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高考复习第二单元7函数图像


第7讲 函数图像
【2014年高考会这样考】
1.利用函数图像的变换(平移、对称、翻折、伸缩)作函数
图像的草图. 2.根据函数的解析式辨别函数图像. 3.应用函数图像解决方程、不等式等问题. 4.利用函数图像研究函数性质或求两函数图像的交点个数.

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高考

考点梳理
1.函数图像的变换 (1)平移变换 ①水平平移:y=f(x±a)(a>0)的图像,可由y=f(x)的图像 a个 单位而得到. 左 +)或向____( 右 -)平移_____ 向____(

②竖直平移:y=f(x)±b(b>0)的图像,可由y=f(x)的图像
b个 单位而得到. 上 +)或向___( 下 -)平移_____ 向___( (2)对称变换 y轴 对称. ①y=f(-x)与y=f(x)的图像关于____ x轴 对称. ②y=-f(x)与y=f(x)的图像关于____ 原点 对称. ③y=-f(-x)与y=f(x)的图像关于_____
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(3)伸缩变换
①y=af(x)(a>0)的图像,可将y=f(x)图像上每点的纵坐标 伸(a>1时)或缩(a<1时)到原来的a倍,横坐标不变.

②y=f(ax)(a>0)的图象, 可将 y=f(x)的图象上每点的横坐 1 标伸(a<1 时)或缩(a>1 时)到原来的a倍,纵标标不变.
(4)翻折变换 ①作出y=f(x)的图像,将图像位于x轴下方的部分以x轴为

对称轴翻折到上方,其余部分不变,得到y=|f(x)|的图
像; ②作出y=f(x)在y轴上及y轴右边的图像部分,并作y轴右 边的图像关于y轴对称的图像,即得y=f(|x|)的图像.
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2.等价变换
例如:作出函数 y= 1-x2的图象,可对解析式等价变形 ?y≥0, ? 2 2 1-x ? ?1-x ≥0, ? y 2 = 1 - x2 ?
? ?y≥0, ?? 2 2 ? ?y =1-x

y=

? x2 + y2 =

1(y≥0),可看出函数的图象为半圆.此过程可归纳为:(1) 写出函数解析式的等价组;(2)化简等价组;(3)作图.

3.描点法作图 方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析

式;(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最
值(甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图像.
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一条主线 数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线,也是高 考考查的热点.作函数图像首先要明确函数图像的形状和

位置,而取值、列表、描点、连线只是作函数图像的辅助
手段,不可本末倒置. 两个区别

(1)一个函数的图像关于原点对称与两个函数的图像关于
原点对称不同,前者是自身对称,且为奇函数,后者是两 个不同的函数对称.

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(2)一个函数的图像关于y轴对称与两个函数的图像关于y轴
对称也不同,前者也是自身对称,且为偶函数,后者也是 两个不同函数的对称关系. 三种途径 明确函数图像形状和位置的方法大致有以下三种途径. (1)图像变换:平移变换、伸缩变换、对称变换. (2)函数解析式的等价变换. (3)研究函数的性质,描点作图.

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考点自测
x+3 1. (教材习题改编)为了得到函数 y=lg 的图象, 只需把函 10 数 y=lg x 的图象上所有的点 ( ).

A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度

x+3 解析 y=lg =lg(x+3)-1 可由 y=lg x 的图象向 10 答案 C 左平移 3 个单位长度, 向下平移 1 个单位长度而得到.

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2.(2013· 萍乡一模)已知函数f(x)=2x-2,则函数y=|f(x)|

的图像可能是

(

).

解析

函数

x ? ?2 -2,x≥1, y=|f(x)|=? x ? 2 - 2 ,x<1, ?

故 y=|f(x)|在(-

∞,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,排除 A,C, D.
答案 B
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1

3 . (2011·陕西 ) 函数 y = x 3 的图象是

(

).

解析 该题考查幂函数的图象与性质, 解决此类问题首先 是考虑函数的性质,尤其是奇偶性和单调性,再与函数 y 1 1 =x 比较即可.由(-x) =-x 知函数是奇函数.同时由 3 3 1 1 当 0<x<1 时,x >x,当 x>1 时,x <x,知只有 B 选 3 3 项符合.
答案 B
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4.当a≠0时,y=ax+b与y=(ba)x的图像大致是(

).

解析

A中,a>0,b=1,ba=1,很容易排除;B中,

a>0,b>1,故ba>1,函数y=(ba)x单调递增,也可排除;

C、D中,a<0,0<b<1,故ba>1,排除D.故选C.
答案 C
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5.直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则a的取值 范围是________.
解析 y = x2 - |x| + a 是偶函

数,图象如图所示,由图象可 知直线 y=1 与曲线 y=x2-|x| 1 +a 有四个交点, 需满足 a- 4 5 <1<a,∴1<a< . 4

答案

? 5? ?1, ? 4? ?

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考向一
(1)y=2x+1-1;
(2)y=sin|x|; (3)y=|log2(x+1)|.

