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高中数学垂直空间向量


即墨实验高中高三数学(理)一轮复习 课前自主学案
空间向量的应用
编写人:由卫娟

编号 40
时间:2012-11-28

平面的法向量可利用方程组 求解, 设 a, b是平面α 内两个 与平面 _____ 的任何一个向量都可作 不共线的向量, 为平面α 的 平面的 为平面的法向量.平面的法向量 法向量, 则

求法向量的方程组 法向量 显然一个平面的法向量也不唯 为 ?n? a?0 一. . ?

审核人:兰孝东

b?0 ?n?

【课前复习导读】
考试要求 1.理解直线的方向向量与平面的法向量; 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行 关系; 3. 能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理); 4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计 算问题.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
二、重点、难点:能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面

2.空间位置关系的向量表示 位置关系 直线 l1,l2 的方向向量分 l1∥l2 别为 1 2 向量表示

n ,n

l1⊥l2
直线 l 的方向向量为 平面α 的法向量为

与平面的夹角的计算问题.

n, m l∥α
l⊥α

三、自主学习检测 基础知识梳理
一、空间向量及其有关概念

平面α ,β 的法向量分 别为 1 2

n ,n

α ∥β α ⊥β

基础自测

直线 的方 向向 量

定义 确定 如果表示非零向量 的有向线段所 在直线上任取两点,这两点 在直线与直线 l 或 确定的向量即可为直线的方 ,则称此向量 为直线 l 向向量

a

3.空间角的向量求法 (1)异面直线所成角的求法

的方向向量

a

设 a、b 分别是两异面直线 l1,l2 的方向向量

如图,设 AB 为平面α 的一条斜线段, 为平面α 的法向量,则 点 B 到平面α 的距离 d=_______.

l1 与 l2 所成的角θ
范围 求法 (2)直线和平面所成角的求法 如图所示,设直线 l 的方向向量为 ,平面α 的法向量为 , 直线 l 与平面α 所成的角为φ ,两向量 与 的夹角为θ ,则有 sinφ =|cosθ |= .

【自主导学】

e

n

(3)二面角的求法 ①如图 a,AB、CD 是二面角α -l-β 的两个半平面内与棱 l 垂直的直线, 则二面角的大小θ =________.

利用空间向量证平行、垂直 【例 1】(1)若直线 l 的方向向量为 ,平面α 的法向量为 , 能使 l∥α 的是( ) (A) =(1,0,0), =(-2,0,0) (B) =(1,3,5), =(1,0,1) (C) =(0,2,1), =(-1,0,-1) (D) =(1,-1,3), =(0,3,1) (2)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PC⊥平面 ABCD,PC=2,在四边形 ABCD 中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点 M 在 PB 上,PB=4PM,PB 与平面 ABCD 成 30°的角. ①求证:CM∥平面 PAD; ②求证:平面 PAB⊥平面 PAD.

【即时应用】 (1)已知向量 分别是直线 l 和平面α 的方向向量和法向量, 若cos ? m, n ?? ? 1 则 l 与α 所成角的大小为_______.

2

(2)长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AA1=2,AD=1,E 为 CC1 的中 点,则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为_______

4.点到平面的距离的向量求法

1.用向量证平行的方法 (1)线线平行:证明两直线的方向向量共线.(2)线面平行:①证明该直线的方向向量与平面的某

一法向量垂直;②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行. (3)面面平行:①证明两平面的法向量为共线向量;②转化为线面平行、线线平行问题. 2.用向量证明垂直的方法 (1)线线垂直:证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零. (2)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表 示. (3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示.

用空间向量解决探索性问题

【例 3】如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,PO⊥平面 ABC,垂 足 O 落在线段 AD 上,已知 BC=8,PO=4,AO=3,OD=2. (1)证明:AP⊥BC; (2)在线段 AP 上是否存在点 M, 使得二面角 A-MC-B 为直二面角? 若存在,求出 AM 的长;若不存在, 请说明理由.

用空间向量求空间角
【例 2】(2012·天津模拟)如图,在五面体 ABCDEF 中,FA⊥平 面 ABCD, AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M 为 EC 的中点, AF=AB=BC=FE= AD.(1)求异面直线 BF 与 DE 所成角的大小;

(2)证明:平面 AMD⊥平面 CDE;(3)求二面角 A-CD-E 的余弦值.



