C) ?? ?? ?? ?? (D) ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? 二、解答题

11.在 ?ABC 中,已知 2sin (Ⅰ)求角 C 的大小;

2

A? B ? cos 2C ? 1 ,外接圆半径 R ? 2 . 2

(Ⅱ)求 ?ABC 面积的最大值. 12.设 A、B、C、D 为抛物线 x2 ? 4 y 上不同的四点, A, D 关于该抛物线的对称轴对称, BC 平行于 该抛物线在点 D 处的切线 l . D 到直线 AB , 设 直线 AC 的距离分别为 d1 , d 2 , 已知 d1 ? d 2 ? (Ⅱ)若 ?ABC 的面积为 240,求点 A 的坐标及直线 BC 的方程.

2 AD .

(Ⅰ)判断 ?ABC 是锐角三角形 、 直角三角形 、 钝角三角形中的哪一种三角形,并说明理由;

2 ,求正四棱锥的表面积的最小值; 3 (Ⅱ)一般地,设正 n 棱锥的体积 V 为定值,试给出不依赖于 n 的一个充分必要条件,使得正 n 棱
13. (Ⅰ)正四棱锥的体积 V ? 锥的表面积取得最小值. 14.假定亲本总体中三种基因型式: AA, Aa, aa 的比例为 u : 2v : w (u ? 0, v ? 0, w? 0, u ? 2v ? w ?1) 且数量充分多,参与交配的亲本是该总体中随机的两个. (Ⅰ)求子一代中,三种基因型式的比例; (Ⅱ)子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗?并说明理由.

2

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15.设函数 f ( x) ?

x?m 1 2t ? 1 2 s ? 1 )? ,且存在函数 s ? ? ? t ? ? at ? b(t ? , a ? 0) ,满足 f ( . x ?1 2 t s

(Ⅰ)证明:存在函数 t ? ? (s) ? cs ? d (s ? 0), 满足 f (

2 s ? 1 2t ? 1 )? ; s t
1 . 3n ?1

(Ⅱ)设 x1 ? 3, xn?1 ? f ( xn ), n ? 1, 2,?. 证明: xn ? 2 ?

3

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2010 年五校合作自主选拔通用基础测试数学参考答案
一、选择题 ADBCC ABDBD 二、解答题 11.解: (Ⅰ)由 2sin

A? B ? cos 2C ? 1 得 2 C 2 cos 2 ? 1 ? ? cos 2C , 2
2

所以 cos C ? ?(2cos2 ?1). 即 2cos C ? cos C ? 1 ? 0
2

(2cos C ?1)(cos C ? 1) ? 0
因为 C 为 ?ABC 内角 所 cos C ? 1 ? 0 ,

cos C ? C?

? . 3

1 , 2

(Ⅱ) c ? 2 R sin C ? 4?

3 ? 2 3. 2

又由余弦定理得 c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C, , 即 12 ? a2 ? b2 ? ab, 又 a2 ? b2 ? ab ? 2ab ? ab ? ab, , 所以 ab ? 12. 有 S? ABC ?

1 3 3 ab sin C ? ab ? ? ? 3 3, , 12 2 4 4

当且仅当 a ? b 即 ? ABC 为等边三角形时,

? ABC 的面积取得最大值 3 3.
12.解: (Ⅰ)设 A( x0 , 则 D(? x0 , 由y ?
'

1 2 1 1 2 x0 ), B( x1 , x12 ), C ( x2 , x2 ), 4 4 4

1 2 x0 ) 4

1 1 x 可知的斜率 k ? ? x0 , 2 2
5

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因此可以设直线 BC 方程为 y ? ? 把y?

1 x0 x ? b. 2

1 2 x 代入,整理得 x2 ? 2x0 x ? 4b ? 0, 4

所以 x1 ? x2 ? ?2 x0 因为 AB, AC 都不平行于 y 轴, 所以直线 AB, AC 斜率之和为

k AB ? k AC

1 2 1 2 2 2 ( x1 ? x0 ) ( x2 ? x0 ) ?4 ?4 ? ( x1 ? x2 ? 2 x0 ) ? 0 x1 ? x0 x2 ? x0

可知直线 AB, AC 的倾角互补,而 AD 平行于 x 轴, 所以 AD 平分 ?CAB. 作 DE ? AB, DF ? AC, E, F 为垂足 则 ? ADE ? ADF 可得 DE ? DF 由已知 DE ? DF ? 2 AD , 可得 DE ?

