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广东省广州市2012届高三高考备考冲刺阶段训练试题(数学理)


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广东省广州市 2012 年高考备考冲刺阶段训练试题 数学(理科)
说明: ⒈本训练题由广州市中学数学教学研究会高三中心组与广州市高考数学研究组共同编写,共 26 题. ⒉本训练题仅供广州市高三学生考前冲刺训练用,希望在 5 月 31 日之前完成. 3.本训练题与市高三质量抽

测、一模、二模等数学试题在内容上相互配套,互为补充.四套试题覆 盖了高中数学的主要知识和方法.因此,希望同学们在 5 月 31 日至 6 月 6 日之间,安排一段时间,对这 四套试题进行一次全面的回顾总结,同时,将高中数学课本中的基本知识(如概念、定理、公式等)再复 习一遍. 希望同学们保持良好的心态,在高考中稳定发挥,考取理想的成绩!

1、已知函数 f ( x) ? 4cos x sin ? x ?

? ?

??

?? 3 . 3?

(1)试说明函数 y ? f (x) 的图象可由函数 y ? 2 sin 2 x 的图象经过怎样的变换得到; (2)写出函数 f (x) 图象的对称轴方程及对称中心坐标.

2、在 ?ABC 中, A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,已知 (1)求

cos A ? 3 cosC 3c ? a . ? cos B b

c 的值; a

(2)若 ?ABC 的面积为 2 , cos B ?

3 ,求 b 的值. 3

3、设函数 f (? ) ? sin ? ? 3 cos? ,其中,角 ? 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴非负半轴重合,终 边经过点 P( x, y ) ,且 0 ? ? ? ? . (1)若 P 点的坐标为 ( 3,1) ,求 f (? ) 的值;

?x ? y ? 1 ? (2)若点 P( x, y ) 为平面区域 ? y ? x 上的一个动点,试确定角 ? 的取值范围,并求函数 f (? ) 的最小 ?y ? 1 ?
值和最大值. 4、已知关于 x 的一元二次函数 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1.
2

(1)设集合 P={1,2, 3}和 Q={-1,1,2,3,4},分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b ,求函

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数 y ? f (x) 在区间[ 1,?? ) 上是增函数的概率;

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?x ? y ? 8 ? 0 ? (2)设点( a , b )是区域 ? x ? 0 内的随机点,求函数 y ? f ( x)在区间1,??) 上是增函数的概 [ ?y ? 0 ?
率.

5、今天你低碳了吗?近来,国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件,人们可以由此计算出自己每天 的碳排放量.例如:家居用电的碳排放量(千克) = 耗电度数 ? 0.785,汽车的碳排放量(千克)=油耗公 升数 ? 0.785 等.某中学高一一同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调 查.若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”.这二族人数占各自小区总人数的比 例 P 数据如右: (1)如果甲、乙来自 A 小区,丙、丁来自 B 小区,求这 4 人中恰有 2 人是低碳族的概率; (2)A 小区经过大力宣传,每周非低碳族中有 20%的人加入到低碳族的行列.如果 2 周后随机地从 A 小区 中任选 25 人,记 ? 表示 25 个人中低碳族人数, 求 E? . 开始

[Z&xx

n ? 0, S ? 0, T ? 0
6、甲乙两人进行围棋比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分(无平局) ,比 赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 输入 a, b

1 p ( p ? ) ,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 2 5 . 9 (1) 若右图为统计这次比赛的局数 n 和甲、 乙的总得分数 S 、T 的程序框图. 其
中如果甲获胜,输入 a ? 1 , b ? 0 ;如果乙获胜,则输入 a ? 0, b ? 1 .请问在 第一、第二两个判断框中应分别填写什么条件? (2)求 p 的值; (3)设 ? 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 ? 的分布列和数学期望

S ? S ? a, T ? T ? b

M ? S ?T
n ? n ?1

?
N N

Y

E? .

?

Y
输出 n, S , T 结束

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7、如图,一个圆锥和一个圆柱组成了一个几何体,其中圆锥和圆柱的的底面半径 相同,点 O , O ? ,分别是圆柱的上下底面的圆心, AB , CD 都为直径,点

P, A, B, C , D 五点共面, N 是弧 AB 上的任意一点 点 (点 N 与 A, B 不重合)点 M ,
为 BN 的中点, N ? 是弧 CD 上一点,且 NN ? // AD , PA ? AB ? BC ? 2 . (1)求证: BN ⊥平面 POM ; (2)求证:平面 POM //平面 AN N ?D ;

AN (3)若点 N 为弧 AB 的三等分点且 ? =
弦值.

1? AB ,求面 ANP 与面 POM 所成角的正 3

8、如图,在直棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC , AC ? BC ? AA ? 1,延长 AC 至 D ,使 AC ? CD , 1 连结 BD, B1D, CD, C1D . (1) AC1 ? B1D ; (2)求五面体 BB1 ? A1 ADC1 的体积. (3)求平面 B1C1D 与平面 ABC 所成锐二面角的正切值.

A1 B1

C1

A B

C

D

9、如图,矩形 ABCD 与 ADQP 所在平面互相垂直(如图①) ,将矩形 ADQP 沿 PD 对折,使得翻折后点

Q 落在线段 BC 上(如图②) ,设 AB ? 1 , PA ? h , AD ? y .
(1) 试求 y 关于 h 的函数解析式; (2) 当 y 取最小值时,指出点 Q 的位置,并求出此时 AD 与平面 PDQ 所成的角; (3) 在条件(2)下,求三棱锥 P-ADQ 内切球的半径.

?

图①

图②

10、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度 v (单 位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成 堵塞,此时车流速度为 0 ;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数.

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(1)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v?x ? 的表达式;

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(2)当车流密度 x 为多大时, 车流量 f ( x) ? x ? v( x) 可以达到最大, 并求出最大值 (精确到 1 辆/小时) (车 . 流量为单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)

11、某地政府为改善居民的住房条件,集中建设一批经适楼房.用了 1400 万元购买了一块空地,规划建 设 8 幢楼,要求每幢楼的面积和层数等都一致,已知该经适房每幢楼每层建筑面积均为 250 平方米,第一 层建筑费用是每平方米 3000 元,从第二层开始,每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加 80 元. (1)若该经适楼房每幢楼共 x 层,总开发费用为 y ? f ( x ) 万元,求函数 y ? f ( x ) 的表达式(总开发费用 =总建筑费用+购地费用) ; (2)要使该批经适房的每平方米的平均开发费用最低,每幢楼应建多少层? (参考数据: 5 ? 2.236, 6 ? 2.449, 7 ? 2.646 )

12、已知双曲线的中心在原点,右顶点为 A(1,0).点 P、Q 在双曲线的右支上,已知圆

( x ? m)2 ? y 2 ? 1 (m ? R) 与直线 AP 相切,圆心为 M.
(1)若直线 AP 的斜率为 k,且 k ? [

2 3 , ] ,求实数 m 的取值范围; 4 3

(2)当 m ? 3 时,ΔAPQ 的内心恰好是点 M,求此双曲线的方程.

13、已知动圆过定点 F ?1,0 ? ,且与直线 x ? ?1 相切,记动圆圆心的轨迹为曲线 ? . (1)求曲线 ? 的方程; (2)若点 A 、 B 、 C 是曲线 ? 上的不同三点,且满足 FA ? FB ? FC ? 0 .证明:△ ABC 不可能是直角 三角形.

??? ??? ??? ? ? ?

14、 给定椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,称圆心在原点 O 、半径为 a2 ? b2 的圆是椭圆 C 的“准圆”. a 2 b2

若椭圆 C 的一个焦点为 F ( 2,0) ,其短轴上的一个端点到 F 的距离为 3 . (1)求椭圆 C 及其“准圆”的方程; (2)设点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的一个动点,过点 P 任作两条直线 l1 、 l2 ,使得 l1 、 l2 与椭圆 C 都只

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有一个公共点,试判断 l1 与 l2 是否垂直?并说明理由.

