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高中数学 3.1《不等关系与不等式(2)》导学案 新人教A版必修5

时间:2014-01-25


3.1

《不等关系与不等式(2) 》导学案

【学习目标】 1. 掌握不等式的基本性质; 2. 会用不等式的性质证明简单的不等式; 3. 会将一些基本性质结合起来应用. 【重点难点】 比较大小的基本步骤及其应用 【 知识链接】 1.设点 A 与平面 ? 之间的距离为 d,B 为平面 ? 上任意一点,则点 A 与平面 ? 的距离小于或等于

A、 B 两点间的距离,请将上述不等关 系写 成不等式.

2.在初中,我们已经学习过不等式的一些基本性质. 请同 学们回忆初中不等式的的基本性质. (1) a ? b, b ? c ? a ___ c (2) a ? b ? a ? c ____ b ? c (3) a ? b, c ? 0 ? ac ____ bc (4) a ? b, c ? 0 ? ac ____ bc 【学习过程】 ※ 学习探究 问题 1:如何比较两 个实数的大小.

问题 2:同学们能证明 以上的不等式的基本性质吗?并利用以上基本性质,证明不等式的下列性质:
(1)a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; (2)a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ; (3)a ? b ? 0, n ? N , n ? 1 ? a n ? b n ; n a ? n b .

※ 典型例题
1

例 1 比较大小: (1) ( 3 ? 2)2
6?2 6; (2) ( 3 ? 2)2

(3) ( 6 ? 1)2 ;

1 5?2

1 6? 5



(4)当 a ? b ? 0 时, log 1 a _______ log 1 b .
2 2

变式:比较 (a ? 3)(a ? 5) 与 (a ? 2)(a ? 4) 的大小.

例 2 已知 a ? b ? 0, c ? 0, 求证

c c ? . a b

变式: 已知 a ? b ? 0 , c ? d ? 0 ,求证:

a b ? . d c

a 例 3 已知 12 ? a ? 60,15 ? b ? 36, 求a ? b及 的取值范围. b

变式:已知 ?4 ? a ? b ? ?1, ?1 ? 4a ? b ? 5 ,求 9 a ? b 的取值范围.

※ 动手试试 练 1. 用不等号“>”或“<”填空: (1) a ? b, c ? d ? a ? c ____ b ? d ; (2) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ____ bd ;
2

(3) a ? b ? 0 ? 3 a ____ 3 b ; (4) a ? b ? 0 ? 练 2. 已 知 x>0,求证 1 ? x ? 1 ?

1 1 ___ 2 . 2 a b

x . 2

【学习反思】 ※ 学习小结 本节课学习了不等式的性质,并用不等式的性质证明了一些简单的不等式,还研究了如何比较两个 实数(代数式)的大小——作差法,其具体解题步骤可归纳为: 第一步 :作差并化简,其目标应是 n 个因式之积或完全平方式或常数的形式; 第二步:判断差值与零的大小关系,必要时须进行讨论; 第三步:得出结论. ※ 知识拓展 “作差法” 、 “作商法”比较两个实数的大小 (1)作差法的一般步骤: 作差——变形——判号——定论 (2)作商法的一般步骤: 作商——变形——与 1 比较大小——定论 【基础达标】 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 若 f ( x) ? 3x2 ? x ? 1 , g ( x) ? 2 x2 ? x ? 1 ,则 f ( x) 与 g ( x) 的大小关系为( A. f ( x) ? g ( x) B. f ( x) ? g ( x) C. f ( x) ? g ( x) D.随 x 值变化而变化 2. 已知 x ? a ? 0 ,则一定成立的不等式是( ). 2 2 2 2 A. x ? a ? 0 B. x ? ax ? a 2 C. x ? ax ? 0 D. x 2 ? a 2 ? ax ? ? ? ?? 3. 已知 ? ? ? ? ? ? ,则 的范围是( ). 2 2 2 A. (?

).

,0) 2 2 1 1 b ,其中成立的 4. 如 果 a ? b , 有 下 列 不 等 式 : ① a 2 ? b 2 , ② ? , ③ 3a ? 3b , ④ lg a ? lg a b 是 . 5. 设 a ? 0 , ?1 ? b ? 0 ,则 a, ab, ab2 三者的大小关系为 . 2

?

,0)

B. [? ,0] 2

?

C. ( ?

?

,0]

D. [?

?

【拓展提升】 5 1 1 2 ? ? 1. 比较 与 的大小. 12 5 3 7
3

2. 某市环保局为增加城市的绿地面积,提出两个投资方案:方案 A 为一次性投资 500 万元;方案 B 为第一年投资 5 万元,以后每年都比前一年增加 10 万元.列出不等式表示“经 n 年之后,方案 B 的 投入不少于方案 A 的投入” .

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