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时间:2014-02-27


“数"海无涯“形"作
——“三角函数的图像和性质”教学案例
何先飞
(南京市浦口区中等职业学校,江苏南京211800)
自实施数学新课程已经四年了.无论是先前使用的人教 版试验修订本还是目前江苏省高一年级统一使用的苏教版



1.3.2节。三角函数的图像与性质(第一课时)”的教学作了一

番尝试。 一、教材分析 1.新旧教材比较 从最初的人民教育出版社高级中学课本到过渡的人教版 试验修订本,再到目前使用的苏教版实验教材.“三角函数的 图像与性质”是三套教材的必修内容之一。在教材处理方法 上,前两者几乎一样,这里我称前两套为老教材,后者为新教

试验教科书.都为落实新课程理念提供r丰富的新题材。但
由于知识的客观性。传统的教学题材依旧是新教材的主体内 容。如何在传统的教学题材巾落实体现新课程理念.这是一 个最普遍又最值得关注的问题。在我看来新课程的最高目标 是使学生通过高中阶段的数学学习,能获得适应现代生活和 未来发展所必需的数学索养.满足他们个人发展与社会进步 的需要。新教材在概念的引入时.更强调从学生了解、熟悉的 实际问题引入,更注意了解该数学概念的背景。我就必修4第 (5)写出答案(略)。

材。新老教材在教学内容上一致,都包含正弦函数、余弦甬数
图像的推导及应用两块。在教材处理方法上则有三点不同。第 个位上的数=(1/5)×两位数. 三、使学生掌握解应用题常用的分析方法 1.代数式法。在正确分析题意的基础上.将题目中的数量

事实上。(1)与(2)式是相同的,但(1)式是从要求的数值
反推心去.是由困导果的综合法.它要求找出一个能用四则运 算符号把已知数联系起来的综合运算式子,这样难于思考,而

关系,各数量之间的关系,用代数式依次表示出来。再根据各 代数式之间的内存联系。找到相连关系。列出方程。此法常用
于工程问题、比例调配问题、数字问题等。 2.示意图法。对于一些较直观的问题,可将题目中的条件 之间的关系,用简单明了的示意图表示出来,然后根据图示中 有关的数量的内存联系,找到相等关系,列出方程。

且一次性地计算出问题的结果来,学生也难以做到。而(2)式
是利用未知数X,将有关的量用含未知数的代数式表示出来, 然后依题意列出方程,最后将未知数求出来.这是执果索因的 分析法,便于思考,易于列式,且将列方程与解方程分开进行, 可以分散难点,化难为易,从而体现出代数法的优越性,促使

学生迅速适应并掌握代数法.顺利地实现从算术法到代数法
的飞跃。 二、教会学生寻找出相等关系的方法 仔细分析一个列方程解应用题的一般步骤可以发现. 列方程巾最关键的是怎样在题目中正确“找出相等关系” 来。相等关系有两类:一类是题目中给出的条件等量关系, 这类关系对应问题中的主要量在一般情况下是变化的.属 于“动态”问题,另一类表示各种量之间内存规律同有的等 量关系。这类关系对应的问题中主要量在一般情况下处于

3.表格法。将题目中的有关数量及其关系填在事先设计
的一个表格内。然后再根据表格逐层分析.找到各量之间的内

存联系。从而找到相等关系,列出方程。 对以上三种常用的分析方法。在教学时,要通过具体题目
教给学生具体的分析方法。通过训练,要求学生能对具体问题 作具体的分析,并能灵活运用,不要死记硬背。 四、通过典型例题。引导学生逐步掌握设未知数的技巧 设未知数是列方程解应用题的第一步,也是至关重要的 一步。在一个题目中,如果含有多个未知数而又只允许设一个 未知数时,到底选哪个未知数来设元,初学者往往难以掌握, 教师应利用一些典型例题教会学生设元的方法。一般来讲,设 未知数有以下两种方法。