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15、如图,已知抛物线 C : y 2 ? 2 px 和⊙ : ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 1 ,过抛物 M 线 C 上一点 分别交抛物线为 H ( x0 , y0 )( y0 ? 1) 作两条直线与⊙ 相切于 A 、B 两点, M E、F 两点,圆心点 M 到抛物线准线的距离为

17 . 4

(1)求抛物线 C 的方程; (2)当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时,求直线 EF 的斜率; (3)若直线 AB 在 y 轴上的截距为 t ,求 t 的最小值.

16、已知椭圆 C :

x2 y2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , F1 , F2 分别为左,右焦点,离心率为 ,点 A 在椭圆 C 上, 2 2 a b

AF1 ? 2 , AF2 F1 A ? ?2 AF2 ? F1 A ,过 F2 与坐标轴不垂直的直线交椭圆于 P, Q 两点.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)在线段 OF2 上是否存在点 M (m,0) ,使得以线段 MP, MQ 为邻边的四边形是菱形?若存在,求出实数

m 的取值范围;若不存在,说明理由.
17、已知函数: f ?x ? ? a ln x ? ax ? 3, a ? R . (1)讨论函数 f (x) 的单调性; (2)若函数 y ? f (x) 的图象在点 ?2, f (2) ? 处的切线的倾斜角为 45o,是否存在实数 m 使得对于任意的
3 2 t ? ?1,2?,函数 g ( x) ? x ? x [ f ?( x) ?

m ] 在区间 ?t ,3? 上总不是单调函数?若存在,求 m 的取值范围; 2

否则,说明理由; (3)求证:

ln 2 ln 3 ln 4 ln n n(n ? 1) * ? ? ?? ? (n? N 且n ?1) . 3 4 5 n ?1 4

18、记函数 f ?x ? 在区间 D 上的最大值与最小值分别为 max f ?x? x ? D 与 min f ?x ? x ? D .设函数

?

?

?

?

?? x ? 2b, x ? ?1, b? ,1<b<3. g ?x ? ? f ?x? ? ax, x ? ? ,3? . 1 f ?x ? ? ? ? b, x ? ?b,3?
(1)若函数 g (x) 在 ?1,3?上单调递减,求 a 的取值范围; (2)若 0 ? a ? 1 ,令 h(a) ? max ?g ( x) | x ?[1,3]? ? min ?g( x) | x ?[1,3]? . 记 d (b) ? min ?h(a) | a ? R? .试写出 h(a) 的表达式,并求 max d ?b?b ? ?1,3? .

?

?

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19、已知函数 f ( x) ? x2 ? (a ? 2) x ? a ln x. 其中常数 a ? 0 . (1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 的单调递增区间;

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(2)当 a ? 4 时,给出两类直线: 6 x ? y ? m ? 0 与 3x ? y ? n ? 0 ,其中 m, n 为常数,判断这两类直线 中是否存在 y ? f ( x ) 的切线,若存在,求出相应的 m 或 n 的值,若不存在,说明理由. (3)设定义在 D 上的函数 y ? h( x) 在点 P( x0 , h( x0 )) 处的切线方程为 l : y ? g ( x) ,当 x ? x0 时,若

h( x ) ? g ( x ) ,当 ? 0 在 D 内恒成立,则称 P 为函数 y ? h( x) 的“类对称点” a ? 4 时,试问 y ? f ( x) 是否 x ? x0
存在“类对称点” ,若存在,请至少求出一个“类对称点”的横坐标,若不存在,说明理由. 20、设 f (x ) 是定义在 [ a, b] 上的函数,用分点 T : a ? x0 ? x1 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? b ,将区间 [ a, b] 任意划分成 n 个小区间,如果存在一个常数 M ? 0 ,使得和式

? f (x ) ? f (x
i ?1 i

n

i ?1

) ? M ( i ? 1, 2, ?, n )

恒成立,则称 f (x ) 为 [ a, b] 上的有界变差函数,记作 f ? BV [a, b] ,这里 BV [a, b] 表示在 [ a, b] 上的全体 有界变差函数的集合. (1)函数 f ( x) ? x2 在 [0,1] 上是否为有界变差函数?请说明理由; (2)设函数 f (x ) 是 [ a, b] 上的单调函数,证明: f ? BV [a, b] ; ( 3 ) 若 定 义 在 [ a, b] 上 的 函 数 f (x ) 满 足 : 存 在 常 数 k , 使 得 对 于 任 意 的 x1 、 x2 ?[a, b] 时 ,

f ( x1) ? f ( x2 ) ? k ? x1 ? x2 .证明: f ? BV [a, b] .
21 、 已 知 定 义 在 R 上 的 单 调 函 数 f ( x) , 存 在 实 数 x 0 , 使 得 对 于 任 意 实 数 x1 , x2 , 总 有

f ( x x? 0 1

x x? 0 ) 2

(f 0x? )

(f 1 ? ) x

(恒成立. f2x )

(1)求 x 0 的值; (2)若 f ( x0 ) ? 1 ,且对任意正整数 n ,有 an ?

1 1 , bn ? f ( n ) ? 1 , f ( n) 2

4 记 Sn ? a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an ?1 ,Tn ? b1b2 ? b2b3 ? ? ? bnbn ?1 ,比较 S n 与 Tn 的大小关系,并给出证明. 3

2 22、如图,已知直线 l : y ? 4 x 及曲线 C : y ? x , C 上的点 Q1 的横坐标为 a1 ( 0 ? a1 ? 4 ).从曲线 C 上的点

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Qn (n ? 1) 作 直 线 平 行 于 x 轴 , 交 直 线 l于点P ?1,再从点P ?1 作 直 线 平 行 于 y 轴 , 交 曲 线 n n
的横坐标构成数列 ?an ? . C于点Qn?1. Qn (n ? 1, 2,3,?) (1)试求 an?1与an 的关系; (2)若曲线 C 的平行于直线 l 的切线的切点恰好介于点 Q1, Q2 之间 (不与 Q1, Q2 重合),求 a 3 的取值范围; (3)若 a1 ? 3 ,求数列 ?an ? 的通项公式.

23、已知函数 f ( x) ?

x ( x ? 0) ,设 f ( x) 在点 (n, f (n))(n ?N*)处的切线在 y 轴上的截距为 bn ,数列 1? x
f (an )(n ? N*) .

?an ? 满足: a1 ? 1 , an?1 ?
2
(2)在数列 ?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

? bn ? ? b ? ? ? 中,仅当 n ? 5 时, n ? 取最小值,求 ? 的取值范围; 2 2 an an ? an an ? 1 2 (3)令函数 g ( x) ? f ( x)(1 ? x) ,数列 ?cn ? 满足: c1 ? , cn?1 ? g (cn )(n ? N*) , 2 1 1 1 求证:对于一切 n ? 2 的正整数,都满足: 1 ? ? ??? ? 2. 1 ? c1 1 ? c2 1 ? cn
24 、 设 首 项 为 a1 的 正 项 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , q 为 非 零 常 数 , 已 知 对 任 意 正 整 数 (1)求证:数列 ?an ? 是等比数列; (2)若不等的正整数 m, k , h 成等差数列,试比较 am ? ah 与 ak 的大小;
m
1

n, m , Sn?m ? Sm ? qm Sn 总成立.

h

2k
2

m h (3)若不等的正整数 m, k , h 成等比数列,试比较 am ? ah 与 akk 的大小.

1



25 、 已 知 数 列 ?a n ? 满 足 : a1 ?

