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必修一 第一章 集合与函数概念


通城二中 2016 暑假过关检测 必修一 第一章 集合与函数的概念

姓名

分数

第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题 目要求的。) 1.集合 {a, b} 的子集有 ( A.2 个 B.3 个 ) C.4 个 D.5 个 )<

br />
2. 设集合 A ? ?x | ?4 ? x ? 3? , B ? ?x | x ? 2? ,则 A ? B ? ( A. (?4,3) B. (?4, 2]
2

C. (??, 2]

D. (??,3) ) D. x ? 6 x ? 10
2

3.已知 f ?x ? 1? ? x ? 4 x ? 5 ,则 f ?x ? 的表达式是( A. x ? 6 x
2

B. x ? 8x ? 7
2

C. x ? 2 x ? 3
2

4.下列对应关系: (



① A ? {1, 4,9}, B ? {?3, ?2, ?1,1, 2,3}, f : x ? x 的平方根 ② A ? R, B ? R, f : x ? x 的倒数 ③ A ? R, B ? R, f : x ? x ? 2
2

④ A ? ??1,0,1 ?, B ? ??1,0,1?, f : A 中的数平方 其中是 A 到 B 的映射的是 A.①③ B.②④

C.③④

D.②③

?? x ( x ? 0) 1 ? 2 5.下列四个函数:① y ? 3 ? x ;② y ? 2 ;③ y ? x ? 2 x ? 10 ;④ y ? ? 1 . x ?1 ( x ? 0) ?? ? x
其中值域为 R 的函数有 A.1 个 B.2 个 6. 已知函数 y ? ? A.-2 ( ) C.3 个 D.4 个 )

? x2 ? 1 ? ?2 x
5 2

( x ? 0) ,使函数值为 5 的 x 的值是( ( x ? 0)
C. 2 或-2 D.2 或-2 或 ? )

B.2 或 ?

5 2

7.下列函数中,定义域为[0,∞)的函数是 ( A. y ?

x

B. y ? ?2 x 2

C. y ? 3 x ? 1
1

D. y ? ( x ? 1)2

8.若 x, y ? R ,且 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,则函数 f ( x) A. f (0) ? 0 且 f ( x) 为奇函数 C. f ( x) 为增函数且为奇函数 9.下列图象中表示函数图象的是 ( y y





B. f (0) ? 0 且 f ( x) 为偶函数 D. f ( x) 为增函数且为偶函数 ) y y

0 (A)

x

0 (B)

x

0 (C )

x

0 (D)

x

10.若 x ? R, n ? N * ,规定:

H

n x

? x( x ? 1)( x ? 2) ????? ( x ? n ? 1) ,例如: (
5



H

4 ?4

? (?4) ? (?3) ? (?2) ? (?1) ? 24 ,则 f ( x ) ? x ? H x ? 2 的奇偶性为
B.是偶函数不是奇函数 D.既不是奇函数又不是偶函数

A.是奇函数不是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确答案填在题中横线上) 11.若 A ? ?0,1,2,3?, B ? ?x | x ? 3a, a ? A? ,则 A ? B ? .

12.已知集合 M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合 M∩N=



13.函数 f ? x ? ? ?

? x ? 1, x ? 1, 则 f ? f ? 4? ? ? ?? x ? 3, x ? 1,



14.某班 50 名学生参加跳远、铅球两项测试,成绩及格人数分别为 40 人和 31 人,两项测试均不及格的人数 是 4 人,两项测试都及格的有 人. 15.已知函数 f(x)满足 f(xy)=f(x)+f(y),且 f(2)=p,f(3)=q,那么 f(36)= 三、解答题(本大题共 5 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) .

16.已知集合 A= x 1 ? x ? 7 ,B={x|2<x<10},C={x|x<a},全集为实数集 R.

?

?

2

(Ⅰ)求 A∪B,(CRA)∩B; (Ⅱ)如果 A∩C≠φ ,求 a 的取值范围.

17.集合 A={x|x -ax+a -19=0} ,B={x|x -5x+6=0} ,

2

2

2

C={x|x2+2x-8=0} .
(Ⅰ)若 A=B,求 a 的值; (Ⅱ)若 ? A∩B,A∩C= ? ,求 a 的值.

18.已知方程 x 2 ? px ? q ? 0 的两个不相等实根为 ? , ? .集合 A ? {? , ? } ,

B ? {2,4,5,6}, C ? {1,2,3,4},A∩C=A,A∩B= ? ,求 p, q 的值?