2 AD , ,所以 ?DAE ? ?DAF ? 45

所以 ?CAB ? 90, ? ABC 为直角三角形 (Ⅱ)如图,根据的结果,可以设直线的方程分别为

1 2 1 2 x0 ? ?( x ? x0 ), y ? x0 ? x ? x0 , 4 4 1 2 把 y ? x 分别代入,得 4 y?
2 2 x2 ? 4x ? x0 ? 4x0 ? 0, x2 ? 4x ? x0 ? 4x0 ? 0,

所以 AB ? 2 2 x0 ? 2 , AC ? 2 2 x0 ? 2 . 由已知可知 所以

1 AB AC ? 240, , 2

1 2 ? 8 x0 ? 4 ? 240, 解得 x ? ?8, , 2

所以 A(8,16) 或 A(?8,16)

6

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当取 A(?8,16) 时,求得 B (4, 4) ,又 BC 斜率 ?

1 x0 ? 4, , 2

所以直线 BC 方程为 y ? 4 ? 4( x ? 4) ,即 4 x ? y ? 12 ? 0. 同理,当取 A(8,16) 时,直线 BC 方程为 4 x ? y ? 12 ? 0. 13.解: (Ⅰ)设正四棱锥的底面正方形的边长为 2a ,高为 h .则正四棱锥的体积

4 2 V ? a2h ? . 3 3
正四棱锥的表面积 S ? 4(a 2 ? a a 2 ? h2 ).

2 S3 a h 从而 S ? ? 8( )2 (1 ? 1 ? ( )2 )3 . 2 9V h a
3

令 t ? ( ) , 设 f (t ) ? (1 ? 1 ? t ) , t ? 0
2 3

h a

1 t

则 f '(t ) ?

(1 ? 1 ? t )2 (t ? 2 ? 2 1 ? t ). 2t 2 1 ? t

令 f '(t ) ? 0, 解得 t ? 8. 当 0 ? t ? 8 时, f '(t ) ? 0, 当 t ? 8 时, f '(t ) ? 0.

f (t ) 当 t ? 8 时取得最小值 f (8) ? 8
正四棱锥的表面积的最小值为 4. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当时,正棱锥的表面积取得最小值。由于正棱锥的表面积与底面机之比为 可知使正棱锥的表面积取得最小值得一个充分必要条件是正棱锥的表面积是地面积的 4 倍。 14、解: (Ⅰ)参与交配的两个亲本(一个称为父本,一个称为母本)的基因型式的情况,及相应 情况发生的概率和相应情况下子一代的基因型式为 AA , Aa , aa 的概率如下表: 父本、母本的基因型式 父 AA 母 AA 父 AA 母 Aa 父 AA 母 aa 父 Aa 母 AA 父 Aa 母 Aa 相应情况 出现的概率 子一代基因 为 AA 的概率 子一代基因 为 Aa 的概率 子一代基因 为 aa 的概率

u2
2uv

1 1 2

0 1 2
1

0 0 0 0

uw
2uv

0

4v 2

1 2 1 4

1 2 1 2

1 4

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父 Aa 母 aa 父 aa 母 AA 父 aa 母 Aa 父 aa 母 aa

2vw

0 0 0 0

1 2
1

1 2
0

uw
2vw

1 2
0

1 2
1

w2

子一代的基因型式为 AA 的概率为

1 1 1 p1 ? u 2 ?1 ? 2uv ? ? 2uv ? ? 4v 2 ? ? ( u ? v ) 2 . 2 2 4 由对称性知子一代的基因型式为 aa 的概率为

p3 ? ( v ? w )2 .
子一代的基因型式为 Aa 的概率为

1 1 1 1 1 p2 ? 2uv ? ? uw ?1 ? 2uv ? ? 4v 2 ? ? 2vw ? ? uw ? 1 ? 2vw ? 2 2 2 2 2 2 ? 2( uv ? uw ? v ? vw) …