1 3(1 ? an?1 ) 2(1 ? an ) , ? , an ? an?1 ? 0(n ? 1) , 数 列 ?bn ? 满 足 2 1 ? an 1 ? an?1

2 2 bn ? an?1 ? an (n ? 1) . (1)求数列 ?a n ? ?bn ?的通项公式; (2)证明:数列 ?bn ?中的任意三项不可能成等差数列.

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26、已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且函数 f ( x) ? ln 斜率为

x?

x 在 x ? an 处的切线的 4

(1) 求数列 ?an ? 的通项公式;

Sn (n ?N* ) . 2 an

1 1 1 1 5 ? 3 ? 3 ??? 3 ? (n ?N* ) ; 3 a1 a2 a3 an 32 ? an?1 1 1 1 1 (3) 是否存在非零整数 ? ,使不等式 ? (1 ? )(1 ? ) ??? (1 ? ) cos ? a1 a2 an 2 an ? 1
(2) 求证: 对一切 n ? N 都成立?若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由.
*

2012 年广州市高考备考冲刺阶段数学学科(理科)训练材料参考答案

1、 (1) f ( x) ? 4 cos x sin( x ?

?

1 3 ) ? 3 ? 4 cos x( sin 2 x ? cos2 x) ? 3 3 2 2
1 ? cos 2 x ? 3 2

? sin 2x ? 2 3 cos2 x ? 3 ? sin 2 x ? 2 3 ?

?? ? ? sin 2 x ? 3 cos2 x ? 2sin ? 2 x ? ? . 3? ?
故函数 y ? f (x) 的图象可由函数 y ? 2 sin 2 x 的图象向左平移

k? ,k ?Z, 3 2 12 2 ? k? ? 故函数 f (x) 的图象的对称轴方程为 x ? ,k ?Z. 12 2 ? ? k? 由 2 x ? ? k? ,得 x ? ? ? ,k ?Z, 3 6 2
(2)由 2 x ?

?

?

?

? k? ,得 x ?

?

? 得到. 6

?

故函数 f (x) 的图象的对称中心为 ? ?

? ? k? ? ? ,0?, k ? Z . ? 6 2 ?
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2、 (1)由正弦定理得 a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C , 所以

cos A ? 3 cosC 3c ? a 3 sin C ? sin A , ? ? cos B b sin B

即 cos Asin B ? 3 cosC sin B ? 3 sin C cosB ? sin A cosB , 即有 sin( A ? B) ? 3 sin(B ? C) , 又 A ? B ? C ? ? ,所以 sin C ? 3 sin A ,所以 (2)由(1)知 c ? 3a , 又 cos B ?

c sin C ? ? 3. a sin A

3 6 , 0 ? B ? ? ,所以 sin B ? . 3 3

又 ?ABC 的面积为 2 ,所以

1 3 2 6 ac sin B ? 2 ,即 a ? ? 2 ,得 a ? 2 , c ? 6 .由余弦定理 2 2 3

得: b ? c ? a ? 2ac cos B ? 6 ? 2 ? 2 2 ? 6 ?
2 2 2

3 ? 4, 3

所以 b ? 2 .

3、 (1)由三角函数的定义,得 sin ? ?

1 3 , cos? ? , 2 2

y A P C ? B o

故 f (? ) ? sin ? ? 3 cos? ?

1 3 ? 3? ? 2. 2 2

x

(2)作出平面区域 ? (即三角形区域 ABC )如图所示, 其中 A(0,1) , B ( , ) , C (1,1) ,于是

2 7? ? 5? ? ?? ? ? 又 f (? ) ? sin ? ? 3 cos ? ? 2 sin(? ? ) ,且 , 12 3 6 3 ? ? 5? 故当 ? ? ? ,即 ? ? 时, f (? ) 取得最小值,且最小值为 1. 2 3 6
当? ?

1 1 2 2

?

4

?? ?

?

.

?
3

?

? 7? 2? 6 ,即 ? ? 时, f (? ) 取得最大值,且最大值为 . 4 12 2

2 4、 (1)∵ 函数 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1 的图象的对称轴为 x ?

2b , a

要使 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1 在区间 [1,??) 上为增函数,
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2b ? 1, 即2b ? a . a 若 a =1 则 b =-1;若 a =2 则 b =-1,1;
当且仅当 a >0 且

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若 a =3 则 b =-1,1;
5 1 ? . 15 3

∴ 事件包含基本事件的个数是 1+2+2=5 ∴ 所求事件的概率为 (2)由(Ⅰ)知当且仅当 2b ? a 且 a >0 时, 函数 f ( x) ? ax2 ? 4bx ? 1在区是间1,??) 上为增函数, [

? ? 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 ?( a, b) ? ?

?a ? b ? 8 ? 0 ? ? ? ?a ? 0 ?. ?b ? 0 ? ? ?

?a ? b ? 8 ? 0 16 8 ? 构成所求事件的区域为三角形部分,由 ? 得交点坐标为 , ), ( a 3 3 ?b ? 2 ?
1 8 ?8? 3 ? 1. ∴ 所求事件的概率为 P ? 2 1 3 ?8?8 2

5、 (1)记这 4 人中恰好有 2 人是低碳族为事件 A,

1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 4 4 33 ? ? ? ? 4? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 5 5 2 2 5 5 2 2 5 5 100 . a 1 (1 ? ) 2 5 ? 8 , (2)设 A 小区有 a 人,2 周后非低碳族的概率 p1 ? 2 a 25 8 17 ? 2 周后低碳族的概率 p = 1 ? 25 25 , 17 17 依题意 ? ~B(25, ),所以 E ? =25 ? =17. 25 25
P(A)= 6、 (1)程序框图中的第一个条件框应填 M ? 2 ,第二个应填 n ? 6 . 注意:答案不唯一. 如:第一个条件框填 M ? 1,第二个条件框填 n ? 5 ,或者第一、第二条件互换.都可以. (2)依题意,当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时,第二局比赛结束时比赛结束.

? 有 p 2 ? (1 ? p ) 2 ?
解得 p ?

5 . 9

2 1 或p? . 3 3

?p?

1 , 2

?p?

2 . 3

(3)依题意知,依题意知, ? 的所有可能值为 2,4,6.

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设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为

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5 . 9

若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止 没有影响.

5 5 20 5 5 16 5 从而有 P (? ? 2) ? , P(? ? 4) ? (1 ? )( ) ? , P (? ? 6) ? (1 ? )(1 ? ) ? 1 ? . 9 9 81 9 9 81 9 ? 随机变量 ? 的分布列为:
?
P 2 4 6

5 9

20 81

16 81

5 20 16 266 故 E? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? . 9 81 81 81
7、 (1)连结 ON , ∵ ON ? OB , M 为 BN 的中点, ∴△ONB 中, BN ⊥ OM . ∵ PN ? PB , M 为 BN 的中点, ∴△PNB 中, BN ⊥ PM . 又∵ OM ? PM = M 且 OM、PM 在平面 POM 内, ∴ BN ⊥平面 POM . (2)连结 AN , ∵点 O , M 分别为 AB , BN 的中点, ∴△ABN 中, OM // AN . ∵AN 在平面 AN N ?D 内,OM 在平面 AN N ?D 外, ∴OM∥平面 AN N ?D . 又∵ PO // NN ? , NN ? 在平面 AN N ?D 内,PO 在平面 AN N ?D 外, ∴PO∥平面 AN N ?D . ∵OM、PO 在平面 POM 内,且 OM ? PO = O , ∴平面 POM //平面 AN N ?D . (3)过点 P 作直线 l ∥OM,∵点 P 在平面 POM 内,∴ l 在平面 POM 内. 又∵AN∥OM, ∴直线 l ∥AN, ∴ l 在平面 PAN 内. ∴ l 为平面 PAN 与平面 POM 的交线, 取 AN 中点 E,连接 PE、EO, ∵PA=PN ∴PE⊥AN ∴PE⊥直线 l , 又∵PO⊥OM ∴PO⊥直线 l . ∴∠EPO 为平面 PAN 与平面 POM 所成角. 当 弧 AN=

1 弧 AB 时 , AN=AO=1 , ∴ 直 角 三 角 形 PAE 中 , 3
2

15 ?1? PE ? PA2 ? AE 2 ? 2 2 ? ? ? ? , 2 ?2?
三角形 ANO 中,OE=

3 , 2

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∴直角三角形 POE 中, sin ?EPO ?

