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2014届高考数学(理)一轮复习专题集训:函数的单调性与最值


函数的单调性与最值
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) -3 1.关于函数 y= 的单调性的叙述正确的是( x )

(A)在(-∞,0)上是递增的,在(0,+∞)上是递减的 (B)在(-∞,0)∪(0,+∞)上递增 (C)在[0,+∞)上递增 (D)在(-∞,0)和(0,+∞)上都是递增的 2.函数 f(x)=2x -mx+2 当 x∈[-

2,+∞)时是增函数,则 m 的取值范围是 ( (A)(-∞,+∞) (C)(-∞,-8] (B)[8,+∞) (D)(-∞,8]
2 2

)

? ?2x -8ax+3(x<1) 3.(2012·烟台模拟)函数 f(x)=? ?logax(x≥1) ?

在 x∈R 内单调递减,则 a 的范围是

(

) 1 5 (B)[ , ] 2 8 5 (D)[ ,1) 8
x

1 (A)(0, ] 2 1 (C)[ ,1) 2

4.(2012·济南模拟)已知 a 是函数 f(x)=2 - log 1 x 的零点,若 0<x0<a,则 f(x0)的值满足
2

(

) (B)f(x0)>0 (D)f(x0)的符号不能确定

(A)f(x0)=0 (C)f(x0)<0

5.(预测题)已知 f(x)为定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且 f(x)在[0,+∞)上为增函数, 则 f(-2),f(-π ),f(3)的大小顺序是( (A)f(-π )<f(3)<f(-2) (B)f(-π )<f(-2)<f(3) (C)f(-2)<f(3)<f(-π ) (D)f(3)<f(-2)<f(-π ) 6.(2012·威海模拟)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且当 x≥0 时, f(x)单调递减, 若 x1+x2>0, 则 f(x1)+f(x2)的值( ) )

(A)恒为负值 (C)恒为正值

(B)恒等于零 (D)无法确定正负

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) x- a 7.(2012·锦州模拟)已知函数 f(x)= , g(x)=a, 若对任意 x∈(0, +∞)都有 f(x)≤g(x) x 成立,则实数 a 的取值范围是 . .

1 2 3 8.若函数 f(x)= x -x+ 的定义域和值域都是[1,b](b>1),则 b 的值是 2 2
?x +4x (x≥0) ? 9.(2012·天津模拟)已知函数 f(x)=? 2 ? ?4x-x (x<0)
2 2

,若 f(2-a )>f(a),则实数 a 的取

值范围是

.

三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) |x| 10.(易错题)已知函数 f(x)= , x+2 (1)判断函数 f(x)在区间(0,+∞)上的单调性并加以证明; (2)求函数 f(x)的值域. 1 2 11.函数 f(x)=x +x- . 4 (1)若定义域为[0,3],求 f(x)的值域; 1 1 (2)若 f(x)的值域为[- , ],且定义域为[a,b],求 b-a 的最大值. 2 16 【探究创新】 (16 分)定义:已知函数 f(x)在[m,n](m<n)上的最小值为 t,若 t≤m 恒成立,则称函数 f(x) 在[m,n](m<n)上具有“DK”性质. (1)判断函数 f(x)=x -2x+2 在[1,2]上是否具有“DK”性质,说明理由. (2)若 f(x)=x -ax+2 在[a,a+1]上具有“DK”性质,求 a 的取值范围.
2 2

答案解析 1 1.【解析】选 D.由于函数 y= 在(-∞,0)和(0,+∞)上是递减的,且-3<0,因此函数 y x = -3 在(-∞,0)和(0,+∞)上都是递增的,这里特别注意两区间之间只能用“和”或“, ” , x

一定不能用“∪”.

m 2.【解析】选 C.由已知得 ≤-2,解得:m≤-8. 4 2a≥1 ? ? 3.【解析】选 B.由题意知?0<a<1 ? ?2×12-8a+3≥loga1 1 5 解得 ≤a≤ . 2 8