即墨实验高中高三数学(理)一轮复习 课堂探究导练案
空间向量的应用
编写人:由卫娟

编号 40
时间:2012-11-28

审核人:兰孝东

【变式训练 3】
】(2012·厦门模拟)如图所示,矩形 ABCD 的边 AB=a, 3 ;②a=1; BC=2,PA⊥平面 ABCD,PA=2,现有数据:①a= 2 ③a= ; ④a=2;⑤a=4.

【变式训练 1】
如 图 , 已 知 直 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 中 , △ ABC 为 等 腰 直 角 三 角 形 , ∠ BAC=90 ° , 且 AB=AA1,D、E、F 分别为 B1A、C1C、BC 的中点.求证: (1)DE∥平面 ABC; (2)B1F⊥平面 AEF.

3

(1)当在 BC 边上存在点 Q,使 PQ⊥QD 时,a 可能取所给数据中的哪些值?请说明理由; (2)在满足(1)的条件下,a 取所给数据中的最大值时,求直线 PQ 与平面 ADP 所成角的正切值; (3)记满足(1)的条件下的 Q 点为 Qn(n=1,2,3,…),若 a 取所给数据的最小值时,这样的点 Qn 有几个?试求二面角 Qn-PA-Qn+1 的大小.

【变式训练 2、 】如图,在四面体 ABCD 中,平面 ABC⊥平面 ACD,AB⊥BC,AD=CD,
∠CAD=30°. (1)若 AD=2,AB=2BC,求四面体 ABCD 的体积; (2)若二面角 C-AB-D 为 60°,求异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值.

【课后巩固导练】

6.如图,矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,沿对角线 BD 将 △ABD 折起,使 A 点在平面 BCD 内的射影 O 落在 BC 边 上,若二面角 C-AB-D 的大小为θ ,则 sinθ 的值等于( (A) )
3 4

1.已知直线 l1 的方向向量是 a =(2,4,x), 直线 l2 的方向向量是 b =(2, y,2), 若|a|=6,且 a·b =0,则 x+y 的值是( (A)-3 或 1 (B)3 或-1 (C)-3 (D)1 )

)

(B)

2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,若 E 为 A1C1 中点,则直线 CE 垂直于( (A)AC (B)BD (C)A1D (D)A1A

7 4

(C)

3 7 7

(D)

4 5

三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.(2012·潍坊模拟)如图,在七面体 ABCDMN 中,四边 3.(易错题)如图,正方形 ACDE 与等腰直角三角形 ACB 所 形 ABCD 是边长为 2 的正方形,MD⊥平面 ABCD,NB⊥平面 在的平面互相垂直,且 AC=BC=2,∠ACB=90°,F、G 分 ABCD,且 MD=2,NB=1,MB 与 ND 交于 P 点. 别是线段 AE、BC 的中点,则 AD 与 GF 所成的角的余弦值 (1)在棱 AB 上找一点 Q,使 QP∥平面 AMD,并给出证明; 为( )(A)
3 6 3 6 3 3 3 3

(B) ?

(C)

(D) ?

(2)求平面 BNC 与平面 MNC 所成锐二面角的余弦值.

4.(2012·金华模拟)正三棱柱 ABC—A1B1C1 的棱长都为 2, E,F,G 为 AB,AA1,A1C1 的中点,则 B1F 与平面 GEF 所 成角的正弦值为( (C)
3 3 10

)(A)
3 6 10

3 5

(B)

5 6

(D)

5.(2012·晋城模拟)如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 a,M,N 分别为 A1B 和 AC 上的点,A1M=AN= 则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是( (A)相交 (C)垂直 (B)平行 (D)不能确定 )
2a , 3

11.(预测题)已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, 且 AD=2,AB=1,PA⊥平面 ABCD,E、F 分别是线 段 AB、BC 的中点. (1)证明:PF⊥FD; (2)判断并说明 PA 上是否存在点 G,使得 EG∥平 面 PFD; (3)若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45°,求二面角 A-PD-F 的平面角的余弦 值.

12、如图,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=a,△PAD 为等边三角形,又平面 PAD ⊥平面 ABCD. (1)若在边 BC 上存在一点 Q,使 PQ⊥QD,求 a 的取值范围; (2)当边 BC 上存在唯一点 Q,使 PQ⊥QD 时,求二面角 A-PD-Q 的余弦值.


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