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1、学生版任意角与弧度制(含答案)【原创】


任意角与弧度制
一、任意角 1、角的推广 角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。 ①、按逆时针方向旋转所形成的角叫正角 ②、顺时针方向旋转所形成的角叫负角, ③、当一条射线没有作任何旋转时,称为零角 2、象限角 角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合。那么,角的终边(除端点外)在第几象限,我 们就说这个角是第几象限角 象限角的注意 ①主要是固定好始

边看终边 ②坐标轴上的角不叫象限角 第一象限角的集合为 ?? k ? 360? ? ? ? k ? 360? ? 90? , k ? ?? 第二象限 ? k ? 360? ? 90? ? k ? 360? ? 180? , k ? ?

?

?

第三象限 ?? k ? 360? ? 180? ? ? ? k ? 360? ? 270? , k ? ?? 第四象限 ?? k ? 360? ? 270? ? ? ? k ? 360? ? 360? , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180? , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180? ? 90? , k ? ? 终边在坐标轴上的角的集合为 ? ? ? k ? 90? , k ? ? 3、终边相同的角的表示 S={β |β =α +k×3600,k∈Z},即任一与角α 终边相同的角,都可以表示成角α 与整数个周角的和 任意两个角α ,β 同终边的条件是: ? ? ? ? 2k? (或 k ? 360 ? ) k ? Z 4、角与二倍角、半角的象限关系。 角a 角 2a 角 1/2a 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

?

?

?

?

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任意角与弧度制
5、 已知α 是第二象限的角,判断

? 所在的象限. 3

分析:由 k ? 360 ? 90? ? ? ? k ? 360? ? 180? 得k ?120? ? 30? ?

?
3

? k ?120? ? 60? .

法(1)按 k=3n,k=3n+1,k=3n+2(以上 n 均为整数)讨论. 法(2)把 (30? , 60? )旋转k ?120? (k ? Z ). 答案:

? 是第一、二、四象限的角. 3

探索:若α 分别在第一、二、三、四象限, 经典考点一、任意角的概念问题

? ?

, , 2? ,3? 分别在第几象限? 2 3

1.设集合 E ? {x | x是小于90?的角} , F ? {x | x是锐角} , G ={x | x是第一象限的角} ,
M= {x | x是小于90?,但不小于0?的角} ,则下列关系成立的是(

).

A.

B.

C.

( E ?G )

D. G ? M ? F

2、已知集合 A ? {第一象限的角}, B ? {锐角}, C ? {小于 90o 的角},下列四个命题: ①A? B?C 正确的命题个数是 A.1 个 B .2 个. C.3 个. D.4 个. ② A?C ③C ? A ④A?C ? B ( )

3、下列命题是真命题的是( ) Α .三角形的内角必是一、二象限内的角 B.第一象限的角必是锐角

? | ? ? k ? 360 ? ? 90 ? , k ? Z ?= ? ? | ? ? k ? 180 ? ? 90 ? , k ? Z ? C.不相等的角终边一定不同 D. ?
经典考点二、终边相同的角以及象限角
1、-1120°角所在象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 ( ) D.第四象限

2.写出-720°到 720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________. 3.与 610°角终边相同的角表示为 ( ) A. k·360°+230°(k∈Z) B. k·360°+250°(k∈Z) C. k·360°+70°(k∈Z) D. k·360°+270°(k∈Z) 4.将 ?885 化为 ? ? k ? 360 (0 ? ? ? 360 , k ? Z ) 的形式是(
?
? ? ?

) .

A. ?165 ? (?2) ? 360
?

?

B. 195 ? (?3) ? 360
?

?

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C. 195? ? (?2) ? 360? D. 165? ? (?3) ? 360?
( (B){α |α =k·180°+90°,k∈Z} (D){α |α =k·90°,k∈Z}
? ?

5.终边与坐标轴重合的角 α 的集合是 (A){α |α =k·360°,k∈Z} (C){α |α =k·180°,k∈Z}
?

)

6.若 A ? {? | ? ? k ?360 , k ?Z} ; B ? {? | ? ? k ?180 , k ? Z } ; C ? {? | ? ? k ? 90 , k ? Z } ,则下列关系中正确的 是( ) . B. A ? B ? C

A. A ? B ? C

C. A ? B ? C

D. A 刎B

C

7.已知集合 M ? {x | x ? k ? 60? ? 30? , k ? Z } , N ? { y | y ? n ? 30? ? 60? , n ? Z } , 若 ? ? M ? N ,且 ?90? ? ? ? 90? ,则由角 ? 组成的集合为__________. 8、设集合 A ? ?x | k ? 360 ? ? 60 ? ? x ? k ? 360 ? ? 300 ? , k ? Z ?,
B ? x | k ? 360 ? ? 210 ? ? x ? k ? 360 ? , k ? Z ,求 A ? B , A ? B .

?

?

9.已知 ? ?{? | ? ? k? ? (?1) k ?

?
4

, k ? Z } ,判断角 ? 所在象限.

