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2014届高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学(人教A版)第七章第一节空间几何体的结构及其三视图和直观图


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第一节

空间几何体的结构及其三视图和直观图

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1.多面体的结构特征 互相平行 全等 (1)棱柱的侧棱都____________,上下底面是_______的 多边形. 公共顶点 (2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个_________

的三角形.
平行于底面 (3)棱台可由_____________的平面截棱锥得到,其上下 底面是相似多边形.

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2.旋转体的形成
几何体 旋转图形 旋转轴 任一边 __________所在的直线 任一直角边 _____________所在的直线 垂直于底边的腰 ______________所在的直线 直径 ________所在的直线

圆柱
圆锥 圆台

矩形
直角三角形 直角梯形

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半圆

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3.空间几何体的三视图 侧视图 俯视图 (1)几何体的三视图包括:正视图、_______、_______.
(2) 在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画 成虚线. (3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体 正前 正左 正上 的______方、______方、______方观察几何体的正投影图.

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4.空间几何体的直观图

斜二测 空间几何体的直观图常用________画法来画,其规则是 (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′ 45°或135° 轴,y′轴的夹角为_____________,z′轴与x′轴和y′轴所在平 垂直 面_______.
(2) 原 图 形 中 平 行 于 坐 标 轴 的 线 段 , 直 观 图 中 仍 平行于坐标轴 ________________.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持 不变 原 长 度 _______ , 平 行 于 y 轴 的 线 段 长 度 在 直 观 图 中 长度为原来的一半 ______________________.

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1.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,由

这些面围成的几何体是棱柱吗?
【提示】 示. 满足条件的几何体不一定是棱柱.如图所

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2.空间几何体的正视图、侧视图、俯视图的长、宽、
高之间有怎样的关系? 【提示】 正视图与侧视图的高相等,正视图与俯视图

的长相等,侧视图与俯视图的宽相等,即“正侧一样高,正 俯一样长,俯侧一样宽”.

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1.(人教A版教材习题改编)关于空间几何体的结构特 征,下列说法不正确的是( A.棱柱的侧棱长都相等 B.棱锥的侧棱长都相等 )

C.三棱台的上、下底面是相似三角形
D.有的棱台的侧棱长都相等 【解析】 【答案】 根据棱锥的长不一定都相等. B

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2.如图7-1-1,下列几何体各自的三视图中,有且仅
有两个视图相同的是( )

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A.①②
C.②④ 【解析】

B.②③
D.③④ 由几何体的结构可知,只有圆锥、正四棱锥

两几何体的正视图和侧视图相同,且不与俯视图相同. 【答案】 C

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3.用斜二测画法画一个水平
放置的平面图形的直观图为如图7 -1-2所示的一个正方形,则原来 的图形是( )

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【解析】
【答案】

根据斜二测画法的规则知,选A.
A

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4.0· 湖南高考)某 何 的 视 和 视 均 图 22 (1 几体正图侧图如 -1-4 所示,则该几何体的俯视图不可能是( ...

7 )

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【解析】 能是D. 【答案】

由于该几何体的正视图和侧视图相同,且上

部分是一个矩形,矩形中间无实线和虚线,因此俯视图不可

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D
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下列结论中正确的是(

)

A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋

转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥 可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线

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【思路点拨】

根据常见几何体的结构特征,借助于

常见的几何模型进行判断. 【尝试解答】 当一个几何体由具有相同的底面且顶点

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在底面两侧的两个三棱锥构成时,尽管各面都是三角形,但 它不是三棱锥,故A错误;若三角形不是直角三角形或是直 角三角形但旋转轴不是直角边所在直线,所得几何体就不是 圆锥,B错误;若六棱锥的所有棱都相等,则底面多边形是 正六边形,由几何图形知,若以正六边形为底面,则棱长必 然要大于底面边长,故C错误. 【答案】 D

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1.关于空间几何体的结构特征辩析关键是紧扣各种空
间几何体的概念,要善于通过举反例对概念进行辩析,即要 说明一个命题是错误的,只需举一个反例即可. 2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上, 解题时要注意用好轴截面中各元素的关系. 3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的,所以在解决棱 (圆)台问题时,要注意“还台为锥”的解题策略.

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下列说法中正确的是(

)

①在正方体上任意选择4个不共面的顶点,它们可能是
正四面体的4个顶点;②用一个平面去截棱锥,底面和截面 之间的部分叫棱台;③棱台的侧面是等腰梯形;④棱柱的侧 面是平行四边形. A.①④ 【解析】 B.②③ C.①③ D.②④

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用平行于底面的平面去截棱锥,底面和截面
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之间的部分才叫棱台,且棱台的侧面是梯形,但并不一定是

等腰梯形,故②③错误.
【答案】
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A

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(2013·惠州模拟)某四面体的三视图如图7-1-4所

示,该四面体四个面的面积中最大的是(

)

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A.8
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B.6 2

C.10

D.8 2

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【思路点拨】

根据几何体的三视图确定几何体的形

状,并画出几何体的直观图,标示已知线段的长度,最后求 各个面的面积确定最大值. 【尝试解答】 所示. 将三视图还原成几何体的直观图,如图

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由三视图可知,四面体的四个面都是直角三角形,面积
分别为6,8,10, 2 ,所以面积最大的是10. 6 【答案】
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C

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1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空

间几何体的形状并画出其直观图.
2.三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样 宽”,因此,可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几 何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据.

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(2013·中山调研)若某几何体的三视图如图7-1-5所 示,则这个几何体的直观图可以是( )

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【解析】

从俯视图看,B和D符合,从正视图看D符

合,从侧视图看D也是符合的,故选D.