? 2( u ? v)(v ? w) .
若记 p ? u ? v ,q ? v ? w ,则 p ? 0 ,q ? 0 , p ? q ? 1,子一代三种基因型式: AA , Aa ,

aa 的比例为 p2 : 2 pq : q2 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知子二代的基因型式为 AA , Aa , aa 的比例为 ? 2 : 2?? : ? 2 ,其中 , ? ? p2 ? p q ? ? pq ? q2 . 由 p ? q ? 1,可得 ? ? p , ? ? q . 故子二代三种基因型式 AA , Aa , aa 的比例为 p 2 : 2 pq : q 2 ,与子一代基因型式的比例相同. 15 解: (Ⅰ)令 f (

2t ? 1 2 s ? 1 )? ,代入 s ? at ? b 化简得 t s

a(m ? 4)t 2 ? [b(m ? 4) ? a ? 3]t ? (b ? 1) ? 0
由于等式对所有 t ?

1 成立,可知 2

?b ? 1 ? 0 ? ?b(m ? 4) ? a ? 3 ? 0 ?a (m ? 4) ? 0 ?

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解得 b ? ?1, m ? 4, a ? 3

x?4 x ?1 2 s ? 1 2t ? 1 )? 令 f( ,代入 t ? cs ? d ,化简得 cs ? d ? 3s ? 1 s t 2 s ? 1 2t ? 1 )? 所以存在 t ? ? (s) ? 3s ? 1(s ? 0) ,使得 f ( s t f ( x) ?
(Ⅱ)令 s1 ? 1, t1 ? ? (s1 ) ? 3s1 ? 1 ? 4

sn?1 ? ? (tn ) ? 3tn ? 1 tn?1 ? ? (sn?1 ) ? 3sn?1 ? 1, n ? 1, 2,?
注意到 x1 ?

2s1 ? 1 ,由(Ⅰ)知, s1

x2 n?1 ?

2sn ? 1 2t ? 1 , x2 n ? n , n ? 1, 2,? sn tn

sn?1 ? 3tn ?1 ? 9sn ? 2
1 1 ? 9( sn ? ) 4 4 1 2n?2 ? 1) 可知 sn ? (5 ? 3 4 1 tn ? 3sn ? 1 ? (5 ? 32 n ?1 ? 1) 4
化为 sn ?1 ? 从而 x2 n ?1 ? 2 ?

1 4 ? 2? 2n?2 sn 5?3 ?1

x2 n ? 2 ?

1 4 ? 2? 2 n ?1 tn 5 ? 3 ?1
n ?1

统一写为 xn ? 2 ? (?1)

5?3

n ?1

4 , n ? 1, 2,? ? (?1) n

从而有 | xn ? 2 |?

4?3

n ?1

4 1 ? n ?1 n ?1 n ? [3 ? (?1) ] 3

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2011 年高水平大学自主选拔学业能力测试(华约)
数学部分 注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题 1.设复数 z 满足|z|<1 且 | z ?

1 5 |? 则|z| = ( z 2

)

4 3 2 1 A? ???????B? ???????C? ???????D? 5 4 3 2
2.在正四棱锥 P-ABCD 中,M、N 分别为 PA、PB 的中点,且侧面与底面所成二面角的正切 为 2 .则异面直线 DM 与 AN 所成角的余弦为( )

1 1 1 1 A? ???????B? ???????C? ???????D? 3 6 8 12
3.已知 y ? x 3 ? x 2 ? 2x ? 1 ,过点(-1, 1)的直线 l 与该函数图象相切,且(-1, 1)不是切点, 则直线 l 的斜率为 ( )

A?2??????B1??????C?? 1???????D?? 2 ? 2? ,则 cos 2 A ? cos 2 B 的最小值和最大值分别为 ( 4.若 A ? B ? 3

)

A1 ? ?

3 3 1 3 3 3 1 2 ?, ?????B? , ??????C1 ? ? ,1 ? ???????D? ,1 ? 2 2 2 2 2 2 2 2

6.已知异面直线 a,b 成 60° 角.A 为空间一点则过 A 与 a,b 都成 45° 角的平面 ( A.有且只有一个 B.有且只有两个 C.有且只有三个 D.有且只有四个

)

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7.已知向量 a ? (0,1), b ? (? 最小值为( )

?

?

