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理科数学模拟

时间:2015-06-28













)

A.x+2y+3=0

B.x-2y-5=0

C.2x+y=0

D.2x-y-5=0 f?x2?-f?x1? 1? 3 1 <0.如果 f? 4f(

log ?3?=4, 8 x2-x1

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.已知全集 U={0,1,2,3,4},A={1,2,3},B={2,4},则如图阴影部分表示的集合为(

8. 已知 f(x)是定义域为实数集 R 的偶函数, ?x1≥0, ?x2≥0, 若 x1≠x2, 则 x)>3,那么 x 的取值范围为( 1 0, ? )A.? ? 2?

1 ? 1 1 1 ,2 C.? ,1?∪(2,+∞) D.?0, ?∪? ,2? B.? ?2 ? ?2 ? ? 8? ?2 ?

A.{0,2}

B.{0,1,3} C.{1,3,4} D.{2,3,4}

9.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线 C 的离心率为 2,直线 l 与双曲线 C 交于 A,B 两点,线段 AB 中点 M 在第一象限,并且在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上,且 M 到抛物线焦点的距离为 p,则直线 l 的斜率为( ) A.2 B. 1 C.2.5 D.1.5 10.定义域为[a,b]的函数 y=f(x)图象的两个端点为 A、B,向量 ON ? ?OA ? (1 ? ?)OB , M(x,y)是 f(x)图象上任意一点,其中 x ? ?a ? (1 ? ? )b, ? ? [0,1] . 若不等式|MN|≤k 恒成立,

2.已知ⅰ为虚数单位, a 为实数,复数 z ? 2i ? (1 ? ai ) 在复平面内对应的点为 M,则“ a ? 0 ”是“点 M 在第 二象限”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
2

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

1 3.若 n ? ? 2 x dx ,则( x ? )n 的展开式中常数项为( 0 2x

)A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5

则称函数 f(x)在[a,b]上满足“k 范围线性近似”,其中最小的正实数 k 称为该函数的线性近似阀值.下列定 义在[1,2]上函数中,线性近似阀值最小的是 ( ) (A)y=x2 (B) y= 2 x (C) y=sin 3 (D) y=x- 1 x 第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分)
?x

4. 下列四个命题中: ①设有一个回归方程y=2-3x,变量x增加一个单位时,y平均增加3个单位;
2 ②命题 P“ ?x0 ? R, xo ? x0 ?1 ? 0 "的否定 ?p :"?x ? R, x2 ? x ?1 ? 0" ;

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上) 11.如果执行下列程序框图,那么输出的 S=________.

③设随机变量 X 服从正态分布 N(0,4) ,若 P(X>1)=0.2,则 P(-l<X<0)=0.3 ④在一个 2×2 列联表中,由计算得 K =6.679,则有 99%的把握确认这两个变量间有关系. 其中正确的命题的个数有( ) 0.10 2.706 0.05 3.841 C.3 个 本题可以参考独立性检验临界值表: 0.025 0.010 0.005 7.879 0.001 10.828
2

P( K 2 ? k )
A.1 个 k B.2 个

5.024 6.535 D.4 个

5.用若干个棱长为 1cm 的小正方体叠成一个几何体,图 1 为其正视图,图 2 为其俯视图,若这个几何体的体 3 积为 7cm ,则其侧视图为 ( ) 12.若关于 x 的不等式 x ? 1 ? x ? 3 ? a2 ? 2a ? 1 在 R 上的解集为 ? ,则实数 a 的取值范围是________. c 1 13.已知 a,b ,c 分别为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,若 a2=b2+c2-bc,b= + 3,则 tan B 2

x 6.函数 y ? ? sin x 的图象大致是 3

的值等于________.