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【答案】

D
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如图7-1-6所示,四边形A′B′
C′D′是一水平放置的平面图形 的斜二测画法的直观图,在斜二测 直 观 图 中 , 四 边 形 A′B′C′D′ 是 一 直 角 梯 形 , A′B′∥C′D′,A′D′⊥C′D′,且B′C′与y′轴平行,若A′B′=6, D′C′=4,A′D′=2,求这个平面图形的实际面积. 【思路点拨】 逆用斜二测画法得到实际图形,求出相

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应的边长,进而求出面积.

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【试答 尝解】 根斜测观画规可 据二直图法则知 该面形直梯, 平图是角形且 AB=6,CD=4 保持 不变. 由于 C′ = 2A′D′=2 2. B ′ 所以 CB=4 2. 1 故面形实面为 平图的际积 ×(6+4)×4 2=20 2. 2

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1.画 何 的 观 一 采 斜 测 法 其 则 几体直图般用二画,规可 以 “斜”(两 标 成 4 °或1 °)和“二 ”(平 于 y 用 坐轴 5 3 5 测 行 轴线长减,行 的段度半平于 x轴 z轴 线 长 不 和 的段度变 )来 掌 握.对 观 的 查 两 方 , 是 知 图 求 观 直图考有个向一已原形直 图相量二已直图原形的关 的关,是知观求图中相量 . 2.按 斜 测 画 得 的 面 形 直 图 其 积 照二 法到平图的观,面 2 与图的积关: 原形面的系 S直图 = S原 . 观 形 4 图

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如图7-1-7所示,△A′B′C′是△ABC

的直观图,且△A′B′C′是边长为a的正三角
形,求△ABC的面积.
【解】 如图所示,△A′B′C′是边长为a 的正三角形,作C′D′∥A′B′交y′轴于点D′, 3 则C′、D′到x′轴的距离为 a. 2 6 ∵∠D′A′B′=45°,∴A′D′= a, 2 由斜二测画法的法则知, 在△ABC中,AB=A′B′=a,AB边上的高是A′D′ 1 6 2 的二倍,即为 6a,∴S△ ABC= a· 6a= a . 2 2
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三视图的长度特征:“长对正,宽相等,高平齐”,即
正视图和侧视图一样高,正视图和俯视图一样长,侧视图和 俯视图一样宽.

若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界 线,在三视图中,要注意实、虚线的画法.

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1.正棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱,底面是

正多边形的直棱柱叫做正棱柱.
2.正棱锥:底面是正多边形,顶点在底面的射影是底 面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地,各棱均相等 的正三棱锥叫正四面体.

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从近两年高考试题来看,高考的重点是简单几何体与三
视图之间的关系以及三视图与实物图之间的相互转化,题型 以客观题为主,考查对简单几何体结构特征的掌握及空间想 象能力.在画空间几何体的三视图时,忽视轮廓线、边界线 或实、虚不分是常见错误.

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易错辨析之十二 画三视图忽视边界线及其实虚致误
(2012·陕西高考)将正方体(如图7-1-8(1)所示)截去 两个三棱锥,得到如图(2)所示的几何体,则该几何体的左视 图为( )

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【错解】

错解一

由几何体知,AD1是边界线,投影

到正方体右侧面上恰为正方形的对角线,故选D. 【答案】 错解二 D 由几何体知,AD1 、B1C都是边界线,投影到

正方体右侧面后恰为正方形的对角线,故选C.
【答案】 C

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错因分析:(1)错解一忽视了B1C也是边界线导致错误答
案. (2)错解二虽然注意了B1C是边界线,但忽视了其不可 视,在左视图中应为虚线,从而造成错误答案. 防范措施:(1)在确定边界线时,要先分析几何体由哪 些面组成,从而可确定边界线,其次要确定哪些边界线投影 后与轮廓线重合,哪些边界线投影后与轮廓线不重合,不重

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合的是我们要在三视图中画出的.
(2)在画三视图时,首先确定几何体的轮廓线,然后再 确定面与面之间的边界线,再根据是否可视确定实虚.
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【正解】 遮挡应为虚线. 【答案】

还原正方体后,将D1 ,D,A三点分别向正

方体右侧面作垂线.D1A的射影为C1B,且为实线,B1C被

B

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1.(2012·福建高考)一个几何体的三视图形状都相同、 大小均相等,那么这个几何体不可以是( A.球 B.三棱锥 )

C.正方体

D.圆柱

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【解析】

球、正方体的三视图形状都相同,

大小均相等,首先排除选项A和C.对于如图 所示三棱锥O-ABC,当OA、OB、OC两两 垂直且OA=OB=OC时,其三视图的形状 都相同,大小均相等,故排除选项B. 不论圆柱如何放置,其三视图的形状都不会

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完全相同,故答案选D.
【答案】 D
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2.(2013·揭阳模拟)某几何体的正视图和

侧视图均为图7-1-9甲所示,则在图乙的四
个图中可以作为该几何体的俯视图的是( )

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A.(1),(3)
C.(1),(2),(3) 【解析】

B.(1),(3),(4)
D.(1),(2),(3),(4)

若图(2)是俯视图,则正视图和侧视图中矩

形的竖边延长线有一条和圆相切,故图(2)不合要求;若图 (4)是俯视图,则正视图和侧视图不相同,故图(4)不合要

求.但(1)、(3)图中满足要求,A正确.
【答案】 A

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课后作业(四十四)

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高三数学一轮复习学案:7.1空间几何体

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