? ? 3 1 ? 3 1 ? , ? ), c ? ( , ? ), xa ? yb ? zc ? (1,1) 则 x2 ? y 2 ? z 2 的 2 2 2 2

4 3 A?1???????B? ???????C? ???????D?2 3 2
8.AB 为过抛物线 y2=4x 焦点 F 的弦,O 为坐标原点,且 ?OFA ? 135 ,C 为抛物线准线与
?

x 轴的交点,则 ?ACB 的正切值为 (

)

A?2 2???????B?

4 2 4 2 2 2 ???????C? ???????D? 5 3 3

10.一个正 11 边形用对角线划分为 9 个三角形,对角线在正 11 边形内两两不相交,则( ) A. 存在某种分法,所分出的三角形都不是锐角三角形 B. 存在某种分法,所分出的三角形恰有两个锐角三角形 C. 存在某种分法,所分出的三角形至少有 3 个锐角三角形 D. 任何一种分法所分出的三角形都恰有 1 个锐角三角形 二、解答题

12.已知圆柱形水杯质量为 a 克,其重心在圆柱轴的中点处(杯底厚度及重量忽略不计,且水杯直 立放置).质量为 b 克的水恰好装满水杯,装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处. (I)若 b = 3a,求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值;

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(II)水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低?为什么?

13.已知函数 f ( x) ?

2x 1 2 1 ,f (1) ? 1,f ( ) ? .令 x1 ? ,xn ?1 ? f ( xn ) . ax ? b 2 3 2

(I)求数列 {xn } 的通项公式;

(II)证明 x1 x2 ? xn ?1 ?

1 . 2e

14.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0), F1 , F2 分别为 C 的左右焦点.P 为 C 右支上一点,且使 a 2 b2

?F1 PF2 =

?
3

, 又?F1 PF2的面积为3 3a 2 .

(I)求 C 的离心率 e ; (II)设 A 为 C 的左顶点,Q 为第一象限内 C 上的任意一点,问是否存在常数 λ(λ>0),使得

?QF2 A ? ??QAF2 恒成立.若存在,求出 λ 的值;若不存在,请说明理由.
15.将一枚均匀的硬币连续抛掷 n 次,以 pn 表示未出现连续 3 次正面的概率. (I)求 p1,p2,p3,p4; (II)探究数列{ pn}的递推公式,并给出证明; (III)讨论数列{ pn}的单调性及其极限,并阐述该极限的概率意义.

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2011 年华约数学参考答案
一、选择题 DBCBB BBADD 二、解答题 11 解: (I) tan C ? ? tan( A ? B ) ?

tan A ? tan B ,整理得 tan A tan B ? 1 tan A tan B tan C ? tan A ? tan B ? tan C

(II)由已知 3 tan A tan C ? tan A ? tan B ? tan C ,与(I)比较知 tan B ? 3,B= 又

?
3

. ,

1 1 2 2 4 ? ? ? ? sin 2 A sin 2C sin 2B sin 2? 3 3



sin 2 A ? sin 2C 4 ? sin 2 A sin 2C 3

sin( A ? C ) cos( A ? C ) 1 3 ,而 sin( A ? C ) ? sin B ? , ? cos 2( A ? C ) ? cos 2( A ? C ) 2 3
cos 2( A ? C ) ? cos 2 B ? ? 1 ,代入得 2cos 2( A ? C ) ? 1 ? 3cos( A ? C ) , 2

1 A?C 6 ? ? 1, 4cos2 ( A ? C) ? 3cos( A ? C) ?1 ? 0 , cos( A ? C ) ? 1, , cos 4 2 4
12 解:不妨设水杯高为 1. (I)这时,水杯质量 :水的质量 = 2 :3.水杯的重心位置(我们用位置指到水杯底面的距离)

1 1 2? ? 3? 1 1 4? 7 为 ,水的重心位置为 ,所以装入半杯水的水杯的重心位置为 2 2 4 2?3 20
(II) 当装入水后的水杯的重心最低时,重心恰好位于水面上.设装 x 克水.这时,水杯质量 :水的质

1 x a ? ? x? 1 x x 2b ? x , 量 = a :x.水杯的重心位置为 ,水的重心位置为 ,水面位置为 ,于是 2 2 2b b a?x b
解得 x ? a2 ? ab ? a 13 解 由 f (1) ? 1,f ( ) ? (I)方法一:先求出 x1 ?

