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2013山东高考数学试卷及答案详解(理科)WORD版


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A)+P( B) ; 如果事件 A、B 独立,那么 P( AB) ? P( A) ? P( B) 。

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符 合题目要求的。 1、复数 z 满组 ( z ? 3)(2 ? i) ? 5 ( z 为虚数单位) ,则 z 的共轭复数 z 为 (A) 2 ? i (B) 2 ? i (C) 5 ? i (D) 5 ? i

2、已知集合 A ? ?0 ,1 , 2? ,则集合 B ? x ? y x ? A, y ? A 中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 9

?

?

2 3、已知函数 f ( x ) 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ?

1 , 则 f (?1) ? x 9 ,底面是边长为 3 的正三角形,若 P 为 4

(A) -2

(B) 0

(C) 1

(D) 2

4、已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为

底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为

(A)

5? 12

(B)

? 3

(C)

? 4

(D)

? 6

5、将函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的图象沿 x 轴向左平移 可能取值为 (A)

? 个单位后,得到一个偶函数的图象,则 ? 的一个 8

3? 4

(B)

? 4

(C) 0

(D) ?

? 4

? 2 x ? y ? 2 ? 0, ? 6、在平面直角坐标系 xOy 中, M 为不等式组 ? x ? 2 y ? 1 ? 0, 所表示的区域上一动点,则直线 OM ?3 x ? y ? 8 ? 0 ?
的斜率的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C)

?

7、给定两个命题 p , q. 若 ? p 是 q 的必要不充分条件,则 p 是 ? q 的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件

1 3

(D) ?

1 2

(C) 充要条件

(D) 既不充分也不必要条件

8、函数 y ? x cos x ? sin x 的图象大致为
y
y

y

y

?
O

x

?
O

x

?
O

x

?
O

x

(A)
2 2

(B)

(C)

(D)

9、过点 (3,1) 作圆 ( x ?1) ? y ? 1 的两条切线,切点分别为 A, B ,则直线 AB 的方程为 (A) (C)

2x ? y ? 3 ? 0 4x ? y ? 3 ? 0

(B)

2x ? y ? 3 ? 0

(D) 4 x ? y ? 3 ? 0

10、用 0,1,?,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 (A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 279 11、 抛物线 C1 : y ?

x2 1 2 x ( p ? 0) 的焦点与双曲线 C2 : ? y 2 ? 1 的右焦点的连线交 C1 于第一象限的 3 2p

点 M . 若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p ?

(A)

3 16

(B)

3 8

(C)

2 3 3

(D)

4 3 3

12、设正实数 x, y, z 满足 x2 ? 3xy ? 4 y 2 ? z ? 0. 则当

xy 2 1 2 取得最大值时, ? ? 的最大值为 z x y z

(A) 0

(B) 1

(C)

9 4

(D) 3

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13、执行右图所示的程序框图,若输入 c 的值为 0.25, 则输出的 n 的值为 _______. 14、在区间[-3,3]上随机取一个数 x , 使得 x ?1 ? x ? 2 ? 1 成立的概率为______. 15、已知向量 AB 与 AC 的夹角为 120 ,
0

开 始

输入 ? (?

? 0)

F0 ? 1, F1 ? 2, n ? 1

F1 ? F0 ? F1
F0 ? F1 ? F0
n ? n ?1

且 AB ? 3, AC ? 2. 若 AP ? ? AB ? AC , 且 AP ? BC ,则实数 ? 的值为____________. 16、定义“正对数” : ln ? x ? ?

?0, ?ln x,

0 ? x ? 1, 现有四个命题: x ? 1.

①若 a ? 0, b ? 0 ,则 ln ? (ab ) ? b ln ? a ; ②若 a ? 0, b ? 0 ,则 ln ? (ab) ? ln ? a ? ln ? b ; ③若 a ? 0, b ? 0 ,则 ln ( ) ? ln a ? ln b ; ④若 a ? 0, b ? 0 ,则 ln ? (a ? b) ? ln ? a ? ln ? b ? ln 2 . 其中的真命题有__________.(写出所有真命题的编号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17、 (本小题满分 12 分) 设 ?ABC 的内角 A, B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且 a ? c ? 6 , b ? 2 , cos B ? (Ⅰ)求 a , c 的值; (Ⅱ)求 sin( A ? B) 的值. 18、 (本小题满分 12 分) 如图所示,在三棱锥 P ? ABQ 中, PB ? 平面ABQ ,
E P
?

a b

?