稳定状态,属于“静态”问题。因此,寻找相等关系的_般方
法有如下两种。 1.对于“动态”问题中的相等关系.可在发生变化的事物 中找,对于发生量变的事物。可以从“量”的方面来找.也可以 从“质”的方面来找。如应用题中的和、差、倍、分问题,等积变

1.直接设元法。即在题目里问什么。就设什么为未知数。
这样设元后,只要能求出所列方程的解.就可以直接得题目所 求。在多数情况下,都可以采用直接设元法来设元。

形问题,追及『口J题.相遇问题,货物调配问题,等等。都可以从量
的方面按发展的顺序找到相等关系。 例如:有含盐15%的盐水20千克,要使盐水含盐10%,要加 水多少千克? 分析:这是一个溶液稀释问题。在这个题目中,由于原来 的盐水中只加入了水,没有加盐。因此盐水所含盐的重量在加 水前后是没有变化的,这就是说该应用题中含有下面的一个 相等关系:加水前含盐重量=加水后含盐重量。 2.对于“静态”问题中的相等关系.可在事物之间的内在 联系中找到相等关系.因为处在“静态”问题中的几个事物之 间,必然存在着一种数量上的联系.我们要根据这种数量上的 联系找到相等关系。 例如:一个两位数,十位数上的数比个位上的数小l。十位 与个位上的数的和是这个两位数的1/5.求这个两位数。

2.间接设元法。有些问题中,若采用直接设元法.则不易 列出方程。这里可考虑采取间接设元法,即通过间接的桥梁作
用,来达到求解的目的。例如,按比例分配问题.和、差、倍、分 问题,整数的组成问题.等等,均可用间接设元法来解元。 有些问题既可以采用间接设元法,又可采用直接设元法, 从而形成一个问题的多种解法。对于这样的问题.教师可要求 学生将所有的解法都做出来,然后从这些解法中选一种最优 的解法。 总之,在用方程解决问题的教学中,不要以题形分类,应

强调对实际问题的数量关系的分析.突出解题策略.特男Ⅱ要借
助图表,示意网整体把握和分析题意,寻找相等关系,并注意 检验和解释方程解的合理性。教学中还要给学生足够的探索

和交流的空间,鼓励学生多采用尝试、猜想、验证的方法去解
决问题,从而体现“做数学”的思想。

分析:这道题r}l含有这样的一个相等关系:十位上的数+
72 万方数据

一.章头图给出本章核心概念或原理的直观形象.在内容处理 上,力图做到“入口浅,寓意深”;第二,与过去的教材相比。新 教材强调r三角函数是一种“数学模型”.注意从数学模型的 角度来认识三角函数.突出数学思想方法在数学模型建构中 的作用;第三,与以往的三角函数内容相比较,本章提出了对 三角甬数作为刻j田i现实世界的数学模型的认识的要求,加强 了对借助单位圆理解i角甬数的概念、性质。以及通过建立三

教学
环节

教学程序设计 (教师)根据亭头图我们给出奉章核心概 念:i角函数的慨念和直观形象。前面我 们研究r:角龋数的周期性通过J:常课 的学习,我们初步感受到用函数l冬{形束研 究函数的什质直观性。为了更加“观地研 究j角蛹数的性质,可以先作出它们的图 像。怎样作出正弦甬数的图像呢? [问题一]三角f 自数与二角}!fi数线的联系 二角函数 三角甬数线
正弦函数sina: :MP正弦线MP

设计意图 通过实例演示,设 置问题情境.让学 ,1.时正弦图像的初 步感知.进而探索 正弦曲线准确的作
法。

问 题 情 境

角函数模型解决实际问题等内容。
2.教材所处的地位和作用 《普通高中数学课程标准(实验)》指出:三角函数是基本 初等函数.它是描述周期现象的重要数学模型.在数学和其他

领域中具有重要的作甩。学生将通过实例,学习正弦函数、余
弦函数图像的推导及应用.体会i角函数在解决具有周期变 化规律的问题中的作用。《标准》对其中的一些内容作了新的 处理.在要求上也有所变化,在课堂教学中准确把握■角函数 的教学要求。是落实新课程理念。提高课堂效率,实现有效教 学的关键点。研究函数的性质常常以直观的图像为基础,对于 这点学生已有蝗经验。通过观察函数的图像,从图像的特征获 得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想的应用。