10.若角 α 、β 的终边关于 y 轴对称,则 α 、β 的关系一定是(其中 k∈Z) (A) α +β =π (B) α -β = ?
2

(

)

(C) α -β =(2k+1)π

(D) α +β =(2k+1)π

经典考点三、分角象限的确实 1.若α 是第四象限角,则 180°-α 是( A.第一象限角 B.第二象限角 ) C.第三象限角 D.第四象限角 D. 第四象限角

2.若α 是第四象限角,则 180°+α 一定是( Α .第一象限角 B. 第二象限角 3.角α =45°+k·90°的终边在第

) C.第三象限角 象限. (

4.若 α 是第一象限角,则下列各角中一定为第四象限角的是 (A) 90°-α (B) 90°+α ). (C)360°-α



(D)180°+α

5.下列说法中正确的是(

A.终边在 y 轴非负半轴上的角是直角

B.第二象限角一定是钝角

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C.第四象限角一定是负角 D.若 ? ? ? ? k ? 360? (k ? Z ) ,则 ? 与 ? 终边相同

6、.试写出所有终边在直线 y ? ? 3x 上的角的集合,并指出上述集合中介于-1800 和 1800 之间的角.

经典考点四、区域角的表示

? ? ? 1.若集合 A ? ? x | k? ? ? x ? k? ? ? , k ? Z ? , B ? ? x | ?2 ? x ? 2? ,则集合 A ? B 为( 3 ? ?
A. [?1, 0] ? [ ,1] B. [ , 2] C. [?2, 0] ? [ , 2] 3 3 3 2、写出 y ? ? x( x ? 0) 所夹区域内的角的集合。

).

?

?

?

D. [?2, ] ? [ , 2] 4 3

?

?

3、两角和差的范围 (1) .设角 ? 、 ? 满足 ?180? ? ? ? ? ? 180? ,则 ? ? ? 的范围是___________. 解析: (?360? , 0? ) ∵ ? ? ? ,∴ ? ? ? ? 0? ,又 ?180? ? ? ? 180? , ?180? ? ? ? ? 180? ,

∴ ?360? ? ? ? ? ? 360? .综上可知 ? ? ? 的范围是 ?360? ? ? ? ? ? 0? 两角和差的范围的计算 (2) 若 ? ? (? ___ ;

?

,0), ? ? (0, ) ,则 ? ? ? ? 3 4

?

_____



????

___



? ? 2? ?

?
2

?

?
3

?

_________



若 ? 为锐角, ? 为钝角,则 ? ? 2? ? ____________;

?
2

?

?
3

?_____________。

4、 如图所示的平面区域, 试用角的区间表示这些角的集合 (用绝对值最小的角 [?? , ? ) 表示, 而不用 [0,2? ) 表示)

5.写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(这括边界)

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任意角与弧度制

(1)

(2)

(3)

二、弧度制的学习 1、 角度制,把一周角 360 等分,每一等价为一度,

2、弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360 度=2π 弧度。 3、弧度制的注意点 ①弧度的角与所选择圆的半径无关 ②弧度的单位是 rad 经常可以省略不写 ③弧度与角度除了零其他量都不能等同。 ④弧度是实数 4、若圆心角的弧长为 L,则其弧度数的绝对值|α |= 弧长公式: l ?| ? | ?r . 5、弧度转化为角度: 6、角度换成弧度公式: 7、熟记常用的角度和弧度 角度 弧度 三、弧度制的考点分析 (一)弧度制和角度制的意义 [弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度] 1、下列说法正确的是( ) A、1 弧度是 1 度的圆心角所对的弧 B、1 弧度是长度为半径的弧 C、1 弧度是 1 度的弧与 1 度的角之和
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扇形面积公式: s扇形
?

L ,其中 r 是圆的半径。 r 1 1 ? lr ? |? | ? r 2 2 2

1 弧度= 180 °≈57.30°=57°18ˊ. 1°=
?
180

≈0.01745

任意角与弧度制
D、弧度是角的度量单位 2、下列说法不正确的是( ) B、1 弧度是圆周的
1 所对的圆心角 2?

A、度和弧度是度量角的两种不同的单位 C、有弧度的定义一定有 180 度等于 ? 弧度 (二)弧度与角度的相互转化 1 弧度= 180 °
?

D、弧度与角度都与圆的半径相关

1°=

?
180

≈0.01745

[我们要熟练的使用 两者的转化,学会灵活运用弧度制] 1. ?3000 化为弧度为( A、 ? )

5? 4? 7? 7? B、 ? C、 ? D、 ? 3 3 4 6 2.三角形三内角的比是 7∶8∶15,各内角的弧度数分别是_______.

3、已知 A=1,B=1 度,C= C ?

?
3

,D ? ?

?
6

,试比较这四个角的大小。

4、把-1480 度写成 a ? 2k? (k ? Z ) 的形式。 (三)弧长公式与扇形公式的运用 弧长公式: l ?| ? | ?r .
1 1 扇形面积公式: s扇形 ? lr ? |? | ? r 2 2 2

[学生自己理解和推导两个公式] 1.半径为 ? cm,中心角为 120o 的弧长为 A. (
2? 2 cm D. 3



?
3

cm

B.

?2
3

cm

2? C. cm 3

2.圆的半径变为原来的 3 倍, 而所对弧长不变, 则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 3.将表的分针拨慢 10 分钟,则分针转过的角的弧度数是 A. ?
3

倍.





B. ?

6

C.- ?

3

D.- ?

6

4、已知扇形的周长为 20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是 多少?
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任意角与弧度制
5.在扇形 AOB 中, ?AOB ? 90°,弧 AB 的长为 l ,求此扇形内切圆的面积.

(四)角的度量单位的统一 [表示的时候要注意统一好度量单位,还有用来表示集合形式时一定要注意] 1、分别用弧度制和角度制写出在第二象限的角的范围

2、用弧度制表示出阴影部分的角的集合

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