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EO 5 . ? PE 5

8、 (1)在 ?AC1D 中, AC ? DC ? AA ? CC1 ? 1 ,所以 AC1 ? C1D ? 2, AD ? 2 , 1 故 AD2 ? AC12 ? C1D2 ,即 AC1 ? C1D 。 在直棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC , AC1 // AC , B1C1 // BC , 1 所以 B1C1 ? AC1 , B1C1 ? CC1 ,即 B1C1 ? 平面 A ACC1 。 1 1 又 AC1 ? 平面 A ACC1 ,所以 AC ? B1C1 。 1 所以 AC1 ? 平面 B1C1D ,即 AC1 ? B1D 。 (2)五面体 BB1 ? A1 ADC1 的体积

1 1 1 1 5 AC ? BC ? AA1 ? ? BC ? AA1 ? CD ? ? ? 。 2 3 2 3 6 (3)作 DF // BC ,且 DF ? BC 。因为 AC ? BC ,所以 DF ? AD 。 又 B1C1 ? 平面 A ACC1 , B1C1 // BC ,所以 BC ? 平面 A ACC1 ,即 BC ? C1D 。 1 1 由 DF // BC ,得 DF ? C1D 。 V ? VABC ? A1B1C1 ? VD ? BB1C1C ?
所以 ?ADC1 为平面 B1C1D 与平面 ABC 所成锐二面角的平面角。 所以平面 B1C1D 与平面 ABC 所成锐二面角的正切值为 tan ?ADC1 ?

CC1 ? 1。 CD

(也可用空间向量求得平面 B1C1D 与平面 ABC 所成锐二面角的正切值为 1) 9、(1)显然 h ? 1 ,连接 AQ ,∵ 平面ABCD ? 平面ADQP, PA ? AD , ∴ PA ? 平面ABCD .由已知 PQ ? DQ ,
2 2 2 ∴ AQ ? DQ , AQ ? y ? h .

∵ Rt?ABQ ∽ Rt?QCD , CQ ? ∴

h2 ?1 ,

DQ CQ ? 即 AQ AB

h y 2 ? h2

?

h2 ?1 . 1

∴y?

h2 h2 ?1

(h ? 1) .

(2) y ?

h2 h ?1
2

(h 2 ? 1) ? 1 h ?1
2

? h2 ?1 ?

1 h2 ?1

?  2

当且仅当

h 2 ?1 ?

1 h 2 ?1

,即h ? 2 时 , 等 号 成 立 . 此 时 CQ ? 1 , 即 Q 为 BC 的 中 点 . 于 是 由

DQ ? 平面P A Q, 知 平 面 PDQ ? 平面PAQ , PQ 是 其 交 线 , 则 过 A 作 AE ⊥ PQ 于 E , ∴ AE ? 平面PDQ .
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∴ ?ADE 就是 AD 与平面 PDQ 所成的角. 由已知得 AQ ?

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2 , PQ ? AD ? 2 ,
AE 1 ? , ?ADE ? 300 . AD 2

∴ AE ? 1 , sin ?ADE ?

(3) 设三棱锥 P ? ADQ 的内切球半径为 r ,则

1 ( S ?PAD ? S ?PAQ ? S ?PDQ ? S ?ADQ ) ? r ? VP ? ADQ 3
∵ VP ? ADQ ?

1 2 , S ?PAQ ? 1, S ?PAD ? 2 , S ?QAD ? 1 , S ?PDQ ? 2 , S ?ADQ ? PA ? 3 3

∴r ?

2 2?2 2

?

2? 2 . 2

10、(1)由题意,当 0 ? x ? 20 时, v( x ) ? 60; 当 20 ? x ? 200 时,设 v( x ) ? ax ? b.

1 ?60,0 ? x ? 20 ? a?? ? ? ?200a ? b ? 0 ? 3 ? v( x ) ? ? 1 由已知得 ? . . , 解得 ? ? 3 (200 ? x ), 20 ? x ? 200 200 ? ?20a ? b ? 60 ?b ? ? 3 ?

?60 x,0 ? x ? 20 ? . (2)依题意得 f ( x ) ? ? x ? 3 (200 ? x),20 ? x ? 200 ?
当 0 ? x ? 20 时, f ( x ) 为增函数,故 f ( x ) ? 1200 . 当 20 ? x ? 200 时, x ? 100 时, f ( x ) 取最大值

10000 ? 3333 . 3

答:车流密度 x 为 100 时,车流量 f ( x ) 达到最大值 3333.

11、 (1)由已知,每幢经适楼房最下面一层的总建筑费用为: 3000 ? 250 ? 750000 (元) ? 75 (万元) , 从第二层开始,每幢每层的建筑总费用比其下面一层多: 80 ? 250 ? 20000 (元) ? 2 (万元) , 每幢经适楼房从下到上各层的总建筑费用构成以 75 为首项,2 为公差的等差数列, 所以函数表达式为:

y ? f ( x) ? 8[75x ?

x( x ? 1) ? 2] ? 1400 ? 8x2 ? 592 x ? 1400 ( x ?N* ) . 2

(2)由(1)知经适楼房每平方米平均开发费用为:

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g ( x )? f ( x) 4 0 2( ? x 7?4 x ? 1 0 0? 0 0 8 ? 2 5x 0 x

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175) 175 ? ? ? 40 ? x ? ? 74 ? ≥ 40 2 175 ? 74 (元) x ? ?

?

?

当且仅当 x ?

175 ,即 x ? 13.2 时等号成立, x

175 ? ? * ? 74 ? , 但由于 x ? N ,验算:当 x ? 13 时, g ( x ) ? 40 ? 13 ? 13 ? ? 175 ? ? ? 74 ? . 当 x ? 14 时, g ( x ) ? 40 ? 14 ? 14 ? ? 175 175 ? ? ? ? ? 74 ? ? 40 ? 14 ? ? 74 ? , 由于 40 ? 13 ? 13 14 ? ? ? ?
所以 x ? 13 时,每平方米平均开发费用最小. 答:该经适楼建为 13 层时,每平方米平均开发费用最低. 12、(1)由条件得直线 AP 的方程 y ? k ( x ? 1), 即 kx ? y ? k ? 0.

因为点 M 到直线 AP 的距离为 1,∴

mk? k k 2 ?1

? 1, 即 m ? 1 ?

k 2 ?1 1 ? 1? 2 . k k

∵k ? [

2 3 , ] ∴ ? m ? 1 ? 3, 解得-2≤m≤-1 或 3≤m≤4. 2 4 3

∴ 的取值范围是 [?2, ?1] ? [3,4]. m (2)设双曲线方程为 x ?
2

y2 ? 1(b ? 0), 由 M (3,0), A(1,0), 得 AM ? 2 . b2

在等式 m ? 1 ? 1 ?

1 3 中,由 m ? 3 ,解出 k ? ? . 2 3 k

又因为 M 是 ΔAPQ 的内心,所以,直线 AM 是∠ PAQ 的角平分线,且 M 到 AQ、PQ 的距离均为 1.因此

k AP ?