1 2

2 2x 得a ? b ? 1,f ( x) ? 3 x ?1

1 2 4 8 2n ?1 ,x2 ? ,x3 ? ,x4 ? ,猜想 xn ? n ?1 .用数学归纳法证明.当 n = 2 3 5 9 2 ?1

1 显然成立;假设 n = k 成立,即 xk ?

2k ?1 ,则 2k ?1 ? 1

xk ?1 ? f ( xk ) ?

2 xk 2k ,得证. ? k xk ? 1 2 ? 1

14

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(II)方法一:证明

1 1 1 1 1 ? 2e .事实上, ? 2(1 ? )(1 ? )?(1 ? n ) . x1 x2 ? xn?1 2 4 2 x1 x2 ? xn ?1
n

我们注意到 1 ? 2a ? (1 ? a)2, , 2n a ? (1 ? a)2 , (贝努利(Bernoulli)不等式的一般形式: ? 1?

(1 ? x) n ? 1 ? nx , x ? (?1,??) )
于是

1 1 n?1 1 n 1 n ? 2(1 ? n )2 ??? 2?1 ? 2(1 ? n )2 ?1 ? 2(1 ? n )2 ? 2e x1 x2 ? xn?1 2 2 2

14 解:(I)如图,利用双曲线的定义,将原题转化为:在 ΔP F1 F2 中,

?F1 PF2 = ,?F1 PF2的面积为3 3a 2 ,E 为 PF1 上一点, 3 c PE = PF2, F1 =2a, 1 F2 = 2c, E F 求 .设 PE = PF2 a
= EF2 = x,F F2 =

?

3 x, 2
E , F1 2a

P F P 2c x F2
2

S?F1PF2

1 1 3 ? PF1 ?FF2 ? ( x ? 2a) x ? 3 3a 2 2 2 2

x 2 ? 4ax ? 12a 2 ? 0 , x ? 2a .
ΔE F1 F2 为等腰三角形, ?EF1 F2 ? (II) ? ?

2? c ,于是 2c ? 2 3a , e ? ? 3 . 3 a

1 2

15 分析与解:

1 7 ? ;又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有:正正正正或 8 8 3 13 ? 正正正反或反正正正,故 p 4 ? 1 ? . 16 16 1 (II)共分三种情况:①如果第 n 次出现反面,那么前 n 次不出现连续三次正面的概率 ? Pn ?1 ;②如 2
(I)显然 p1=p2=1, p 3 ? 1 ? 果第 n 次出现正面,第 n-1 次出现反面,那么前 n 次不出现连续三次正面和前 n-2 次不出现连续 三次正面是相同的, 所以这个时候不出现连续三次正面的概率是

1 ? Pn ? 2 ; ③如果第 n 次出现正面, 4 1 8

第 n-1 次出现正面,第 n-2 次出现反面,那么前 n 次不出现连续三次正面和前 n-3 次不出现连 续三次正面是相同的,所以这个时候不出现连续三次正面的概率是 ? Pn ?3 .

1 1 1 ? Pn ?1 ? ? Pn ?2 ? ? Pn ?3 .( n ? 4 ) ,④ 2 4 8 1 1 1 (III)由(II)知 Pn?1 ? ? Pn ?2 ? ? Pn ?3 ? ? Pn ? 4 , n ? 5 )⑤, ( 2 4 8
综上, Pn ?

15

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1 1 ? Pn ? 4 ( n ? 5 ) ④- ×⑤,有 Pn ? Pn?1 ? 2 16
所以 n ? 5 时,pn 的单调递减,又易见 p1=p2>p3>p4>….

n ? 3 时,pn 的单调递减,且显然有下界 0,所以 pn 的极限存在.对 Pn ? Pn?1 ?
取极限可得 lim p n ? 0 .
n ? ??

1 ? Pn ? 4 两边同时 16

其统计意义: 当投掷的次数足够多时, 不出现连续三次正面向上的次数非常少, 两者比值趋近于零.

16

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2012 年高水平大学自主选拔学业能力测试(华约)
数学部分
注意事项: 4. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 5. 将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 6. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 (1)在锐角 ?ABC 中,已知 A>B>C ,则 cos B 的取值范围为( ) (A) ? 0, ?

? ?

2? ? 2 ? ?

(B) ? ,

?1

?2

2? ? 2 ? ?

(C)

? 0,1?

(D) ? ?