? x ? y ? 4, 2 2 ? 2 14.设不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域为 D.若圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? r ? r ? 0 ? 经过区域 D 上的 ? y ?1 ? 0 ?
点,则 r 的取值范围是________. 15.考虑向量 m ? (a, b,0), n ? (c, d ,1) ,其中 a ? b ? c ? d ? 1。如下说法中正确的有
2 2 2 2

7.已知⊙P 的半径等于 6,圆心是抛物线 y2=8x 的焦点,经过点 M(1,-2)的直线 l 将⊙P 分成两段弧,当优 弧与劣弧之差最大时,直线 l 的方程为( )

(1)向量 n 与 z 轴正方向的夹角恒为定值(即与 c, d 值无关) ; (2) m ? n 的最大值为 2 ;

(3) ? m, n ? ( m, n 的夹角)的最大值为

3? 5 ; (4) ad ? bc 的值可能为 ; 4 4

19.(本小题满分 12 分) 已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AB =2, AA1 ? 3 ,点 D 为 AC 的中点,点 E 在线段 AA1 上 (I)当 AE : EA1 ? 1: 2 时,求证 DE ? BC1 ; (Ⅱ)是否存在点 E,使二面角 D-BE-A 等于 60 若存在求 AE 的长;若不存在,请说明理由

(5)若定义 u ? v ? u ? v sin ? u, v ? ,则 m ? n 的最大值为 2 。 则正确的命题是 . (写出所有正确命题的编号) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. ( 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 3sin ? x cos ? x ? 2cos
2

? x ?1(? ? 0) 的图像上的一个最低点为 P,离 P 最
A 2

?2 近的两个最高点分别为 M、N,且 PM · PN =16- (1)求 ? 的值; 16
(2)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 f ( ) ? 1 ,且 a=2,b+c=4, 求△ABC 的面积. 20. (本小题满分 13 分) 如图, 已知圆 G:x2 ? y 2 ? 2x ? 2 2 y ? 0 , 经过椭圆
(? a 倾斜角为 ) 及上顶点 B ,过圆外一点 (m , 0 )m

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 右焦点 F a 2 b2

5? 的直线 l 交椭圆于 C , D 两点, 6

(1)求椭圆的方程; (2)若右焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的外部,求 m 的值范围. 17. ( 12 分)在数学趣味知识培训活动中,甲、乙两名学生的 5 次培训成绩如下茎叶图所示: (Ⅰ)从甲、乙两人中选择 1 人参加数学趣味知识竞赛,你会选哪位?请运用统计学的知识说明理由; (Ⅱ) 从乙的 5 次培训成绩中随机选择 2 个,记被抽到的分数超过 110 分 的个数为 ? ,试求 ? 的分布列和数学期望.
甲 乙

8 9 6 9 8

9 10 11 12

2 2 4 1 1

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x ln x ? ax ? a ? R ?
2 (I)若函数 f ? x ? 在区间 ? ?e , ?? 上为增函数,求 a 的取值范围;

?

18.(本小题满分 12 分)已知公差不为 0 的等差数列{an},a1=1,且 a2,a4-2,a6 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式 ; (2)已知数列{bn}的通项公式是 bn=2
n-1

(II)若对任意 x ? ?1, ?? ? , f ? x ? ? k ? x ? 1? ? ax ? x 恒成立,求正整数 k 的值.

,集合 A={a1,a2,?,an,?},B={b1,b2,b3,?,bn,?}.将

集合 A∩B 中的元素按从小到大的顺序排成一个新的数列{cn},求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

一、选择题 ACCCC C (Ⅱ) ? 可以取 0,1, 2 .?????7 分 P(? ? 0) ?

C2 1 2 ? ;?????8 分 2 C5 10

7.A 依题意得,要使两弧之差最大,注意到这两弧的和一定,因此就要使其中的一弧长最小,此时所求 1 直线必与 MP 垂直,又点 P(2,0),因 此直线 MP 的斜率等于 2,因此所求的直线方程是 y+2=- (x-1),即 x 2 +2y+3=0,故选 A. 1 1 3 1 8.B 依题意得,函数 f(x)在[0,+∞)上是减函数,不等式 4f(log x)>3 等价于 f(log x)> ,f(|log x|)> 8 8 4 8 1? 1 1 1 1 1 1 f? ?3?,|log8x|<3,即-3<log8x<3,由此解得2<x<2,故选 B. 二、填空题 11 420 12. - 1 ? a ? 3 13. 1 2 9.D 10.D
1 2 C1 C3 6 3 3 2 C3 ;????? 9 分 P(? ? 1) ? 2 ? ? P(? ? 2) ? 2 ? .????10 分 C5 10 5 C5 10

? 的分布列为????11 分
期望 E? ? 0 ?

1 3 3 6 ? 1? ? 2 ? ? .???12 分 10 5 10 5
(1)设等差数列{an}的公差为 d.由题意(a4-2)2=a2a6 得(3d-1)2=(1+d)(1+5d).