3 3 3 , k AQ ? ? (不妨设 P 在第一象限),直线 PQ 方程为 x ? 4 .直线 AP 的方程 y= 解得 ? x-1? ,∴ 3 3 3
2

P 的坐标是(4, 3 ),将 P 点坐标代入 x ? 所以所求双曲线方程为 x ? 5 y ? 1 .
2 2

1 y2 ? 1 得, b 2 ? , 2 5 b

13、 (1)设动圆圆心的坐标为 ( x, y ) ,动圆半径为 r .

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2 2 因为动圆过定点 F ?1,0 ? ,所以 ( x ? 1) ? y ? r .

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因为动圆与直线 x ? ?1 相切,所以 x ? 1 ? r . 消去 r 得 ( x ? 1) ? y ? x ? 1 ,化简得 y 2 ? 4 x .
2 2

所以曲线 ? 的方程为 y 2 ? 4 x . (2)假设△ ABC 是直角三角形,不失一般性,设 ?A ? 90 ,则 AB ? AC ? 0 .
0

??? ??? ? ?

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) . 由于 A 、 B 、 C 是曲线 ? 上的不同三点,所以 xi ?

yi 2 ( i ? 1, 2,3 ) y1 ? y2 , y1 ? y3 . , 4

因为 FA ? FB ? FC ? 0 ,所以 ( x1 ?1, y1 ) ? ( x2 ?1, y2 ) ? ( x3 ?1, y3 ) ? (0,0) , 解得 x1 ? x2 ? x3 ? 3 , y1 ? y2 ? y3 ? 0 . 由 AB ? AC ? 0 ,得 ( x2 ? x1 )( x3 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )( y3 ? y1 ) ? 0 .

??? ??? ??? ? ? ?

??? ??? ? ?

yi 2 把 xi ? ( i ? 1, 2,3 )代入上式,化简得 ( y1 ? y2 )( y1 ? y3 ) ? ?16 , 4
所以 (? y3 ) ? (? y2 ) ? ?16 ,即 y3 ? ?

16 16 ,所以 y1 ? ? y2 ? y3 ? ? y2 ? . y2 y2

因为 x1 ? x2 ? x3 ?

2 2 y12 y2 y3 2 2 ? ? ? 3 ,所以 y12 ? y2 ? y3 ? 12 , 4 4 4

把 y1 ? ? y2 ?

16 16 4 2 , y3 ? ? 代入上式,化简得 y2 ? 22 y2 ? 256 ? 0 . y2 y2
2

因为△= (?22) ? 4 ? 256 ? ?540 ? 0 ,所以 y2 无解,这与点 B 是曲线 ? 上的点矛盾. 所以△ ABC 不可能是直角三角形. 14、 (1)设椭圆 C 的半焦距为 c ,则 c ?

2 ,a ? 3,

所以 b ? a2 ? c2 ? 1 , “准圆”的半径 r ? a2 ? b2 ? 2 . 所以椭圆 C 的方程为

x2 2 2 ? y 2 ? 1, “准圆”的方程为 x ? y ? 4 . 3

(2)由于直线 l1 、 l2 的斜率可能存在,也可能不存在,下面分两种情况加以讨论.

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①当 l1 、 l2 中至少有一条直线的斜率不存在时,不妨设 l1 的斜率不存在. 因为 l1 与椭圆 C 只有一个公共点,所以 l1 的方程为 x ? ? 3 . 当 l1 的方程为 x ? 3 时,此时 l1 与“准圆”交于 ( 3,1) 、 ( 3, ?1) 两点. 此时经过点 ( 3,1) 且与椭圆 C 只有一个公共点的另一条直线是 y ? 1 , 经过点 ( 3, ?1) 且与椭圆 C 只有一个公共点的另一条直线是 y ? ?1 . 即 l2 的方程是为 y ? 1 或 y ? ?1 ,显然 l1 ? l2 . 同理可证,当 l1 的方程为 x ? ? 3 时,也有 l1 ? l2 . ②当 l1 、 l2 的斜率都存在时,设 l1 、 l2 的斜率分别为 k1 、 k 2 .
2 2 设 P( x0 , y0 ) ,则 x0 ? y0 ? 4 .

设经过点 P( x0 , y0 ) 且与椭圆只有一个公共点的直线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) .

? y ? y0 ? k ( x ? x0 ), ? 由 ? x2 消去 y 得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6k ( y0 ? kx0 ) x ? 3( y0 ? kx0 )2 ? 3 ? 0 . 2 ? ? y ? 1, ?3
由△ ? [6k ( y0 ? kx0 )]2 ? 4(1 ? 3k 2 )[3( y0 ? kx0 )2 ? 3] ? 0 ,
2 2 整理得 (3 ? x0 )k 2 ? 2x0 y0k ?1 ? y0 ? 0 . 2 2 因为 x0 ? y0 ? 4 ,所以上式可化为 (3 ? x0 )k 2 ? 2x0 y0 k ? x0 ? 3 ? 0 .
2 2

因为 l1 、 l2 与椭圆 C 都只有一个公共点,
2 2 所以 k1 、 k 2 满足方程 (3 ? x0 )k 2 ? 2x0 y0 k ? x0 ? 3 ? 0 ,
2 x0 ? 3 ? ?1 ,所以 l1 ? l2 . 2 3 ? x0

所以 k1 ? k2 ?

综上①与②可知, l1 ? l2 . 15、 (1)∵ M 到抛物线准线的距离为 4 ? 点 ∴p ?

p 17 ? , 4 2

1 2 ,即抛物线 C 的方程为 y ? x . 2

(2)法一:∵ ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时,点 H ( 4,2) ,∴ HE ? ?kHF , 当 k

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设 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 ) , ∴

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yH ? y1 y ? y2 , ?? H xH ? x1 xH ? x2



yH ? y1 y ? y2 , ?? H 2 2 2 2 yH ? y1 yH ? y2

∴ y1 ? y2 ? ?2 yH ? ?4 .

kEF ?

y2 ? y1 y2 ? y1 1 1 ? 2 ? ?? . 2 x2 ? x1 y2 ? y1 y2 ? y1 4
?

?AHB ? 60 ,可得 k HA ? 3 , k HB ? ? 3 , 法二:∵ ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时,点 H ( 4,2) ,∴ 当
∴ 直线 HA 的方程为 y ? 3x ? 4 3 ? 2 , 联立方程组 ?

? y ? 3x ? 4 3 ? 2 ? y ?x
2

,得 3 y 2 ? y ? 4 3 ? 2 ? 0 ,

y ∵ E ?2?

3 3

y ∴E ?

3?6 13? 4 3 , xE ? . 3 3

同理可得 y F ?

1 ? 3 ?6 13? 4 3 k , xF ? ,∴ EF ? ? . 4 3 3

(3)法一:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,∵ MA ? k

y1 4 ? x1 ,∴ HA ? , k x1 ? 4 y1

可得,直线 HA 的方程为 (4 ? x1 ) x ? y1 y ? 4 x1 ? 15 ? 0 , 同理,直线 HB 的方程为 (4 ? x2 ) x ? y 2 y ? 4 x2 ? 15 ? 0 , ∴ 4 ? x1 ) y0 ? y1 y0 ? 4x1 ? 15 ? 0 , (
2

(4 ? x2 ) y0 ? y2 y0 ? 4x2 ? 15 ? 0 ,
2

∴ 直线 AB 的方程为 (4 ? y0 ) x ? y0 y ? 4 y0 ?15 ? 0 ,
2 2

令 x ? 0 ,可得 t ? 4 y 0 ?

15 ( y 0 ? 1) , y0
∴min ? ?11. t
4 2 2 4 2

∵ 关于 y0 的函数在 [1, ??) 单调递增, t
2

2 法二:设点 H (m , m)(m ? 1) , HM ? m ? 7m ? 16 , HA ? m ? 7m ? 15 .