? 2 ? ,1? ? ? 2 ?

(2)红蓝两色车、马、炮棋子各一枚,将这 6 枚棋子排成一列,其中每对同字的棋子中,均为红 棋子在前,蓝棋子在后,满足这种条件的不同的排列方式共有( ) (A) 36 种 (B) 60 种 (C) 90 种 (D)120 种 (3)正四棱锥 S ? ABCD 中,侧棱与底面所成角为 ? ,侧面与底面所成二面角为 ? ,侧棱 SB 与 底面正方形 ABCD 的对角线 AC 所成角为 ? ,相邻两侧面所成二面角为 ? , 则 ? , ? , ? , ? 之 间的大小关系是( ) (A)

?<?<?<? (B) ?<?<? <?

(C)

?<? <?<?

(D)

?<?<? <?

(4)向量 a ? e , e ? 1 。若 ?t ? R , a ? te ? a ? e 则( ) (A) a ? e (5)若复数 (B) a ? (a ? e) (C) e ? (a ? e) (D) (a ? e) ? (a ? e)

w ?1 1 的实部为 0, Z 是复平面上对应 的点,则点 Z ? x, y ? 的轨迹是( ) w ?1 1? w
(B) 一条线段 (C) 一个圆
2

(A) 一条直线

(D)一段圆弧

2 (6)椭圆长轴长为 4,左顶点在圆 ( x ? 4) ? ? y ? 1? ? 4 上,左准线为 y 轴,则此椭圆离心率的

取值范围是( ) (A) ? , ? ?8 4 ?

?1 1 ?

(B) ? , ? ?4 2?

?1 1?

(C) ? , ? ?8 2 ?

?1 1 ?

(D) ? , ? ?2 4?

?1 3?

(7)已知三棱锥 S ? ABC 的底面 ABC 为正三角形,点 A 在侧面 SBC 上的射影 H 是 ?SBC 的垂 心,二面角 H ? AB ? C 为 30°,且 SA ? 2 ,则此三棱锥的体积为( ) (A)

1 2

(B)

3 2

(C)

3 4

(D)

3 4

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(8)如图,在锐角 ?ABC 中, AB 边上的高 CE 与 AC 边上的高 BD 交于点 H 。以 DE 为直径作 圆与 AC 的另一个交点为 G 。已知 BC ? 25 , BD ? 20 , BE ? 7 ,则 AG 的长为( )

8
(A)

(B)

42 5

(C)10

(D)

54 5

(9)已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? lg(1 ?

2 ) , n ? 1, 2, ??? 。 Sn 是数列的前 n 项和。则 n ? 3n
2

lim S n ? ( )
n ??

(A) 0

(B)

lg

3 2

(C) lg 2
10

(D) lg 3
10

(10)已知 ?6 ? xi ? 10 (i ? 1, 2, ???10),

? xi ? 50 ,当 ? xi 2 取得最大值时,在 x1, x2 , ???x10 这十
i ?1 i ?1

个数中等于 ?6 的数共有( ) (A) 1 个 (B) 2 个 (C)3 个 (D) 4 个 二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (11)(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别为 a, b, c 。已知 2sin 2 ① 求 C 的大小 ② 若 c ? 2b ? 2a ,求 cos 2 A ? cos 2 B 的值
2 2 2

A? B ? 1 ? cos 2C 2

(12)(本小题满分 14 分) 已知两点 A? ?2,0? , B ? 2,0? ,动点 P 在 y 轴上的射影是 H ,且 PA ? PB ? 2 PH ① 求动点 P 的轨迹 C 的方程 ② 已知过点 B 的直线交曲线 C 于 x 轴下方不同的两点 M , N ,设 MN 的中点为 R ,过 R 于 点 Q ? 0, ?2 ? 作直线 RQ ,求直线 RQ 斜率的取值范围。 (13)(本小题满分 14 分)

??? ??? ? ?

???? 2

1) 系统中每个元件正常工作的概率都是 p(0<p< ,各个元件正常工作的事件相互独立,如
果系统中有多于一半的元件正常工作,系统就能正常工作。系统正常工作的概率称为系统的 可靠性。 (1) 某系统配置有 2k ? 1 个元件, k 为正整数,求该系统正常工作概率的表达式 (2) 现为改善(1)中系统的性能,拟增加两个元件。试讨论增加两个元件后,能否提高 系统的可靠性。 (14) (本小题满分 14 分)

x2 xn ? ??? ? , n ? 1, 2??? 证明:当 n 是偶数时,方程 fn ( x) ? 0 没有实 记函数 f n ( x ) ? 1 ? x ? 2! n!

