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2013数学学业水平测试卷(二)


2013 年辽宁省普通高中学生学业水平考试模拟卷 数 学
1.考试采用书面答卷闭卷方式,考试时间 90 分钟,满分 100 分; 2.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1)若集合 A ? {

x | ?1 ? x ? 3} , B ? {x | x ? 2} ,则 A ? B ? ( ) A. {x | ?1 ? x ? 2} C. {x | 2 ? x ? 3} (2)若 cos ? ? ? A. ? B. {x | ?1 ? x ? 2} D. {x | 2 ? x ? 3}

3 4

4 ,且 ? 是第三象限角,则 tan ? ? ( ) 5 3 4 4 B. C. D. ? 4 3 3

(3)函数 f ( x) ? log3 ( x 2 ? x ? 2) 的定义域为 ( ) A. {x | x ? 2或x ? ?1} C. {x | ?2 ? x ? 1} B.

{x | ?1 ? x ? 2}

D. {x | x ? 1或x ? ?2}

(4)已知数列 {an } 是等比数列,且 a1 ? A. 2 B. ? 2 C.

1 2

1 , a 4 ? ?1 ,则 {an } 的公比 q 为( ) 8 1 D. ? 2
主视图 4

(5)一个正三棱柱(底面是正三角形,高等于侧棱长) 的三视图如图所示, 这个正三棱柱的表面积是( ) A.8 B.24 C.4 3 +24 D.8 3 +24

2 左视图

(6)在某体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下: 90 89 90 95 93 94 93 俯视图

去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差 分别是( ) A.92,2 B.92,2.8 C.93,2 D.93,2.8

(7)已知向量 a ? (?1,2) , b ? (m,?1), c ? (3,?2) ,若 (a ? b) ? c ,则 m 的值是( ) A.

7 2

B.

5 3

C. 3

D. ? 3

? (8)△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 1 ,?B ? 45 , S ?ABC ? 2 则 若

b 等于( )
A.5 B.25 C. 41 ) D.5 2

(9)正数 a, b 满足 ab ? 1 ,则 a ? 2b 的最小值为( A. 2 B. 2 2 C.

3 2

D.3

(10)设 f (x) 是定义域为 R 的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? x ,则 f (?2) ? ( ) A.

2

B. ? 2

C. 6

D. ? 6 )

(11)直线 y ? x ? 4 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 8 相切,则 a 的值为( A. 3 B. 2 2 C. 3 或 ? 5 D. ? 3 或 5 )

(12)执行如右程序框图,输出的结果为( A.1 B.2 C.4 D.16

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分.

? y ? 2x ? (13) 点 P( x, y) 在不等式组 ? y ? ? x 表示的平面区域内, z ? x ? y 的最大值为 则 ? x?2 ?
(14)在边长为 2 的正方形面内随即取一点,取到的点到正方形中心的距离小于 1 的概率 为 .



(15)若 sin(? ? x) ? sin(

?
2

? x) ?

1 ,则 sin 2 x ? _ _ 3



(16)已知函数 f ( x ) ? ?

? 3 x , ( x ? 1) ?? x, ( x ? 1)

,若 f ( x) ? 2 ,则 x ? _ _



三、解答题:本大题共 5 小题,共 52 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos 2 x ? sin 2 x (Ⅰ)求 f ( ) 的值;

?

3

(Ⅱ)求 f ( x ) 的最大值和最小值

(18) (本小题满分 10 分) 某地区有有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查。 (1) 求应从小学,中学,大学中分别抽取的学生数目; (2) 若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步的数据分析: ①列出所有可能的抽取结果; ②求抽取的 2 所学校均为小学的概率。

(19) (本小题满分 10 分)
2 2 已知圆 C: x + y - 8 y + 12 = 0 ,直线 l : ax + y + 2a = 0 ,

(1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切. (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,且 AB = 2 2 时,求直线 l 的方程.