以 H 为圆心, HA 为半径的圆方程为 ( x ? m ) ? ( y ? m) ? m ? 7m ? 15 , ··········① ·········
2 2 2 4 2

⊙ 方程: ( x ? 4) ? y ? 1 . ··················································② ················································· M
2 2

①-②得:

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直线 AB 的方程为 (2x ? m2 ? 4)(4 ? m2 ) ? (2 y ? m)m ? m4 ? 7m2 ? 14 . 当 x ? 0 时,直线 AB 在 y 轴上的截距 t ? 4m ? ∵ t 关于 m 的函数在 [1, ??) 单调递增, 16、 (1)由已知 e ?

15 (m ? 1) , m

∴ t min ? ?11.

1 ,所以 2c ? a , AF1 ? 2 , AF2 ? 2a ? 2 . 2 1 又因为 AF2 F1 A ? ?2 AF2 ? F1 A ,所以 cos ?F1 AF2 ? , 2 1 由余弦定理 a 2 ? 4 ? (2a ? 2) 2 ? 2 ? 2(2a ? 2) ? ? a 2 ? 4a ? 4 ? 0 ? a ? 2 , 2
所以 c ? 1 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ,所以椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

(2)假设存在点 M (m,0) 满足条件,设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) ,直线的方程为 y ? k ( x ? 1) , 联立: ?

? y ? k ( x ? 1) ? (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 , 2 2 ?3 x ? 4 y ? 12

8k 2 4k 2 ? 12 , x1 x 2 ? 有: x1 ? x 2 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

MP ? ( x1 ? m, y1 ), MQ ? ( x 2 ? m, y 2 ), PQ ? ( x 2 ? x1 , y 2 ? y1 ), MP ? MQ ? ( x 2 ? x1 ? 2m, y 2 ? y1 ),
由题知 ( MP ? MQ) ? PQ ? ( x 2 ? x1 ? 2m)( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 )( y 2 ? y1 ) ? 0 , 由 x 2 ? x1 ? 0 ,有 x 2 ? x1 ? 2m ? k ( y 2 ? y1 ) ? 0 ,即 x 2 ? x1 ? 2m ? k ( x 2 ? x1 ? 2) ? 0 ,
2

8k 2 8k 2 k2 2 则 , ? 2m ? k ( ? 2) ? 0 , 所以 m ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
3m 1 , 又 M (m,0) 在线段 OF2 上,则 0 ? m ? 1 , ?0?0?m? 1 ? 4m 4 1 故存在 m ? (0, ) 满足题意. 4 k2 ?
17、 (1) f ?( x) ?

a(1 ? x) ( x ? 0) , x

当 a>0时, f (x) 的单调增区间为 ?0,1? ,减区间为 ?1,??? ; 当 a<0时, f (x) 的单调增区间为 ?1,??? ,减区间为 ?0,1? ;

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当 a=0时, f (x) 为常函数. (2)令 f ??2 ? ? ?

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a ? 1 ,解得 a=2, f ?x ? ? ?2 ln x ? 2 x ? 3 2

∴ g ?x ? ? x 3 ? ?

?m ? ? 2 ? x 2 ? 2 x ,∴ g ??x? ? 3x 2 ? (m ? 4) x ? 2 ?2 ?

∵ g ?x ? 在区间 ?t ,3? 上总不是单调函数,且 g ?(0) ? ?2. ∴?

? g ??t ? ? 0 ? g ??3? ? 0

由题意假设存在实数 m,对于任意的 t ? ?1,2?, g ??t ? ? 0 恒成立,

? g ??1? ? 0 37 ? ? m ? ?9 . 所以 ? g ??2 ? ? 0 ,解得 ? 3 ? g ??3? ? 0 ?
(3)令 a ? ?1 ,此时 f ?x ? ? ? ln x ? x ? 3 ,所以 f ?1? ? ?2 , 由(1)知 f ?x ? ? ? ln x ? x ? 3 在 ?1,??? 上单调递增, ∴当 x ? ?1,??? 时 f ?x ? ? f (1) ,即 ? ln x ? x ? 1 ? 0 , ∴ ln x ? x ? 1 对一切 x ? ?1,??? 成立, ∵ n ? 2, n ? N ,
*

ln n n ? 1 ? , n ?1 2 ln 2 ln 3 ln n 1 2 3 n ? 1 n?n ? 1? ? ??? ? ? ? ??? ? n ? 2, n ? N * . ∴ 3 4 n ?1 2 2 2 2 4
取 x ? n ,则 2ln n ? n ? 1 即
2

2

?

?

18、 g ( x) ? ?

?(a ? 1) x ? 2b, x ?[1, b] ?ax ? b, x ? (b,3]

a ?1 ? 0 ? ? a?0 (1)由题意 ? ,解得 a ? 0 . ??a ? 1?b ? 2b ? ab ? b ?
(2)当 0 ? a ? 1 时, g ?x ? 在 ?1, b? 上单调递减,在 ?b,3? 上单调递增, 所以 min g ?x? x ? ? ,3? ? g (b) ? ab ? b . 1

?

?

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令 g ?1? ? g ?3? ,解得 a ? ①当 0 ? a ? ② 当

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b ?1 . 2

b ?1 时, max ?g ( x) | x ?[1,3]? = g(1)=a+2b-1, 2

b ?1 ? a ? 1 时, max ?g ( x) | x ?[1,3]? =g(3)=3a+b, 2

b ?1 ? ?(1 ? b)a ? b ? 1,0 ? a ? 2 ? 故 h( a ) ? ? , b ?1 ?(3 ? b)a, ? a ?1 ? ? 2
b ?1 b ?1 ] 上单调递减,在 [ ,1] 单调递增, 2 2 b ?1 (3 ? b)(b ? 1) 所以 d (b) ? min ?h(a) | a ? R? =h( )= , 2 2 1 当 b ? 2 时, max ?d (b) | b ? ?1,3 ?? ? . 2
因为 h(a) 在 [0,

19、 (1) f ?( x) ? 2 x ? (a ? 2) ?

a 2 x 2 ? (a ? 2) x ? a (2 x ? a)( x ? 1) ? ? x x x ,

a ? a ? 2. ? ? 1. 2
当 0 ? x ? 1及 x ?

a a 时, f ?( x) ? 0 ,当 1 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 2

?a ? ? f ( x) 的单调递增区间为 (0,1), ? , ?? ? . ?2 ?
(2) a ? 4 , f ?( x ) ? 2 x ?

4 ?6 x , 4 ?6? 4 2 ?6 x ,

? x ? 0,? f ?( x) ? 2 x ?

不存在 6 x ? y ? m ? 0 这类直线的切线. 由 2x ?

1 4 ? 6 ? 3得 x ? 与 x ? 4 , 2 x

当x ?

1 17 ? 4 ln 2. 时,求得 n ? ? 2 4

当 x ? 4 时,求得 n ? 4 ln 4 ? 20.

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(3) y ? g ( x) ? (2 x0 ?

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4 2 ? 6)( x ? x0 ) ? x0 ? 6 x0 ? 4ln x0 x0
2

? 6 ? ? ? x ? x0 ? ? x0 ? 6 x0 ? 4 ln x0 , 令 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? 6 x ? 4 ln ? ? ? 2 x 0 ? ? ? x0 ? ? 4
2

?

?

?

?

则 ? ( x0 ) ? 0.

? ?( x) ? 2 x ? ? 6 ? (2 x0 ?
当 x0 ? 2 时, ? x 在 ( x0 ,

4 x

4 2 2 2 ? 6) ? 2( x ? x0 )(1 ? ) ? ( x ? x0 )( x0 ? ) x0 x0 x x0 x ,

2 ) 上单调递减. x0

? x ? ( x0 ,

2 2 4( x) ) 时, ? ( x) ? ? ( x0 ) ? 0. 从而有 x ? ( x0 , ) 时, ? 0. x0 x0 x ? x0
2 2 , x0 ) 上单调递减,? x ? ( , x0 ) x0 x0 .