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根;当 n 是奇数时,方程 f n ( x) ? 0 有唯一的实根 ?n



且 ?n>?n? 2 。

(15) (本小题满分 14 分) 某乒乓球培训班共有 n 位学员,在班内双打训练赛期间,每两名学员都作为搭档恰好参加过 一场双打比赛。试确定 n 的所有可能值并分别给出对应的一种安排比赛的方案。

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2012 年华约数学参考答案
一、选择题 ACBCA B 略 DDC 二、解答题 11 解: (1)C=2/3∏; (2) cos 2 A ? cos 2 B =3/4 12 解:

AP ? BP ? 2 PH 2
(1)设 P(x,y),则 H(0,y),由 得(x ? 2, y) (x - 2, y) ? 2x2 , 即y 2 - x 2 ? 4 ?

(2)令 CD: x ? m y ? 2(m ? 0) 代入 y 2 ? x 2 ? 4 ,整理得

(1 ? m2 ) y 2 ? 4my ? 8 ? 0
因为直线在 x 轴下方交 P 点轨迹于 C( x1 , y1 ),D( x2 , y2 )两点所以上式有两个负根,由

?1 ? m 2 ? 0 ? 2 2 ?? ? 16m ? 32(1 ? m )? 0 ? ? y1 ? y2 ? 4m 2 0 ? 1? m? 2 1? m ? ? ?8 ?0 ? y1 y2 ? 1 ? m2 ?
根据韦达定理,得 CD 中点 M 的坐标为

M(

x1 ? x2 y1 ? y2 2 2m , )?( , ) 2 2 2 1 ? m 1 ? m2

代入直线 MQ 的方程 y+2=kx,(k 为其斜率)得

2m 2k ?2? 2 1? m 1 ? m2
所以,k= ? m ? m ? 1 ? ?(m ? ) ?
2 2

1 2

5 ? ( 2 ? 1,1) ,(1 ?m? 2 ) . 4

13 解答:显然 PK ?
n n

?C
n ?0

K ?1

n 2 k ?1

(1 ? p) n p 2 k ?1?n ,
n?2

注意到 C2k ?1 ? C2k ?1 ? 2C2k ?1 ? C2k ?1 , 所以 PK ?1 =

n?1

?C
n ?0

k

n

n 2 k ?1

(1 ? p) p 2k ?1?n

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=
k

? (C
n ?0

k

n 2 k ?1

n 1 n 2 ? 2C2 k??1 ? C2 k??1 )(1 ? p) n p 2 k ?1?n

= n ?0
k

? C2nk ?1 (1 ? p)n p 2k ?1?n ? 2? C2nk??11 (1 ? p)n p 2k ?1?n ? ? C2nk??21 (1 ? p)n p 2k ?1?n
n ?1 k n?2 k n 2 k ?1

k

k

= n ?0

?C
k ?1

(1 ? p) p
n

2 k ?1? n

? 2? C
n ?0

n ?1 2 k ?1

(1 ? p)

n ?1

p

2 k ?n

n 2 ? ? C2k??1 (1 ? p) n? 2 p 2k ?1?n n ?0

= n ?0

?C

n 2 k ?1

(1 ? p) n p 2k ?1?n ( p 2 ?2(1 ? p) p ? (1 ? p 2 ) )

k k 1 ? C2k ?1 (1? p)k pk ?1 ? C2k??1 (1? p)k ?1 pk

= n ?0

?C

k ?1

n 2 k ?1

k (1 ? p) n p 2 k ?1?n ?C2 k ?1 (1 ? p) k p k ( p ? (1 ? p))

=

k PK ? C2k ?1 (1? p)K pk (2 p ?1)

因此,当 p≥ 14 证明:

1 2

时,{ pk }递增,当 P≥

1 时,{ pk }递减。 2

用数学归纳法证明 f 2n?1 ( x) ? 0 有唯一解 x2 n?1 且严格单调递增, f 2n ( x) ? 0 无实数解, 显然 n=1 时, 此时 f1 ( x) ? 1 ? x 有唯一解 x1 ? ?1 ,且严格单调递增,而 f 2 ( x) ? 1 ? x ?

