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【名师一号】(新课标)2015-2016学年高中数学 双基限时练26 新人教A版必修4


双基限时练(二十六)
1.已知下列四个等式: ①sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ ; ②cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ ;

?π ? ③cos? +α ?=-sinα ; ?2 ?
tanα -tanβ ④tan(α -β )= . 1+tanα tanβ 其中恒成立的等式有(

A.2 个 B.3 个 ) C.4 个 D.5 个

解析 ①,②,③对任意角 α ,β 恒成立,④中的 α ,β 还要使正切函数有意义. 答案 B 2. 1-tan15° 的值为( 1+tan15° B. 3 3 )

A. 3

C.1 D.- 3

tan45°-tan15° 3 解析 原式= =tan(45°-15°)=tan30°= . 1+tan45°tan15° 3 答案 B π? 1 π? 2 ? ? 3.设 tan(α +β )= ,tan?β - ?= ,则 tan?α + ?等于( 4? 4 4? 5 ? ? A. 13 13 B. 28 22 C. 3 1 D. 22 6 ) )

4 1 3.已知 α ,β 为锐角,cosα = ,tan(α -β )=- ,则 tanβ 的值为( 5 3 A. 1 13 B. 3 9 13 5 C. D. 15 9

答案 B 4.已知 tanα +tanβ =2,tan(α +β )=4,则 tanα tanβ 等于( 1 A.2 B.1 C. D.4 2 解析 因为 tan(α +β )= 答案 C π π 1 3 5.若 0<α < ,0<β < ,且 tanα = ,tanβ = ,则 α +β 等于( 2 2 7 4 ) tanα +tanβ 2 1 = =4,所以 tanα tanβ = . 1-tanα tanβ 1-tanα tanβ 2 )

1

A.

π 6

π B. 4

π C. 3

3π D. 4

解析 由已知可求得 tan(α +β )=1. π 又 0<α +β <π ,∴α +β = . 4 答案 B

?π ? 2 6. 已知 tanα 和 tan? -α ?是方程 ax +bx+c=0 的两个根, 则 a, b, c 的关系是( 4 ? ?
A.b=a+c B.2b=a+c C.c=b+a D.c=ab

)

b π ?π ? ?π ? c 解析 由韦达定理可知 tanα +tan? -α ?=- 且 tanα tan? -a?= ,∴tan = 4 4 a a 4 ? ? ? ?

? ?π ?? tan?a+? -α ??= ? ?4 ??
答案 C

b a b c =1.∴- =1- .∴-b=a-c.∴c=a+b.故选 C. c a a 1- a


4 7.若 tanα =3,tanβ = ,则 tan(α -β )=________. 3 tanα -tanβ 解析 tan(α -β )= = 1+tanα tanβ 1 3 1 = . 4 3 1+3× 3 4 3- 3

答案 8.

tan51°-tan6° =________. 1+tan51°tan6°

解析 原式=tan(51°-6°)=tan45°=1. 答案 1 π? 3 ?π ? ? 9.已知 α ∈? ,π ?,sinα = ,则 tan?α + ?=______. 4? 5 ?2 ? ? π 3 解析 ∵ <α <π ,sinα = , 2 5 4 3 ∴cosα =- ,∴tanα =- . 5 4 3 - +1 π ? ? tanα +1= 4 =1. ∴tan?α + ?= 4 ? 1-tanα 3 7 ? 1+ 4

2

答案

1 7

10.tan67°-tan22°-tan67°tan22°=________. 解析 因为 tan67°-tan22°=tan(67°-22°)(1+tan67°tan22°) =tan45°(1+tan67°tan22°) =1+tan67°tan22° 所以 tan67°-tan22°-tan67°tan22° =1+tan67°tan22°-tan67°tan22°=1. 答案 1 11.求下列各式的值. π tan75°-tan15° (1)tan ;(2) . 12 1+tan75°tan15° 解 π ?π π ? (1)tan =tan? - ? 12 ?4 6?

π π tan -tan 4 6 = π π 1+tan ·tan 4 6 1- = 3 3

3 1+ 3

=2- 3.

(2)原式=tan(75°-15°)=tan60°= 3. π 12.(1)已知 α +β = ,求(1+tanα )(1+tanβ ). 4 (2)利用(1)的结论求(1+tan1°)·(1+tan2°)·(1+tan3°)·…·(1+tan45°)的 值. 解 即 π (1)∵α +β = ,∴tan(α +β )=1, 4 tanα +tanβ =1, 1-tanα tanβ

∴tanα +tanβ =1-tanα tanβ . ∴(1+tanα )(1+tanβ )=(tanα +tanβ )+1+tanα tanβ =2. (2)由(1)知当 α +β =45°时, (1+tanα )(1+tanβ )=2. ∴ 原 式= (1 + tan1°)(1+ tan44°)(1 +tan2°)(1 + tan43°)…(1 + tan22°)(1+ tan23°)·(1+tan45°)

3

=2 ·2=2 . 1 5 13.已知 tanα =- ,cosβ = ,α ,β ∈(0,π ). 3 5 (1)求 tan(α +β )的值; (2)求函数 f(x)= 2sin(x-α )+cos(x+β )的最大值. 解 1 5 (1)tanα =- ,cosβ = ,β ∈(0,π ), 3 5

22

23

2 5 ∴sinβ = ,∴tanβ =2. 5 tanα +tanβ ∴tan(α +β )= = 1-tanα tanβ 1 - +2 3 =1. 1? ? 1-?- ?×2 ? 3?

1 (2)∵tanα =- , α ∈(0,π ), 3 ∴sinα = 1 10 ,cosα =- 3 10 .

∴f(x)= 2(sinxcosα -cosxsinα )+cosxcosβ -sinxsinβ =- 3 5 sinx- 1 5 cosx+ 5 2 5 cosx- sinx 5 5

=- 5sinx. ∴f(x)的最大值为 5.

4


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