当 x0 ? 2 时, ? x 在 (

? ( x) ? ? ( x0 ) ? 0. 从而有 x ? (

2 4( x) , x0 ) 时, ? 0. x0 x ? x0

. ? 在 (0, 2) ? ( 2, ??) 上不存在“类对称点” 当 x0 ? 2 时, ? ?( x) ?

2 ( x ? 2) 2 x

?? ( x) 在 (0, ??) 上是增函数,故

? ( x)
x ? x0

? 0.

x ? 2 是一个类对称点的横坐标.

20、 (1)? 函数 f ( x) ? x 在 [0,1] 上是增函数,
2

? 对任意划分 T , ? f ( xi ) ? f ( xi ?1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x0 ) ? ? ? f ( xn ) ? f ( xn ?1 ) ? f (1) ? f (0) ? 1,
i ?1

n

取常数 M ? 1 ,则和式

? f (x ) ? f (x
i ?1 i

n

i ?1

) ? M ( i ? 1, 2, ?, n )恒成立,

所以函数 f ( x) ? x 在 [0,1] 上是有界变差函数.
2

(2)不妨设函数 f (x ) 是 [ a, b] 上的单调增加,? 对任意划分 T ,

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? f (x ) ? f (x
i ?1 i n i ?1

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) ? f ( x1 ) ? f ( x0 ) ? ? ? f ( xn ) ? f ( xn?1 ) ? f (b) ? f (a) ,

? 一定存在一个常数 M ? 0 ,使 f (b) ? f (a) ? M ,故 f ? BV [a, b] .
(3)? 对任意划分 T , ? f ( xi ) ? f ( xi?1 ) ? k ? xi ? xi?1 ? k (b ? a) ,
i ?1 i ?1 n n

取常数 M ? k (b ? a) ,? 由有界变差函数定义知 f ? BV [a, b] . 21、 (1)令 x1 ? x2 ? 0 ,得 f (0) ? f ( x0 ) ? 2 f (0) ,

? f ( x0 ) ? ? f (0) .????????????????①
令 x1 ? 1, x2 ? 0 得 f ( x0 ) ? f ( x0 ) ? f (1) ? f (0) .

? f (1) ?f ?

( .?????????????????② 0)

由①、②,得 f ?x0 ? ? f ?1? .
? f ( x) 为单调函数,? x0 ? 1 .

(2)由(1)得 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ,

? f (n ? 1) ? f (n) ? f (1) ? 1 ? f (n) ? 2 , f (1) ? 1 ,

1 . 2n ? 1 1 1 1 1 又? f (1) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? f (1) . 2 2 2 2 1 1 ? f ( ) ? 0, b1 ? f ( ) ? 1 ? 1. 2 2 1 1 1 1 1 1 又? f ( n ) ? f ( n?1 ? n?1 ) ? f ( n?1 ) ? f ( n?1 ) ? f (1) ? 2 f ( n?1 ) ? 1 , 2 2 2 2 2 2 1 1 ?2bn?1 ? 2 f ( n?1 ) ? 2 ? f ( n ) ? 1 ? bn . 2 2 1 ?bn ? ( )n?1 . 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn ? ? ??? ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? ) 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1) ? (2n ? 1) 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1
? f (n) ? 2n ? 1(n ? N ? ) ,? an ?

1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 3 Tn ? ( )0 ( ) 1? ( ) (1 ) ? ? ? ( ) n ? ( 1) n ? ? ( ) ? ? ? ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2

n?

1 1 [1 ? ( )n ] 2 4 ? 2 [1 ? ( 1 ) n ] . ? 21 1 3 4 1? 4

4 2 1 2 1 2 1 1 ? Sn ? Tn ? (1 ? ) ? [1 ? ( )n ] ? [( )n ? ]. 3 3 2n ? 1 3 4 3 4 2n ? 1
1 ? 4n ? (3 ? 1)n ? Cnn 3n ? Cnn ?1 3n ?1 ? ? ? Cn 3 ? Cn0 ? 3n ? 1 ? 2n ? 1 ,

4 2 1 1 ? Sn ? Tn ? [( )n ? ]? 0. 3 3 4 2n ? 1

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4 ? Sn ? Tn . 3
2 2 22、(1)因为点 Qn 的坐标为 (an , an ) , Qn ?1 的坐标为 (an+1 , an?1 ) ,

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2 所以点 Pn ?1 的坐标为 (an+1 ,4an?1 ) ,则 4an?1 ? an , 故 an?1与an 的关系为 an ?1 ?

1 2 an . 4

(2)设切点为 (t , t 2 ) ,则 y / ? 2 x 得 2t ? 4 ,所以 t ? 2. 解不等式 ?

?a2 ? 2, 得 2 ? a1 ? 2 2 . ? a1 ? 2

a3 ?

1 1 2 1 1 2 2 1 4 a2 ? ( a1 ) ? a1 .?2 ? a1 ? 2 2,? ? a3 ? 1. 4 4 4 4 64 1 a 3 的取值范围是 ( ,1). 4

(3) 由 an ?1 ?

1 1 1 1 2 1 an 得 lg an ?1 ? lg( an2 ) ,即 lg an ?1 ? 2 lg an ? lg ,故 lg an ?1 ? lg ? 2(lg an ? lg ) 4 4 4 4 4

1 1 3 ? lg 3 ? lg ? lg ? 0 , 4 4 4 3 1 1 3 3 2n ?1 n ?1 所以数列 {lgan ? lg }是以 2 为公比,首项为 lg 的等比数列, lg an ? lg ? 2 lg ? lg( ) , 即 4 4 4 4 4 lg a1 ? lg

lg

3 n ?1 an 3 n ?1 ? lg( ) 2 , 解得 an ? 4( ) 2 , 4 4 4
3 4
2n ?1

数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 4( )

.

a x ( x ? 0) ,则 an ?1 ? f (an ) ? n , 1 ? an 1? x 1 1 1 1 ? ? 1 ,即 ? ? 1, 得 an?1 an an?1 an 1 1 1 ∴ 数列 { } 是首项为 2、公差为 1 的等差数列,∴ ? n ? 1 ,即 an ? an an n ?1 1 (2)? [ f ( x )]? ? ,∴ 函数 f ( x) 在点 (n, f (n))(n ?N*)处的切线方程为: (1 ? x) 2
23、 (1)? f ( x) ?

y?

n 1 n n n2 ? ( x ? n) ,令 x ? 0 ,得 bn ? . ? ? 1 ? n (1 ? n)2 1 ? n (1 ? n) 2 (1 ? n) 2

bn ? ? 2 ?2 2 ? 2 ? ? n ? ? (n ? 1) ? (n ? ) ? ? ? ,仅当 n ? 5 时取得最小值, an an 2 4

? 5.5 ,解得 ? 11 ? ? ? ?9 ,故 ? 的取值范围为 (?11,?9) . 2 2 (3)? g ( x) ? f ( x)(1 ? x) ? x(1 ? x) ,故 cn?1 ? g (cn ) ? cn (1 ? cn ) ,
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?

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又? c1 ?