?

7 .. 9

F H G B C D Q

BA ? BP ? BQ , D , C , E , F 分别是 AQ , BQ, AP , BP
的中点, AQ ? 2 BD , PD 与 EQ 交于点 G ,
A

PC 与 FQ 交于点 H ,连接 GH .
(Ⅰ)求证: AB // GH ; (Ⅱ)求二面角 D ? GH ? E 的余弦值。 19、 (本小题满分 12 分) 甲、乙两支球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利,比赛随即结束。除第五局甲队获胜 的概率是

1 2 外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是 。假设各局比赛结果相互独立。 2 3

(Ⅰ)分别求甲队以 3:0,3:1,3:2 胜利的概率; (Ⅱ)若比赛结果为 3:0 或 3:1,则胜利方得 3 分、对方得 0 分;若比赛结果为 3:2,则胜利 方得 2 分、对方得 1 分。求乙队得分 X 的分布列和数学期望。

20、 (本小题满分 12 分) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S4 ? 4S2 , a2n ? 2an ? 1. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 数列 {cn } 的前 n 项和 Rn 。 21、 (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x ) ?

an ? 1 ? ? ( ? 为常数) 。令 cn ? 2b2n ,(n ? N*) ,求 2n

x ? c ( e ? 2.71828… 是自然对数的底数, c ? R ) e2 x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间、最大值; (Ⅱ)讨论关于 x 的方程 ln x ? f ( x) 根的个数。

22、 (本小题满分 13 分) 椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,离心率为 ,过 F 1 且垂直于 x 轴 2 a b 2

的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

PM 交 C (Ⅱ) 点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点, 连接 PF1 , PF2 。 设 ?F 1PF 2 的角平分线
的长轴于点 M (m, 0) ,求 m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点 P 作斜率为 k 的直线 l ,使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点。 设直线 PF1 , PF2 的斜率分别为 k1 , k2 ,若 k ? 0 ,试证明 值.

1 1 为定值,并求出这个定 ? kk1 kk2

理科数学试题参考答案
一、选择题 DCABB 二、填空题 3 CADAB DB

1 3

7 12

①③④

三、解答题 17、 (Ⅰ)由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,
2 2 2

得 b2 ? (a ? c)2 ? 2ac(1 ? cos B) , 又 b ? 2, a ? c ? 6, cos B ? 所以 ac ? 9 , 解得 a ? 3, c ? 3 .

7 , 9

2 (Ⅱ)在 ?ABC 中, sin B ? 1 ? cos B ?

4 2 , 9

由正弦定理得 sin A ?

a sin B 2 2 , ? b 3
1 , 3

因为 a ? c , 所以 A 为锐角. 所以 cos A ? 1 ? sin A ?
2

因此 sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

10 2 27

18、 (Ⅰ)证明:因为 D, C , E , F 分别是 AQ, BQ, AP, BP 的中点, 所以 EF // AB, DC // AB , 所以 EF // DC , 又 EF ? 平面PCD, DC ? 平面PCD , 所以 EF // 平面PCD , 又 EF ? 平面EFQ, 平面EFQ 所以 EF // GH , 又 EF // AB , 所以 AB // GH . (Ⅱ)解法一:在 ?ABQ 中, AQ ? 2BD, AD ? DQ 所以 ?ABQ=90 ,即 AB ? BQ ,
0

平面PCD=GH ,

P

E

F H G B C D Q

因为 PB ? 平面ABQ , 所以 AB ? PB ,

A

又 BP

BQ ? B ,

所以 AB ? 平面PBQ . 由(Ⅰ)知 AB // GH , 所以 GH ? 平面PBQ 又

F H ? 平面 P B , Q

所以 GH ? FH , 同理可得 GH ? HC 所以 ?FHC 为二面角 D ? GH ? E 的平面角. 设 BA ? BQ ? BP ? 2 ,连接 FC , 在 Rt ?FBC 中,由勾股定理得 FC ? 2 , 在 Rt ?PBC 中,由勾股定理得 PC ? 5 . 又 H 为 ?PBQ 的重心,

所以 HC ?

1 5 , PC ? 3 3 5 . 3

同理 FH ?

