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2014高中数学 4-2-1 直线与圆的位置关系课件 新人教A版必修2


4.2

直线、圆的位置关系

4.2.1

直线与圆的位置关系

一、阅读教材P126~128回答 1.直线与圆的位置关系

设直线l :Ax +By +C=0??①,圆C: (x-a)2+(y -
b)2=r2??②, 圆心C(a,b)到直线l的距离为d,联立①

②得方程组, 消去x或y后,所得一元二次方程的根的判别式为Δ 若直线和圆相交,则满足 d<r 或Δ>0

若直线和圆相切,则满足d=r 或Δ=0
若直线和圆相离,则满足 d>r 或Δ<0 . 2.直线l与圆交于A、B两点,圆心到直线的距离为d, 圆的半径为r,则弦长|AB|= .

二、解答下列各题

1 . 已 知 ⊙ C : x2 + y2 - 8x + 2y - 8 = 0 的 圆
心 C(4,-1) ,半径r= 5 ,圆心C到直线l:4x-3y+6 =0的距离d=5,直线l与圆C的位置关系是 相切 . 2.圆x2+y2-4x+3=0与直线2x-y+5=0的位置关系 是 相离 .

本节学习重点:直线与圆的位置关系. 本节学习难点:圆的几何性质与切线问题、弦长问 题.

1.直线与圆位置关系的判定有两种方法

(1)代数法:通过直线方程与圆的方程所组成的方程组
的解的个数来讨论,若有两组不同的实数解,即 Δ>0 ,则 相交;若有两组相同的实数解,即Δ=0,则相切;若无实 数解,即Δ<0,则相离. (2)几何法:由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判

断:当d<r时,直线与圆相交;当d=r时,直线与圆相切;
当d>r时,直线与圆相离.

2.直线与圆相交有两个交点,设弦长为 l,弦心距为 d, 半径
?l? r,则有?2?2+d2=r2.即半弦长,弦心距,半径构成直角 ? ?

三角形. 代数法求弦长:|AB|= 1+k2|x1-x2|(k 是直线 AB 的斜 率,x1、x2 是两交点横坐标). 3.圆的切线方程的求法
①求过圆C外一点P(x0,y0)的⊙C的切线方程. 几何方法:设切线y-y0=k(x-x0),由圆心C到切线距 离等于圆的半径 r ,列方程求k ,若有两解即得切线方程, 若只有一解,则另一条为x=x0.

代数方法:设切线 y - y0 = k(x - x0) 与圆方程联立,消 元由Δ=0求出k,讨论方法同上.

②过圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上一点 P(x0,y0)求圆的切线 1 方程.圆心 C(a,b),k=-k ,则切线方程为 y-y0=k(x PC -x0),如果 kPC 不存在,则 k=0,如果 kPC=0,则切线方程 为 x=x0. 特别的,过圆 x2+y2=r2 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方 程为:x0x+y0y=r2.

4 . (1) 直线若过定点,定点在圆内则直线与圆必相 交.

(2) 直线与圆相离时,圆上点到直线的距离 d ,圆心到
直线距离为m,则m-r≤d≤m+r; 直线与圆相交时,圆上点到直线距离为d,圆心到直线 距离为m,则0≤d≤m+r. (3) 过圆心的直线将圆平分,垂直平分弦的直线过圆

心.
(4)过圆内一点的直线被圆截得最长弦为直径,最短弦 为以该点为中点的弦. 与圆有关的最值问题,常常用数形结合法求解.

[例1] 有公共点? [解析]

已知圆的方程是x2+y2=2,直线y=x+b,当b

为何值时,圆与直线有两个公共点,只有一个公共点,没
解法1:将y=x+b代入x2+y2=2中消去y得2x2

+2bx+b2-2=0※ 其判别式Δ=(2b)2-8(b2-2)=-4(b+2)(b-2),

当-2<b<2时,Δ>0,方程※有两个不等实根,直线与
圆有两个公共点.

当b=±2时,Δ=0,方程※有两个相等实根,直线与 圆有一个公共点. 当 b< - 2 或b>2 时,Δ<0 ,方程 ※无实数根,直线与圆 无公共点. |b| 解法 2:圆心 O(0,0)到直线 y=x+b 距离 d= ,圆半径 2
r= 2.

当 d<r ,即- 2<b<2 时,直线与圆相交,有两个公共

点.
当 d = r ,即 b =±2 时,直线与圆相切,有一个公共 点.

当 d>r ,即 b< - 2 或 b>2 时,直线与圆相离,无公共
点.

[ 点评 ]

讨论直线与圆的位置关系,可以用代数法,

即将直线与圆的方程联立,消元后用判别式 Δ 作判断;也 可以用几何法,求圆心到直线的距离d和圆的半径r,用d与 r大小判断.一般地,说几何法更简便.

(1)直线3x-4y+6=0与圆(x-2)2+(y-3)2=4的位置关 系是 A.相离 C.相交且过圆心 则实数k的取值范围为
A.R
? 6 6? ? C.?- , ? 12 ? ? 12 ?

( B.相切 D.相交但不过圆心 (

)

(2) 若直线 y = kx - 2k 与圆 (x - 3)2 + y2 = 1 恒有两个交点, )

B.(-∞,0)∪(0,+∞)
? 1 1? D.?-5,5? ? ?