x2 无实数解,现在假设 2

f 2n?1 ( x) ? 0 有 唯 一 解 x2n?1 且 严 格 单 调 递 增 , f 2n ( x) ? 0 无 实 数 解 , 于 是 注 意 到 f 2?n?1 ( x) ? f 2n ( x), f 2n ? 1 时,对任意的 0≤k≤n 有 x+2k+1≤0,于是
f 2n?1 ( x) ? ? (
k ?0 n

x 2k x 2k ? ( x ? 2k ? 1) ,所以 f 2n?1 (?2n ?1)?0, (2k )! (2k ? 1)!

又因为 f 2n?1 (0) ? 1? 0, 所以由 f 2n?1 ( x) 严格递增知 f 2n?1 ( x) ? 0 有唯一根 0 ? x2 n?1 ? ? 2n ? 1, 对于 f 2n? 2 ( x) 有 f 2n?2 ? f 2?n?2 ( x) ? f 2n?1 ( x) ,所以(—∞, x2 n?1 )上,递减,在( x2 n?1 ,+∞)上, 递增,所以
2n? 2n? x2 n?12 x2 n?12 min f 2 n? 2 ( x) ? f 2 n? 2 ( x2 n?1 ) ? ? ? 0, x?R (2n ? 2)! (2n ? 2)!

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因此, f 2n? 2 ( x) ? 0 无实数解 综上所述,对任意正整数 n,当n为偶数时 f n ( x) ? 0 无解,当n为奇数 f n ( x) ? 0 有唯一解 xn 。 再证 x2n?1 ? x 2n?1 ,事实上,由

f 2n?1 ( x) 的严格单调性,只需验证 f ( x )?0 ,注意到 2 n?1 2 n?1

2n x 2 n ?1 f 2n?1 ( x) - f 2n?1 ( x) = x ,由上述归纳法证明过程中, x2n?1 ? ? 2n ?1 ,所以 ? (2n)! (2n ? 1)! 2n 2 n ?1 2n x2 n?1 x2 n?1 x2 n?1 f f 2 n?1 ( x2 n?1 ) ? ? ? ?? ( x2 n?1 ? 2n ? 1)?0 , (2n)! (2n ? 1)! (2n ? 1)!

因此 x2n?1 ? x2n?1 ,综上所述,原命题得证。 15 假设比赛了 K 场, 那么由题目假设, 一场比赛出现了 2 对队友, 所以 Cn =2k, 也就是说 4k=n(n-1), 那么得到 n=4l 或者 4l+1,期中 l ? N,下边证明,对于任意的 n=4l,或者 4l+1,其中 l ? N,都可以构造 出满足要求的比赛:n=4l+1,的时候,对于 L 使用数学归纳法: (1)当 L=1 的 时 候 ,N=5 ,此 时 假 设这 5 名 选手为 A,B,C,D,E, 那 么 如 下安 排 比 赛 即可 , AB-CD,AC-BE,BC-DE,AE-BD,AD-CE. (2)设当 L=M 时结论成立, L=M+1 时, 4M+5 选手为 A,B,C,D,E F 1 , F 2 , F21 , F22 ?, F21m , F22 , 则 设 1 1 m 由归纳假设,可以安排 E,
2

F11, F12 , F21, F22 ,?, F21m , F22m 之间的比赛,使得他们之间每两位选手的作 F11, F12 ,?, F21m , F22m 之

为队友恰好只参加过一次比赛, 还剩下 A,B,C,D, E,相互的比赛和 A,B,C,D 与 间的比赛,A,B,C,D 与
1 2 2

F11, F12 ,?, F21m , F22m 之间的比赛安排如下:
1 1 2 2 1

A FL 与 B FL ,A FL 与 B FL ,C FL 与 D FL ,C FL 与 D FL ,满足要求。 最后将这些比赛总计起来,就是满足要求的 4M+5 位选手之间的的比赛了。 由数学归纳法得证,N=4L 时,对 L 使用数学归纳法,可以类似方法证明(略) 。 综上所述,N 的所有可能取值是 N=4L 或 4L+1,其中 L ? N.

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