5 5 ? ?2 4 在 ?FHC 中,由余弦定理得 cos ?FHC ? 9 9 ?? , 5 5 2? 9 4 即二面角 D ? GH ? E 的余弦值为 ? . 5

z
解法二:在 ?ABQ 中, AQ ? 2BD, AD ? DQ , 所以 ?ABQ ? 90 .
0

P

又 PB ? 平面ABQ , 所以 BA, BQ, BP 两两垂直. 以 B 为坐标原点,分别以 BA, BQ, BP 所在直线为

F E H G B C A D Q

x 轴, y 轴, z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

x

y

设 BA ? BQ ? BP ? 2 , 则 E (1,0,1), F (0,0,1), Q(0, 2,0), D(1,1,0), C (0,1,0), P(0,0, 2) , 所以 EQ ? (?1, 2, ?1), FQ ? (0, 2, ?1), DP ? (?1, ?1, 2), CP ? (0, ?1, 2) 设平面 EFQ 的一个法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) , 由 m ? EQ ? 0, m ? FQ ? 0 , 得 ?

? ? x1 ? 2 y1 ? z1 ? 0, ? 2 y1 ? z1 ? 0,

取 y1 ? 1 ,得 m ? (0,1, 2) . 设平面 PDC 的一个法向量为 n ? ( x2 , y2 , z2 ) , 由 n ? DP ? 0, n ? CP ? 0 , 得 ?

? ? x2 ? y2 ? 2 z2 ? 0, ? ? y2 ? z2 ? 0,

取 z2 ? 1 ,得 n ? (0, 2,1) . 所以 cos ? m, n ??

m?n m n

?

4 , 5
4 . 5

因为 二面角 D ? GH ? E 为钝角, 所以 二面角 D ? GH ? E 的余弦值为 ?

19、 (Ⅰ)记“甲队以 3:0 胜利”为事件 A “甲队以 3:1 胜利”为事件 A2 , “甲队以 3:2 胜利”为 1, 事件 A3 , 由题意,各局比赛结果相互独立, 故 P( A1 ) ? ( ) ?
3

2 3

8 , 27

2 2 2 8 P( A2 ) ? C32 ( ) 2 (1 ? ) ? ? , 3 3 3 27 2 1 4 2 2 2 P( A3 ) ? C4 ( ) (1 ? ) 2 ? ? . 3 3 2 27

所以,甲队以 3:0 胜利、以 3:1 胜利的概率都为 (Ⅱ)记“乙队以 3:2 胜利”为事件 A4 , 由题意,各局比赛结果相互独立, 所以 P ( A4 ) ? C4 (1 ? ) ( ) ? (1 ? ) ?
2 2 2

8 4 ,以 3:2 胜利的概率为 . 27 27

2 3

2 3

1 2

4 , 27 16 , 27

由题意,随机变量 X 的所有可能的取值为 0,1,2,3,

P( X ? 0) ? P( A1 ? A2 ) ? P( A1 ) ? P( A2) ?


4 , 27 4 P( X ? 2) ? P( A4) ? 27 P( X ? 1 ) ?P A (3) ? P( X ? 3) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? P( X ? 2) ? 3 27
3

所以 X 的分布列为

X

0

1

2

P
因此 EX ? 0 ?

16 27

4 27

4 27

3 27

16 4 4 3 7 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 27 27 27 27 9

20、 (Ⅰ)设等差数列 {an } 的首项为 a1 ,公差为 d . 由 S4 ? 4S2 , a2n ? 2an ? 1. 得

?4a1 ? 6d ? 8a1 ? 4d , ? ?a1 ? (2n ? 1)d ? 2a1 ? 2(n ? 1)d ? 1.
解得 a1 ? 1 , d ? 2. 因此 an ? 2n ?1, n ? N * .

(Ⅱ)由题意知: Tn ? ? ?

n , 2n ?1

所以 n ? 2 时, bn ? Tn ? Tn ?1 ? 故 cn ? b2 n ? 所以

2n ? 2 1 ? (n ? 1)( ) n ?1 , n ? N * , 2 n ?1 2 4 1 0 1 1 1 1 1? 1 Rn ? 0 ? ( ) ? 1? ( ) ? 2? (2 ) ? 3 ? 3(… )? n ? ( ? n1 ? ), ( ) 4 4 4 4 4

n n ?1 n ? 2 ? n ? 2 ? n ?1 n ?1 2 2 2



1 1 1 1 1 1 Rn ? 0 ? ( )1 ? 1? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? … ? ( n ? 2) ? ( ) n ?1 ? ( n ? 1) ? ( ) n , 4 4 4 4 4 4

