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立体几何

时间:2015-12-15


20.(本小题满分 13 分) 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F ,P,Q,M,N 分别是棱 AB , AD , DD1 ,
BB1 , A1 B1 , A1 D1 的中点. 求证:

(Ⅰ)直线 BC1 ∥平面 EFPQ ; (Ⅱ)直线 AC1 ⊥平面 PQMN .

第 20 题图

>
20.证明: (Ⅰ)连接 AD1,由 ABCD ? A1B1C1D1 是正方体,知 AD1∥BC1, 因为 F , P 分别是 AD , DD1 的中点,所以 FP∥AD1. 从而 BC1∥FP. 而 FP ? 平面 EFPQ ,且 BC1 ? 平面 EFPQ , 故直线 BC1 ∥平面 EFPQ .
D1

N
A1

C1

M P
B1

() C

F A

D E

Q

B

第 20 题解答图 (Ⅱ)如图,连接 AC , BD ,则 AC ? BD . 由 CC1 ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,可得 CC1 ? BD . 又 AC ? CC1 ? C ,所以 BD ? 平面 ACC1 . 而 AC1 ? 平面 ACC1 ,所以 BD ? AC1 . 因为 M,N 分别是 A1 B1 , A1 D1 的中点,所以 MN∥BD,从而 MN ? AC1 . 同理可证 PN ? AC1 . 又 PN ? MN ? N ,所以直线 AC1 ⊥平面 PQMN .

1

20.(本小题满分 13 分) 如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,BC 的中点,将△ADE,△CDF 分别 沿 DE,DF 折起,使 A,C 两点重合于点 A′. (I)求证:平面 A′DE⊥平面 A′EF; (II)求三棱锥 A′-DEF 的体积.

2

20.(本小题满分 13 分) 如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC⊥平面 BDE. (Ⅰ)证明:BD⊥平面 PAC; (Ⅱ)若 PA=1,AD=2,求三棱锥 E-BCD 的体积.

3

20.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥BD. ∵PC⊥平面 BDE, ∴PC⊥BD. 又 PA∩PC=P,∴BD⊥平面 PAC.………………………………………………6 分 (Ⅱ)如图,设 AC 与 BD 的交点为 O,连结 OE. ∵PC⊥平面 BDE,∴PC⊥OE. 由(Ⅰ)知,BD⊥平面 PAC,∴BD⊥AC, 由题设条件知,四边形 ABCD 为正方形. 由 AD=2,得 AC=BD=2 2,OC= 2. 在 Rt△PAC 中,PC= PA2+AC2= 12+(2 2)2=3. 易知 Rt△PAC∽Rt△OEC, ∴ OE CE OC OE CE 2 2 4 = = ,即 = = ,∴OE= ,CE= . PA AC PC 1 2 2 3 3 3

1 1 1 1 2 4 8 ∴VE-BCD= S△CEO·BD= · OE·CE·BD= · · ·2 2= .………13 分 3 3 2 6 3 3 27

20.(本小题满分 13 分) 如图,某地质队自水平地面 A,B,C 三处垂直向地下钻探,自 A 点向下钻到 A1 处发现矿藏, 再继续下钻到 A2 处后下面已无矿,从而得到在 A 处正下方的矿层厚度为 A1 A2 ? d1 .同样可 得在 B,C 处正下方的矿层厚度分别为 B1 B2 ? d 2 ,C1C2 ? d3 ,且 d1 ? d 2 ? d3 . 过 AB , AC 的中点 M , N 且与直线 AA2 平行的平面截多面体 A1 B1C1 ? A2 B2C2 所得的截面 DEFG 为该 多面体的一个中截面,其面积记为 S中 . (Ⅰ)证明:中截面 DEFG 是梯形; (Ⅱ)在△ ABC 中,记 BC ? a ,BC 边上的高为 h ,面积为 S . 在估测三角形 ABC 区域内正 下方的矿藏储量(即多面体 A1 B1C1 ? A2 B2C2 的体积 V )时,可用近似公式 V估 ? S中 ? h 来估算.

1 已知 V ? (d1 ? d2 ? d3 )S ,试判断 V估 与 V 的大小关系,并加以证明. 3

第 20 题图 4

19. (本小题满分 12 分) 如图,已知正方形ABCD的边长为2 ,AC与BD交于点0,将正方形ABCD沿对角线BD折 起,得到三棱锥A-BCD. (I) 求证:平面AOC丄平面BCD; (II)若三棱锥A- BCD的体积为

6 ,且乙 ?AOC 是钝角,求AC的长. 3

5

6

19. (本小题满分 12 分) 如图,MA 丄平面 ABCD,四边形 ABCD 是菱形,四边形 A D N M 是平行四边形. (I)求证:AC ? BN; ( I I ) 当点 E 在 AB 的什么位置时,AN/ / 平面 MEC,并加 以证明.

7

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