18、解析:

解得 d=3 或者 d=0.因为公差 d 不为 0,所以 d=3.故 an=3n-2. ?????5 分

5 14. ? 2 2 , 2 ? ? ?

15.① ③⑤.

(2)由题意知数列{cn}是数列{an}与数列{bn}的公共项,令 2n 1=3m-2,


则 2n=2· 2n 1=6m-4=3(2m-1)-1 不是数列{cn}的项, 2n 1=2n 1· 22=12m-8=3(4m-2)-2 是数列{cn}
- + -

三 16.解: (1) f ? x ? ? 3 sin 2? x ? cos 2? x ? 2sin ? 2? x ?

? ?

??

? ……………………(2 分) 6?

的项. 所以{cn}是以 a1=b1=1 为首项,4 为公比的等比数列,即 cn=4n 1,?????10 分


T ? ? T ? ? 令 P ? x0 , ? 2 , ? x 0? , ?2 N,? x 0? 2 ?M ?,, 2 ? ? 2 ? ? T2 ?2 ? 2? ? 16 ? 16 ? 则 PM ? PN ? ? 故T ? ? ,得 ? =2 ……………(6 分) 2 2? 4 16 ? 5? ?? ? ? A? ? (2) f ? ? ? 2sin ? 2 A ? ? ? 1 ? 2 A ? ? ,得 A ? ……………(8 分) 6 6 6? 3 ?2? ? 2 2 2 2 2 2 又 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 4 ? b ? c ? bc ? ? b ? c ? ? 3bc
1 ? bc ? 4 ………… (10 分)? S ?ABC ? bc sin A ? 3 …(12 分) 2 98 ? 106 ? 109 ? 118 ? 119 ? 110 , 17.【答案】解:甲、乙两人的平均成绩分别是 x 甲 ? 5 102 ? 102 ? 111 ? 114 ? 121 x乙 ? ? 110 .?????2 分 5

1-4n 4n-1 故 Sn= = .???12 分. 3 1-4 20.解: (1)∵圆 G: x2 ? y2 ? 2x ? 2 2 y ? 0 经过点 F、B.∴F(2,0) ,B(0, 2 2 ) , ∴c ? 2 ,b ? 2 2 . ------------3 分
2 2

b?c ? 4

x y ? ? 1. 12 8 3 (2)设直线 l 的方程为 y ? ? ( x ? m)(m ? 2 3) 3
2 ∴ a ? 12 . 故椭圆的方程为

----------5 分

? x2 y2 ? ?1 ? 由 ?12 8 ? ? y ? ? 3 ( x ? m) ? 3 ?

消去 y 得 3x ? 2mx ? (m ? 24) ? 0 .
2 2

甲、乙两人成绩的方差分别是

1 306 2 s甲 = [(98 ? 110)2 ? (106 ? 110)2 ? (109 ? 110)2 ? (118 ? 110)2 ? (119 ? 110)2 ] ? , 5 5 1 266 2 s乙 = [(102 ? 110) 2 ? (102 ? 110) 2 ? (111 ? 110) 2 ? (114 ? 110) 2 ? (121 ? 110)2 ] ? .4 分 5 5
由 x甲 ? x乙 , s ? s ,可知甲和乙成绩的平均水平一样,乙的方差小,乙发挥比甲稳定,故选择
2 甲 2 乙

2 m2 ? 24 设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? m , x1 x2 ? , ------7 分 3 3 3 3 1 m m2 ∴ y1 y 2 ? [? . ( x1 ? m)] ? [? ( x2 ? m)] ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 3 3 3 3 3
∵ FC ? ( x1 ? 2, y1 ) , FD ? ( x2 ? 2, y2 ) ,

乙.?????6 分

4 (m ? 6) m2 x1 x2 ? ( x1 x2 ) ? ?4 3 3 3 ∵点 F 在圆 G 的外部, ∴ FC ? FD ? 0 , -----------9 分 6 ? 4 21 6 ? 4 21 2 得 5m ? 12m ? 60 ? 0 ,解得 m ? 或m ? . -----------11 分 5 5
∴ FC ? FD = ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? y1 y 2 ?

由△= ? ? 0 ,解得 ?6 ? m ? 6 .

又 m ? 2 3 , 2 3? m ? 6 .∴

6 ? 4 21 ? m ? 6 -----------13 分 5

21


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