两式相减得

3 1 1 1 1 1 Rn ? ( )1 ? ( ) 2 ? ( )3 ? … ? ( ) n ?1 ? ( n ? 1) ? ( ) n 4 4 4 4 4 4 1 1 n ?( ) 1 ? 4 4 ? (n ? 1) ? ( ) n 1 4 1? 4 1 1 ? 3n 1 n ? ? ( ) 3 3 4 1 3n ? 1 整理得 Rn ? (4 ? n ?1 ) 9 4 1 3n ? 1 所以 数列 {cn } 的前 n 项和 Rn ? (4 ? n ?1 ) 9 4
21、解: (Ⅰ) f '( x) ? (1 ? 2 x)e?2 x , 由 f '( x) ? 0 ,解得 x ? 当 x?

1 , 2

1 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增; 2 1 当 x ? 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减. 2 1 1 所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ??, ) ,单调递减区间是 ( , ?? ) , 2 2 1 1 ?1 最大值为 f ( ) ? e ? c . 2 2
(Ⅱ)令 g ( x) ? ln x ? f ( x) ? ln x ? xe
?2 x

? c , x ? (0, ??) .

?2 x (1) 当 x ? (1, ??) 时, ln x ? 0 ,则 g ( x) ? ln x ? xe ? c ,

所以 g '( x) ? e

?2 x

(

e2 x ? 2 x ? 1) . x

因为 2 x ? 1 ? 0 , 所以 g '( x) ? 0 因此

e2 x ? 0, x

g ( x) 在 (1, ??) 上单调递增.

?2 x (2)当 x ? (0,1) 时, ln x ? 0 ,则 g ( x) ? ? ln x ? xe ? c ,

所以 g '( x) ? e

?2 x

(?

e2 x ? 2 x ? 1) . x

因为 e2 x ? (1, e2 ), e2 x ? 1 ? x ? 0 , 所以 ?

e2 x ? ?1 . x

又 2 x ?1 ? 1,

e2 x ? 2 x ? 1 ? 0 ,即 g '( x) ? 0 , 所以 ? x
因此

g ( x) 在 (0,1) 上单调递减.

综合(1) (2)可知 当 x ? (0, ??) 时, g ( x) ? g (1) ? ?e?2 ? c . 当 g (1) ? ?e?2 ? c ? 0 ,即 c ? ?e 时, g ( x) 没有零点, 故关于 x 的方程 ln x ? f ( x) 的根的个数为 0; 当 g (1) ? ?e?2 ? c ? 0 ,即 c ? ?e 时, g ( x) 只有一个零点, 故关于 x 的方程 ln x ? f ( x) 的根的个数为 1; 当 g (1) ? ?e ? c ? 0 ,即 c ? ?e 时, ① 当 x ? (1, ??) 时,由(Ⅰ)知
?2
?2 ?2 ?2

1 g ( x) ? ln x ? xe?2 x ? c ? ln x ? ( e ?1 ? c) ? ln x ? 1 ? c , 2
要使 g ( x) ? 0 ,只需使 ln x ? 1 ? c ? 0 ,即 ② 当 x ? (0,1) 时,由(Ⅰ)知 ; x ? (e1?c , ? ?)

1 g ( x) ? ? ln x ? xe ?2 x ? c ? ? ln x ? ( e ?1 ? c) ? ? ln x ? 1 ? c , 2
要使 g ( x) ? 0 ,只需使 ? ln x ? 1 ? c ? 0 ,即 所以 c ? e 时, g ( x) 有两个零点, 故关于 x 的方程 ln x ? f ( x) 的根的个数为 2. 综上所述, 当 c ? ?e 时,关于 x 的方程 ln x ? f ( x) 的根的个数为 0;
?2 ?2

x ?( 0e , ?1?c ; )

当 c ? ?e 时,关于 x 的方程 ln x ? f ( x) 的根的个数为 1; 当 c ? ?e 时,关于 x 的方程 ln x ? f ( x) 的根的个数为 2.
?2

?2

22、解:(Ⅰ)由于 c ? a ? b ,将 x ? ?c 代入椭圆方程
2 2 2

b2 x2 y 2 y ? ? ,得 , ? ? 1 a a 2 b2

2b2 ? 1 ,即 a ? 2b2 . 由题意知 a
又e ?