余弦蛹数翌坠 =OM余弦线OM
正切函数tana :AT正切线AT

厂。 弋

姘一
少I“i
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[问题一]通过对二三 角函数线的复习, 体会数与形的联 系,进f『jj引导学生 画出止弦函数的图 像,iL学生体会数 学l{I的图形美,体 验善于动于.操作、 合作探究的学习方 法带来的成功愉 悦。 [问题一:]解决的途 径是从利用译位圆 中正弦线求解决。 以水平线为x轴, 圆心。为坐标原点 建正直角坐标系, 有序数时(X,Y)也 町以表示点P,用 光滑l||j线把这蝗正 弦线的终点P连结

[问题二]如何作出正弦函数的图像?

正弦甬数、余弦函数的教学也是如此。先研究它们的图像.在 此基础上再利用图像来研究它们的性质。显然,数形结合是深
入研究甬数性质的基本要求。 二、设计方案与意图


生 活



饿{狳。等h 吲鼍{…泌沙。


1-

t舯,_■‘坩ttl

【教学i维目标】
1.过程与方法 通过实例演示.让学生经历作出图像过程及方法.通过对 图像的感知,形成正弦曲线的初步认识.进而探索正弦曲线准 确的作法。养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新 问题时善于调动所学过的知识.较好的运用新旧知识之间的 联系,提高分析问题、解决问题的能力。 2.知识与能力 通过学习本节,理解正弦函数、余弦函数图像的I田.法。借 助图像变换。了解函数之间的内在联系。通过j角函数图像的 三种画法:描点法、几何法、五点法,体会用“五点法”作图带来 的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图像。 3.情感态度与价值观 通过学习本节.让学生体会数学中的网形美,体验善于动 手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦。渗透南抽象到 具体的思想.加深数形结合思想的认识。理解动与静的辩证关 系.树立科学的辩证唯物主义观。 三、教学后记

作法:(几何作法) (1)在A角坐标系的x轴}=任取一点 O。,以O,为圆心作单f≯圆。从00。与x轴 起来.就得到』E弦 的交点A起,把QO.分成12等份,过QO, 函数y=hinx.x∈ [O,21r]的图像。

上各点作x轴的垂线,可得对应于0,詈,

÷,.孚,L,21r等角的正弦线;
(2)把x轴f:O一21r这一段分成12等 份.把角x的正弦线向右平行移动,使正弦 线的起点与x轴f:的点x重合; (3)用光滑曲线把这蝗正弦线的终点 连结起来,就得到止弦函数Y=sinx,x∈[0, 2Ⅱ:的图像。

1.本符课操作性强.学生活动量大。新课从实验演示人 手.形成图像的感知后.升级问题,探索正弦曲线准确的画法, 形成理性的认识。问题设置层层深入,引导学生发现问题,解 决问题.并对方法进行归纳总结.体现r新课标“以学生为主

【重点难点】 教学重点:正弦函数、余弦函数的图像。 教学难点:将单位圆巾的正弦线通过平移转化为正弦函 数图像上的点:正弦函数与余弦函数图像间的关系。 【课时安排】
第一课时。

体.教师为主导”的课’簧教学理念。
2.本节课所J坦j的图像较多.能迅速的准确的画H{函数图 像对初学者来说是一个较高的要求,重在学生动手操作,不要 怕学生出错。通过图像可以培养学生的动手能力。开始时要慢 些.尤其是“五点法”,每个点都要能准确地找到,然后迅速画 出图像。

【教学过程】

万方数据

"数"海无涯"形"作舟——"三角函数的图像和性质"教学案例
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 何先飞 南京市浦口区中等职业学校,江苏,南京,211800 考试周刊 KAOSHI ZHOUKAN 2011(1)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_kszk201101058.aspx


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