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1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ,即 . ? ? ? ? 0 ,故 cn ? 0 ,则 1 ? cn cn cn?1 cn?1 cn (1 ? cn ) cn 1 ? cn 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ ? ??? ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) 1 ? c1 1 ? c2 1 ? cn c1 c2 c2 c3 cn cn?1 1 1 1 ? 2? ? 2. = ? c1 cn?1 cn?1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 26 又 ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? 1, 1 ? c1 1 ? c2 1 ? cn 1 ? c1 1 ? c2 1 ? 1 1 ? 3 3 7 21 2 4 1 1 1 故1 ? ? ??? ? 2. 1 ? c1 1 ? c2 1 ? cn
24、(1)因为对任意正整数 n, m , Sn?m ? Sm ? qm Sn 总成立, 令 n ? m ? 1,得 S2 ? S1 ? qS1 ,则 a2 ? qa1 令 m ? 1 ,得 Sn?1 ? S1 ? qSn 从而 Sn?2 ? S1 ? qSn?1 (2), (1) ,

(2)-(1)得 an?2 ? qan?1 , (n ? 1)

综上得 an?1 ? qan (n ? 1) ,所以数列 ?an ? 是等比数列? (2)正整数 m, k , h 成等差数列,则 m ? h ? 2k ,所以 m ? h ?
2 2

1 (m ? h )2 ? 2k 2 , 2

m h m 则 am ? ah ? a1 q m

2 2 ①当 q ? 1 时, a ? a ? a1 k ? ak k

?m h 1 m h m h
2

a qh
h h

2

?h

? a12k qm ?h
2

2

?m ?h



②当 q ? 1 时, a ? a ? a q
m m 2k 1 m m h h

m2 ? h2 ? m ? h

? a12 k q 2 k

2

?2k

2 ? (a1q k ?1 ) 2 k ? ak k

. .

③当 0 ? q ? 1 时, a ? a ? a q
2k 1

m2 ? h2 ?m ?h

?a q
2k 1

2k 2 ?2k

? (a1q

k ?1 2 k

)

2 ? ak k

(3)正整数 m, k , h 成等比数列,则 m ? h ? k ,则
2

所以 a ? a ? (a1q ①当 a1 ? q ,即

1 m m

1 h h

1 m?1 m

) (a1q

1 h ?1 h

) ?a

1 1 ? m h 1

q

1 1 2? ? m h

1 1 1 2 ? ?2 ? , m h mh k 2 2 1 1 ? 2 a1 k 2 a1 m h k ? q ( ) , ak ? q ( ) q . q

1 1 2 2 a1 m h ? 1 时, am ? ah ? akk ? q 2 ? ak k . q

2 1 1 1 1 2 ? a1 2 a1 m h 2 a1 k k m h ? 1 时, am ? ah ? q ( ) ②当 a1 ? q ,即 ? q ( ) ? ak . q q q 2 1 1 a1 a 1 ?1 a 2 m ? 1 时, am ? ahh ? q 2 ( 1 ) m h ? q 2 ( 1 ) k ? ak k ③当 a1 ? q ,即 . q q q 2 2 2 25、 (1)由题意可知, 1 ? an ?1 ? (1 ? an ) 3 . 2 3 2 2 令 cn ? 1 ? an 则 cn ?1 ? cn ,又 c1 ? 1 ? a1 ? 3 4. 3 2 则数列 ?cn ? 是首项为 c1 ? ,公比为 的等比数列, 4 3

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3?2? 3 2 3?2? 2 2 cn ? ? ? ,故 1 ? an ? ( )n?1 ? an ? 1 ? ? ? , 4?3? 4 3 4?3? 1 3 2 a1 ? , an ? an ?1 ? 0 ,故 an ? (?1)n?1 1 ? ( )n?1 2 4 3 .
2 bn ? an ?1 ? an ? 2

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n ?1

n ?1

1 2 n ?1 ?( ) 4 3 .

(2)用反证法证明:

假设数列 ?bn ? 存在三项 br , bs , bt (r ? s ? t ) 按某种顺序成等差数列,

1 2 , 公比为 的等比数列, 于是有 br ? bs ? bt , 则只有可能有 2bs ? br ? bt 成立- 则 4 3 1 2 1 2 1 2 2 ? ? ( ) s ?1 ? ? ( ) r ?1 ? ? ( )t ?1 . 4 3 4 3 4 3 1? r t ?1 t ?s s ?r t ?r t ?r 两边同乘 2 ? 3 得 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 . 由于 r ? s ? t ,所以上式左边为偶数,右边为奇数,故上式不可能成立,导致矛盾. 故数列 ?bn ? 中任意三项不可能成等差数列.
由于数列 ?bn ? 是首项为

26、(1) f ?( x) ?

a (a ? 2) 1 1 S 1 1 ? ,依题意, n2 ? f ?(an ) ? ? ,即 S n ? n n . 2x 4 4 an 2an 4 a (a ? 2) 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 1 ,解得 a1 ? 2 或 a1 ? 0 (舍去). 4 当 n ? 2 时, a (a ? 2) an ?1 (an ?1 ? 2) ? 由 an ? Sn ? Sn ?1 ? n n ? an 2 ? an?12 ? 2(an ? an?1 ) , 4 4 ∵ an ? 0 ,∴ an ? an?1 ? 0 ,则 an ? an?1 ? 2 ,
∴ ?an ? 是首项为 2,公差为 2 的等差数列,故 an ? 2n .

另法:易得 a1 ? 2, a2 ? 4, a3 ? 6 ,猜想 an ? 2n ,再用数学归纳法证明(略). (2) 证法一:∵

1 1 1 1 1 ? ? ? ? 3 3 2 2 an (2n) 8n ? n 8n(n ? 1) 8(n ? 1)n(n ? 1) 1 1 1 ? [ ? ](n ? 2) , 16 (n ? 1)n n(n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴当 n ? 2 时, 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? a1 a2 a3 an 2 4 6 (2n)3 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 3 ? [( ? )?( ? ) ??? ? ] 2 16 1? 2 2 ? 3 2 ? 3 3? 4 (n ? 1)n n(n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 5 ? ? [ ? ]? ? ? ? . 8 16 2 n(n ? 1) 8 16 2 32 1 1 5 当 n ? 1 时,不等式左边 ? 3 ? ? 显然成立. a1 8 32
3 2 2
3

证法二:∵ n ? 4n(n ?1) ? n(n ? 4n ? 4) ? n(n ? 2) ? 0 ,∴ n ? 4n(n ?1) . ∴

1 1 1 1 1 1 1 ? ? 3? ? ( ? ) (n ? 2) . 3 3 an (2n) 8n 32n(n ? 1) 32 n ? 1 n

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∴当 n ? 2 时,

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1 1 1 1 1 1 1 1 ? 3 ? 3 ??? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ??? 3 a1 a2 a3 an 2 4 6 (2n)3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 ? 3 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? ? (1 ? ) ? ? ? . 2 32 2 2 3 n ?1 n 8 32 n 8 32 32 1 1 5 当 n ? 1 时,不等式左边 ? 3 ? ? 显然成立. a1 8 32 ? an ?1 ? cos(n ? 1)? ? (?1) n ?1 , (3) 由 an ? 2n ,得 cos 2 1 设 bn ? ,则不等式等价于 (?1)n?1 ? ? bn . 1 1 1 (1 ? )(1 ? ) ?? ? (1 ? ) an ? 1 a1 a2 an
an ? 1 bn ?1 2n ? 1 2n ? 2 4n2 ? 8n ? 4 ? ? ? ? ? 1, 1 ? bn ? ? (2n ? 1)(2n ? 3) 1 ? 4n2 ? 8n ? 3 ?1 ? ? an ?1 ? 1 ?1 ? 2n ? 2 ? 2n ? 3 ? ? an ?1 ? ? ∵ bn ? 0 ,∴ bn?1 ? bn ,数列 ?bn ? 单调递增.
假设存在这样的实数 ? ,使得不等式 (?1)n?1 ? ? bn 对一切 n ? N 都成立,则
*

① 当 n 为奇数时,得 ? ? (bn )min ? b1 ? ② 当 n 为偶数时,得 ?? ? (bn )min 综上, ? ? (?

2 3 ; 3 8 5 8 5 ,即 ? ? ? . ? b2 ? 15 15

8 5 2 3 , ) ,由 ? 是非零整数,知存在 ? ? ?1 满足条件. 15 3

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