19.已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 .
2

3

(Ⅰ)用定义证明 f ( x) 是偶函数; (Ⅱ)用定义证明 f ( x) 在 (??, 0] 上是减函数; (Ⅲ)作出函数 f ( x) 的图像,并写出函数 f ( x) 当 x ? [?1, 2] 时的最大值与最小值.

y

o

x

b?R ) 20. 设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 (a ? 0、 , 若 f (?1) ? 0 , 且对任意实数 x( x ? R ) 不等式 f ( x) ? 0
恒成立. (Ⅰ)求实数 a 、 b 的值; (Ⅱ)当 x ?[-2,2]时, g ( x) ? f ( x) ? kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围.

4

必修一第一章单元测试卷 1 参考答案 一、选择题 CBACB 二、填空题 11. AAACB 12. {(3,-1)} 13. 0 14. 25 15. 2( p ? q)

?0,3?

三、解答题 16.解: (Ⅰ)A∪B={x|1≤x<10} (CRA)∩B={x|x<1 或 x≥7}∩{x|2<x<10} ={x|7≤x<10} (Ⅱ)当 a>1 时满足 A∩C≠φ 17.解: 由已知,得 B={2,3} ,C={2,-4} 2 2 (Ⅰ)∵A=B 于是 2,3 是一元二次方程 x -ax+a -19=0 的两个根, 由韦达定理知:

?2 ? 3 ? a ? 2 ?2 ? 3 ? a ? 19

解之得 a=5.

(Ⅱ)由 A∩B ? ? A ∩ B ? ? ,又 A∩C= ? , 得 3∈A,2 ? A,-4 ? A, 由 3∈A, 2 2 得 3 -3a+a -19=0,解得 a=5 或 a=-2 ? 2 当 a=5 时,A={x|x -5x+6=0}={2,3} ,与 2 ? A 矛盾; 2 当 a=-2 时,A={x|x +2x-15=0}={3,-5} ,符合题意. ∴a=-2. 18.解:由 A∩C=A 知 A ? C 又 A ? {? , ? } ,则 ? ? C , ? ? C . 而 A∩B= ? ,故 ? ? B , ? ? B 显然即属于 C 又不属于 B 的元素只有 1 和 3. 不仿设 ? =1, ? =3. 对于方程 x ? px ? q ? 0 的两根 ? , ?
2

应用韦达定理可得 p ? ?4, q ? 3 .

19. (Ⅰ)证明:函数 f ( x) 的定义域为 R ,对于任意的 x ? R ,都有

f (? x) ? 2(? x)2 ?1 ? 2x2 ?1 ? f ( x) ,∴ f ( x) 是偶函数. (Ⅱ)证明:在区间 (??, 0] 上任取 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,则有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (2x12 ?1) ? (2x22 ?1) ? 2( x12 ? x22 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) , ∵ x1 , x2 ? (??,0] , x1 ? x2 ,∴ x1 ? x2 ? ?? x1 ? x2 ? 0, 即 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x) 在 (??, 0] 上是减函数.
(Ⅲ)解:最大值为 f (2) ? 7 ,最小值为 f (0) ? ?1 .

5

? b ?1? 0 ?a ? 0 ∵任意实数 x 均有 f ( x) ? 0 成立∴ ? 2 ?? ? b ? 4 a ? 0 解得: a ? 1 , b ? 2
20.解: (Ⅰ)∵ f (?1) ? 0 ∴a (Ⅱ)由(1)知 f ( x) ? x 2 ? 2x ? 1 ∴ g ( x) ? f ( x) ? kx ? x 2 ? (2 ? k ) x ? 1 的对称轴为 x ∵当 x ?[-2,2]时, g ( x) 是单调函数

?

k ?2 2

k ?2 k ?2 ? ?2 或 ?2 2 2 ∴实数 k 的取值范围是 (??,?2] ? [6,??) .
∴ 21.解:(Ⅰ)令 m ? n ? 1 得 f (1) ? f (1) ? f (1) 所以 f (1) ? 0

1 1 1 f (1) ? f (2 ? ) ? f (2) ? f ( ) ? ?1 ? f ( ) ? 0 2 2 2 1 所以 f ( ) ? 1 2
(Ⅱ)证明:任取 0 ? x1 ? x2 ,则

x2 ?1 x1

因为当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,所以 f (

x2 )?0 x1

所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ?

x2 x ) ? f ( x1 ) ? f ( 2 ) ? f ( x1 ) x1 x1

所以 f ( x) 在 ?0,??? 上是减函数.

6


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