作函数图像

【例1】?作出下列函数的图像:

[审题视点] 根据函数性质通过平移,对称等变换作出函数
图像. 解 (1)y=2x+1-1的图像可由y=2x的图像向左平移1个单 位,得y=2x+1的图像,再向下平移一个单位得到y=2x+1 -1的图像,如图①所示.
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(2)当x≥0时,y=sin|x|与y=sin x的图像完全相同, 又y=sin|x|为偶函数,其图像关于y轴对称,如图②所示. (3)首先作出y=log2x的图像c1,然后将c1向左平移1个单

位,得到y=log2(x+1)的图像c2,再把c2在x轴下方的图像
翻折到x轴上方,即为所求图像c3:y=|log2(x+1)|.如图③ 所示(实线部分).
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【训练1】 分别画出下列函数的图像: (1)y=|lg x|;
2

(2)y=2x+2;

x+2 (3)y=x -2|x|-1; (4)y= . x-1 ? ?lg x,x≥1. 解 (1)y=? 图象如图①. ? ?-lg x,0<x<1. (2)将 y=2x 的图象向左平移 2 个单位.图象如图②. 2 ? ?x -2x-1 ?x≥0?, (3)y=? 2 图象如图③. ? x + 2 x - 1 ? x <0 ? . ? 3 3 (4)因 y=1+ ,先作出 y=x的图象,将其图象向右平 x-1 x+2 移 1 个单位,再向上平移 1 个单位,即得 y= 的图象, x-1 如图④.
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考向二

函数图像的辨识
).

cos 6x 【例 2】 ?(2012· 山东)函数 y= x - 的图象大致为 ( 2 -2 x

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[审题视点] 利用函数的奇偶性及函数值的变化规律求解. 解析 函数为奇函数, 所以其图象关于原点对称, 排除 A;
π π k 令 y=0 得 cos 6x=0,所以 6x= +kπ(k∈Z),x= + 2 12 6 π(k∈Z),函数的零点有无穷多个,排除 C;函数在 y 轴
?π ? ? 右侧的第一个零点为 12,0?,又函数 ? ?

y=2x-2-x 为增函

π 数,当 0<x< 时,y=2x-2-x>0,cos 6x>0,所以函数 y 12 cos 6x = x >0,排除 B;选 D. 2 -2-x

答案

D
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考向三

函数图像的应用

【例3】?已知函数f(x)=|x2-4x+3|.
(1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合M={m|使方程f(x)=m有四个不相等的实根}. [审题视点] 利用函数的图像可直观得到函数的单调性,方 程解的问题可转化为函数图像交点的问题.



f(x)=

2 ? ? x - 2 ? -1, x∈?-∞,1]∪[3,+∞? ? ? 2 ? - ? x - 2 ? +1, x∈?1,3? ?

作出函数图象如图.
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(1)函数的增区间为[1,2],[3,+∞); 函数的减区间为(-∞,1],[2,3]. (2)在同一坐标系中作出y=f(x)和y=m的图像,使两函数

图像有四个不同的交点(如图).
由图知0<m<1,∴M={m|0<m<1}.

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|x2-1| 【训练 3】 (2012· 天津)已知函数 y= 的图象与函数 x- 1 y=kx-2 的图象恰有两个交点,则实数 k 的取值范围 是________.
解 析 |x2-1| y = = x-1

? ?x+1,x≤-1或x>1, ? ? ?-x-1,-1<x<1,

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函数y=kx-2恒过定点M(0,-2),kMA=0,kMB=4.当k =1时,直线y=kx-2在x>1时与直线y=x+1平行,此时 有一个公共点,∴k∈(0,1)∪(1,4),两函数图像恰有两个

交点.
答案 (0,1)∪(1,4)

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热点突破7——函数图像的辨识
【命题研究】 从近三年的高考试题来看,图像的辨识与 对称性以及利用图像研究函数的性质、方程、不等式

的解是高考的热点,多以选择题、填空题的形式出
现,属中低档题,主要考查基本初等函数的图像的应 用以及数形结合思想.

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【 真 题 探 究 】 ? (2012· 新 课 标 全 国 ) 已 知 函 数 f(x) = 1 ,则 y=f(x)的图象大致为 ln?x+1?-x ( ).

[教你审题] 观察函数f(x)及四个选项的特点,从函数的定 义域、值域、单调性入手或用特殊点验证.
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[解法] 函数 f(x)的定义域为(-1,0)∪(0, +∞), 排除 D; -1 1 1 又 f(1)= <0,排除 A;g′(x)= -1= . ln 2-1 x+1 x+1 当-1<x<0 时,g′(x)>0,g(x)单调递增,∴g(x)<g(0) =0,∴f(x)在(-1,0)上单调递减且小于 0,排除 C.故选 B.
[答案] B

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x 【试一试】 (2011· 山东)函数 y= -2sin x 的图象大致是 2 ( ).

解析

1 1 y′= -2cos x.令 y′=0,得 cos x= ,则这 2 4

x 个方程有无穷多解,即函数 y= -2sin x 有无穷多个极 2 值点,又函数是奇函数,图象关于坐标原点对称.排除 A,B,D,故选 C. 答案 C
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【方法总结】

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【方法总结】
3.为了正确地作出函数的图象,必须做到以下两点: (1)熟练掌握几种基本函数的图象,如二次函数、反比 例函数、指数 函数、对数函数、幂函数、 形如y=x+ 1 的函数; x (2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、 周期变换等常用的方法技巧,来帮助我们简化作图 过程.

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