c 3 ,所以 a ? 2 , b ? 1 . ? a 2
椭圆 C 的方程为

所以

x2 ? y2 ? 1 4

(Ⅱ)解法一: 设 P( x0 , y 0 ) ( y 0 ? 0) . 又 F 1 (? 3,0), F 2 ( 3,0) , 所以直线 PF 1 , PF 2 的方程分别为:

lPF1 : y0 x ? ( x 0 ? 3) y ? 3 y0 ? 0, l PF2 : y0 x ? ( x 0 ? 3) y ? 3 y0 ? 0.
由题意知

my0 ? 3 y0 y0 ? ( x 0 ? 3)
2 2

?

my0 ? 3 y0 y0 ? ( x 0 ? 3)
2 2



由于点 P 在椭圆上, 所以

x0 2 ? y0 2 ? 1 4

所以

m? 3 ( 3 x 0 ?2)2 2

? (

m? 3 3 x 0 ?2)2 2

因为 ? 3 ? m ? 3 , ? 2 ? x0 ? 2 , 可得

m? 3 3?m . ? 3 3 x 0 ?2 2 ? x0 2 2

所以 m ? 因此 ?

3 x0 . 4

3 3 ?m? . 2 2

解法二: 设 P( x0 , y 0 ) , 当 0 ? x0 ? 2 时, ① 当 x0 ? 3 时,直线 PF2 的斜率不存在,易知 P ( 3, ) 或 P ( 3, ? ) . 若 P ( 3, ) ,则直线 PF1 的方程为 x ? 4 3 y ? 3 ? 0 .

1 2

1 2

1 2

由题意得

m? 3 7

? 3?m ,

因为 ? 3 ? m ? 3 , 所以 m ?

3 3 . 4
1 2

若 P ( 3, ? ) ,同理可得 m ? ② 当 x0 ? 3 时, 设直线 PF1 , PF2 的方程分别为 由题意知

3 3 . 4

y ? k1 ( x ? 3) , y ? k2 ( x ? 3) ,


mk1 ? 3k1 1 ? k12

?

mk2 ? 3k2 1 ? k2 2

所以

1 1? 2 (m ? 3) 2 k1 , ? 2 (m ? 3) 1 ? 1 k 22
x0 2 ? y0 2 ? 1 4

因为

并且

k1 ?

y0 x0 ? 3

, k2 ?

y0 x0 ? 3



所以

(m ? 3)2 4( x0 ? 3)2 ? 4 ? x0 2 3x0 2 ? 8 3x0 ? 16 (3x0 ? 4)2 ? ? ? 2 (m ? 3)2 4( x0 ? 3)2 ? 4 ? x0 2 3x0 2 ? 8 3x0 ? 16 (3x0 ? 4)





m? 3 ? m? 3

3 x0 ? 4 . 3x0 ? 4

因为

? 3 ? m ? 3 , 0 ? x0 ? 2 且 x0 ? 3
x0 3+m 4 + 3 = . 3-m 4 ? 3 x0

所以

整理得

m?

3 x0 , 4



0?m?

3 3 3 . 且 m? 2 4
0?m? 3 . 2 ?

综合①②可得

3 ?m ? 0. 2 3 3 综上所述, m 的取值范围是 ( ? , ) . 2 2
当 -2 ? x0 ? 0 时,同理可得 (Ⅲ)设 P( x0 , y 0 ) ( y0 ? 0) ,则直线 l 的方程为 y ? y 0 ? k ( x ? x0 ) ,

联立

? x2 2 ? +y =1 ?4 ? y ? y ? k(x ? x ) 0 0 ?

整理得 由题意 即

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 8(ky0 ? k 2 x0 ) x ? 4( y02 ? 2kx0 y0 ? k 2 x02 ?1) ? 0
? ? 0,

2 ( 4? x02 ) k2 ? 2 x ? 1? 0 y ? 0 0 y 0 k



x0 2 ? y0 2 ? 1 4

所以

1 6y02 k 2? 8x k 0 y 0 ?
k? x0 , 4 y0

2 0

x? 0



由(Ⅱ)知

1 1 x0 ? 3 x 0? ? ? ? k1 k 2 y 0 y

3
0

?

2 x 0 , y 0

所以

4 y 2x 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ? (? 0 ) 0 ? ?8 , kk1 kk2 k k1 k2 x0 y0

因此

1 1 为定值,这个定值为 ?8 . ? kk1 kk2


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