(20) (本小题满分 10 分) 公差不为 0 的等差数列{ an }中,已知 a1 ? 4, 且a7 ? a1a10 ,其前 n 项和为 S n ,
2

(1)求数列{ an }的通项公式 (2)求 S n 的最大值及取得最值时的 n 值

(21) (本小题满分 12 分) 如 图 , 已 知 PA 垂 直 于 矩 形 ABCD 所 在 的 平 面 , M , N 分 别 是 AB, PC 的 中 点 , 若

?PDA ? 45? ,
(1)求证: MN // 平面 PAD 且 MN ? 平面 PCD 。 (2)探究矩形 ABCD 满足什么条件时,有 PC ? BD

2012 年辽宁省普通高中学生学业水平考试模拟数学参考答案
一、选择题(共 12 小题,每小题 3 分,满分 36 分)
题 号 答 案 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) C B A B D B D A B B C D

二、填空题(共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分) ? 8 (13)6 (14) (15) (16) log3 2 9 4 三、解答题(共 5 小题,满分 52 分) ? 2? ? 3 1 ? sin 2 = ?1 ? ? ? (17)解: (Ⅰ) f ( ) ? 2 cos 3 3 3 4 4
(Ⅱ) f ( x) ? 2(2cos2 x ?1) ? (1 ? cos2 x)

? 3cos2 x ?1, x ? R
因为 cos x?? ?1,1? ,所以,当 cos x ? ?1 时 f ( x ) 取最大值 2;当 cos x ? 0 时,

f ( x) 取最小值-1。

------10 分 (18)解: (Ⅰ)从小学,中学,大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1 ------2 分
(Ⅱ)解:3 所小学记为 a1 , a2 , a3 ,2 所中学记为 b1 , b2 ,大学记为 c

则抽取两所学校所有可能结果为{ a1 a2 , 1 a3 , 1 b1 , 1 b2 , 1 c , 2 a3 , a2 b1 , 2 b2 , a a a a a a
a2 c , a3 b1 , a3 b2 , a3 c , b1 b2 , b1

c , b2 c }共 15 种-----------6 分

从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 A)的所有可能结果为{ a1 a2 ,

a1 a3 , a2 a3 },共 3 种
所以 P ( A) ?

3 1 ? -----10 分 15 5
------1’

(19)解:设圆心到直线的距离为 d,圆心(0,4)半径 r=2
(1)直线 l : ax + y + 2a = 0 与圆相切 \ d =

4 + 2a a +1
2

= 2, 解得a = -

3 4

---5’

(2) AB = 2 2 , \ d =

r2 - (

AB 2

)2 =

2,

-----7’

由d =

4 + 2a a2 + 1

=

2, 解得a = - 7或a = - 1
------10

故所求直线为 7 x - y + 14 = 0或x - y + 2 = 0

(20)解: (1)设等差数列公差为 d,由 a1 ? 4, 且a7 ? a1a10 得 (a1 ? 6d ) 2 ? a1 (a1 ? 9d )
2

可求 d ? ?

1 1 1 13 ,则 a n ? 4 ? (n ? 1) ? ? n ? 3 3 3 3

---------5

(2)令 an ? 0, 得n ? 13, a13 ? 0 ,所以前 13 项和最大,

13(4 ? 0) ? 26 -----------------10 2 (21) (1)证明:如图,取 PD 的中点 E,连接 AE,NE。 1 ? E, N 分别为 PD,PC 的中点,? EN // CD 2 1 又 M 为 AB 的中点,? AM // CD 2 S13 ?

? EN// AM ,? 四边形 AMNE 为平行四边形。
? MN // AE ,? MN // 平面PAD
----------4 分

? PA ? 平面ABCD, ?PDA ? 45?
? ?PAD为等腰直角三角形。 AE ? PD ?
又? CD ? AD, CD ? PA, AD ? PA ? A

? CD ? 平面PAD, 而AE ? 平面PAD, CD ? AE ?
又 CD ? PD ? D,? AE ? 平面PCD,? MN ? 平面PCD -----------8 分 (2)若 PC ? BD ,又 PA ? BD , PA ? PC ? P

? BD ? 平面PAC ? BD ? AC 即矩形 ABCD 的对角线互相垂直,
此时矩形为正方形。 即当矩形 ABCD 为正方形时,满足 PC ? BD ----------------12 分


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