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§3.1.1方程的根与函数的零点


§3.1.1 方程的根与函数的零点 一、教学目标 (1)理解函数(结合二次函数)零点的概念,领会函数零点与相应方程之间的关系, (2)掌握零点存在的判定条件及判定方法的简单应用. (3)在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值. 二、教学重点 (1)使学生体会函数的零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识。 (2)函数零点存在性的判定 三、教学难点 (

1)理解函数零点与方程的根之间的联系; (2)探究发现函数存在零点的判定方法; 【教学方法】 采用以学生活动为主,自主探究,师生互动的教学方法。 四、教学过程 1、提出问题、分析问题 请观察下图, 这是桐庐气象局测得桐庐特殊一天的一张气温变化模拟函数图 (即一个连续不 间断的函数图象) , 由于图象中有一段被墨水污染了, 现在我想了解一下当天 7 时到 11 时之 间有无可能出现温度是 0 摄氏度,你能帮助他吗?

上述实际问题的解决依赖于函数图象与轴是否有交点的问题, 即若知道函数解析式令转化为 解方程的问题.回顾所学知识,即一元二次方程与二次函数的问题. 设计说明:创设情境,激发同学们的学习兴趣,自然引入新课 问题 1:一元二次方程的根的存在性是如何判断的? 请同学们作函数的图象。 设计说明:通过图象初步建立方程的根与函数交点间的联系。 我们把使函数的值等于零的实数(;)叫做函数的零点. 问题 2:函数的零点是什么?函数的零点又是什么? 引导探究:推广一般的一元二次方程与相应的二次函数 设计说明:由特殊到一般,符合学生的认知规律。

的关系?

2、初步探究、形成概念 函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点. (教师提问:方程与函数 的零点有何关系?) 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 设计说明: 教师趁热打铁组织学生加强对定义的理解, 并回顾总结函数零点的探索过程和体 验加深对函数零点的认识和理解,教师继续引导学生探究,使认真理解函数零点的意义 3、简单应用、探索新知 (Ⅰ)利用二次函数的图象,回答下列问题?

①函数有零点吗?有几个? ②观察下面函数的图象,问有零点吗?有几个? 思考:函数零点所对应的函数值为零,那零点附近的函数值呢? 问题 3:由以上两步探索,你又可以得出什么样的结论? 归纳总结:函数的零点存在性的结论 如果函数在区间,上的图像是连续不断的一条曲线,并且满足· ,那么函数在区间,内有零 点,即存在, ,使得,这个也就是方程的根。 延伸: 这样得到方程在区间内必有根, 由此只能判断根的存在, 但不能判定有多少个实数根, 也不能得出根的值。 4、解决问题,强化概念 ①解决引例中的问题 ②问题 4:函数在区间内有零点· 对吗? 5、组织探究,典例训练 ①已知函数的图象是连续不断的,有如下的,对应值表: 1 2 3 4 5 6

123.56 21.45 -7.82 11.57 -53.76 -126.49 函数在区间[1,6]上的零点至少有 个

例 1、已知函数 (1) 函数是否存在零点?若有零点则有几个? (2)指出函数零点所在的大致区间。 分析:引导学生探索判断函数零点的方法。第一步:指出可以借助计算机或计算器来作出的 对应值表;第二步:作函数的图象。第三步:利用单调性论证 设计说明:零点判定方法的应用,利用表、图象先对函数有一个零点形成直观的认识,再进 行论证,符合学生的思维,并且解题的操作性更强,逐步突破难点。 6、尝试练习、巩固新知 函数的零点有 个; 7、归纳整理、收获体会

①函数零点的概念、函数的零点与方程的根的关系; ②判断连续不间断的函数零点存在性、个数的方法(代数法、几何法) ; ③函数与方程转化思想、数形结合的思想。 8、作业布置 基础过关:结合书本练习整理求函数零点个数的方法; 能力提升:已知方程有四个实数根,求实数的取值范围 合作探究:利用计算机作函数的图象。 备课说明: 在本节课的设计过程中安排两课时, 第一课时主要让学生体会到方程与函数之间 有着紧密的联系,即数学中的数形结合、转化思想;再逐步得到函数零点的定义和零点存在 性的判定定理,在此基础上,学会简单的应用。第二课时可以结合作业本 A、B 补充相应的 求函数零点个数的方法及相应题型,从而在补充,如解决方程的解的情况讨论,再次体现数 形结合的魅力。


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