4.【解析】选 C.由指数函数、对数函数的单调性可知函数 f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数,又 a 是 f(x)的零点,∴f(a)=0,又 0<x0<a,∴f(x0)<0,故选 C. 5.【解析】选 C.由已知 f(-π )=f(π ),f(-2)=f(2), 又 f(x)在[0,+∞)上递增,则 f(π )>f(3)>f(2), 即 f(-π )>f(3)>f(-2). 【方法技巧】比较函数值大小常用的方法 (1)利用函数的单调性,但需将待比较函数值调节到同一个单调区间上. (2)利用数形结合法比较. (3)对于选择、填空题可用排除法、特值法等比较. 6.【解析】选 A.因 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)单调递减, 所以 f(x)是 R 上的减函数, 又 x1+x2>0,∴x1>-x2, ∴f(x1)<f(-x2)=-f(x2), ∴f(x1)+f(x2)<0,故选 A. a 7.【解析】当 a>0 时,f (x)=1- <1,则 a≥1, x a 当 a<0 时,f(x)=1- >1,不满足题意.故 a≥1. x 答案:[1,+∞) 1 2 8.【解析】f(x)= (x-1) +1 在[1,b]上单调递增, 2 ∴f(b)=b,∴b=3. 答案:3
? ?x +4x=(x+2) -4,x≥0 9.【解析】f(x)=? 2 2 ?4x-x =-(x-2) +4,x<0 ?
2 2



由 f(x)的解析式可知,f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数, 所以再由 f(2-a )>f(a)得 2-a >a, 即 a +a-2<0,解得-2<a<1.
2 2 2

[Z§X§X§K]

答案:-2<a<1 |x| x+2-2 10.【解析】(1)当 x>0 时,f(x)= = x+2 x+2 2 =1- . x+2 2 2 2(x1-x2) 设 0<x1<x2,f(x1)-f(x2)=(1- )-(1- )= , x1+2 x2+2 (x1+2)(x2+2) 由 0<x1<x2 可得 f(x1)-f (x2)<0, 即 f(x1)<f(x2), 因此 f(x)在(0,+∞)上递增. 2 1- ? ? x +2 (2)f(x)=? 2 -1+ ? ? x+2 x≥0 . x<0且x≠-2

2 可以证明 f(x)在(-∞, -2)上递减, 且 f(x)在(-2,0)上递减, 由反比例函数 y= 通过平移、 x 对称变换得 f(x)的图象如图所示,因此 f(x)的值域为:(-∞,-1)∪[0,+∞).

1 2 1 11.【解析】∵f(x)=(x+ ) - , 2 2 1 ∴对称轴为 x=- . 2 1 (1)∵3≥x≥0>- , 2 1 47 ∴f(x)的值域为[f(0),f(3)],即[- , ]; 4 4 1 1 (2)∵x=- 时,f(x)=- 是 f(x)的最小值, 2 2 1 1 1 2 ∴x=- ∈[a,b],令 x +x- = , 2 4 16

5 1 得 x1=- ,x2= , 4 4 1 5 3 根据 f(x)的图象知 b-a 的最大值是 -(- )= . 4 4 2

【探究创新】 【解析】 (1)∵f(x)=x -2x+2,x∈[1,2], ∴f(x)min=1≤1, ∴函数 f(x)在[1,2]上具有“DK”性质. a 2 (2)f(x)=x -ax+2,x∈[a,a+1],其对称轴为 x= . 2 a 2 2 ①当 ≤a,即 a≥0 时,函数 f(x)min=f(a)=a -a +2=2. 2 若函数 f(x)具有“DK”性质,则有 2≤a 总成立,即 a≥2. a ②当 a< <a+1, 2 a a 即-2<a<0 时,f(x)min=f( )=- +2. 2 4 a 若函数 f(x)具有“DK”性质,则有- +2≤a 总成立,解得 a∈ ? . 4 a ③当 ≥a+1,即 a≤-2 时,函数 f(x)的最小值为 f(a+1)=a+3. 2 若函数 f(x)具有“DK”性质,则有 a+3≤a,解得 a∈ ? . 综上所述,若 f(x)在[a,a+1]上具有“DK”性质,则 a 的取值范围为[2,+∞).
2 2 2


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