(3)直线y=kx被圆x2+y2=2截得的弦AB长等于(
A.4 B.2

)

C.2 2
[答案] (1)C (2)A (3)C

D. 2

[解析] (1)圆心(2,3)在直线3x-4y+6=0上,

∴直线与圆相交且过圆心,故选C.

|3k-2k| (2)由题意可知 <1,此不等式恒成立,故选 A. 1+k2 或直线 y=k(x-2)过定点(2,0),定点(2,0)在圆(x-3)2+y2 =1 上.由于斜率 k 存在,故总有两个交点. (3)直线 y=kx 过圆心,被圆 x2+y2=2 所截得的弦长恰为 圆的直径 2 2,故选 C.

[例 2]

求满足下列条件的圆 x2+y2=4 的切线方程:

(1)经过点 P( 3,1);(2)斜率为-1, (3)过点 Q(3,0)
[解析] (1)∵点 P( 3,1)在圆上.

∴所求切线方程为 3x+y-4=0
(2)设圆的切线方程为y=-x+b, 代入圆的方程,整理得

2x2-2bx+b2-4=0,∵直线与圆相切
∴Δ=(-2b)2-4×2(b2-4)=0.

解得 b=± 2 2. ∴所求切线方程为 x+y± 2 2=0. 也可用几何法 d=r 求解. (3)解法 1:∵32+02>4,∴点 Q 在圆外. 设切线方程为 y=k(x-3),即 kx-y-3k=0. ∵直线与圆相切,∴圆心到直线的距离等于半径, |-3k| 2 ∴ 5, 2=2,∴k=± 5 1+k ∴所求切线方程为 2x± 5y-6=0.

解法2:设切点为M(x0,y0),则过点M的切线方程为 4 x0x+y0y=4,∵点 Q(3,0)在切线上,∴x0=3① 2 又 M(x0,y0)在圆 x2+y2=4 上,∴x2 0+y0=4② 由①②构成的方程组可解得

∴所求切线方程为 4 2 5 4 2 5 x+ y=4 或 x- y=4 3 3 3 3 即 2x+ 5y-6=0 或 2x- 5y-6=0.

总结评述: 求过定点的圆的切线方程,一定要先 判断点是在圆上还是在圆外.

(1) 可 以 利 用 圆 心 到 直 线 的 距 离 等 于 半 径 求 切 线 方
程.也可利用判别式的值等于0求切线方程.若设出切线斜 率,用点斜式写出切线方程,应注意斜率不存在的情况. (2)也可以先求出以Q和圆x2+y2=4的圆心(原点)O为端 点的线段OQ为直径的圆的方程,进而求出两圆交点即切点

的坐标,由两点式求得切线方程.

(已知圆O:x2+y2=5和点A(1,2),则过A且与圆O相切

的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________.

25 [答案] 4 [解析] ∵点 A(1,2)在⊙O:x2+y2=5 上,
∴过 A 的切线方程为 x+2y=5, 5 令 x=0 得,y=2,令 y=0 得,x=5, 1 5 25 ∴三角形面积为 S= × ×5= . 2 2 4

[例 3] 值为 1 A.2 3 C. 2

y 若实数 x、y 满足(x-2) +y =3,那么x的最大
2 2

( 3 B. 3 D. 3

)

[分析]
2

这类问题可看作是实数 x, y 满足关系式(x-2)2

y +y =3(*)时,求代数式(称目标函数)x的最值问题,关系式 (*)称为约束条件.这里因为(*)表示一个圆,因此把目标函 数“几何化”往往能从图形的整体结构上把握问题. 这里使 目标函数几何化的方法是设其值为参数 k.

[解析]

解法 1:方程(x-2)2+y2=3 的曲线是以 A(2,0)

为圆心,以 3为半径的圆,实数 x,y 是圆上的点 P(x,y) y 的坐标,而x是直线 OP 的斜率,由图可知当点 P 在第一象 限且 OP 为圆的切线时,k 的值最大.

y 解法 2:设x=k,则 y=kx,它可看作过原点的直线, 由图可知,当直线与圆相切,且切点 P 在第一象限即 k>0 时,k 的值最大.要使直线与圆相切,应使圆心 O′(2,0) |2k| 到直线 y=kx 的距离 d= 2= 3,解得 k=± 3,∴k 1+k y = 的最大值为 3,故选 D. x

y y-0 解法 3:x= 表示圆上一点与原点连线的斜率,过 x-0 O 作圆的切线 OP、 OP′, P、 P′为切点, 显然 OP、 OP′ y 的斜率分别为x的最大值、最小值. 由条件知,OP⊥O′P,OO′=2,O′P= 3 y ∴OP=1,∴kOP=tan∠O′OP= 3,即 = 3. x 故选 D.

若x、y满足(x-2)2+y2=3,那么①x+y的取值范围是

__________;②(x+2)2+(y+2)2的取值范围是________.
[答案] 4 15] ①[-2- 6,-2+ 6] ②[23-4 15,23+

[解析] ①令x+y=t,则y=t-x

∴t∈[-2- 6,-2+ 6]; ②(x+2)2+(y+2)2 表示圆上的点 A 到点 B(-2, -2)的距 离的平方,如图可知,其最大值为 (|BO′|+r)2 =( (2+2)2+22+ 3)2 =23+4 15. 最小值为(|BO′|-r)2=( 20- 3)2=23-4 15 故(x+2)2+(y+2)2 的取值范围为 [23-4 15,23+4 15].

[ 点评 ]

此题解法较多,可用代数法,也可用几何法,

数形结合的思想在这里起主导作用,望细致体会.

[例 4]

自点 A( -3,3)发出的光线 l射到x 轴上,被x 轴反

射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,
求光线l所在直线的方程.

[解析]

解法 1:设光线 l 所在直线的方程为 y-3=k(x 存在且 k≠0).

? 3(1+k) ? ? ? +3),则反射点的坐标为?- ,0?(k k ? ?

∵光线的入射角等于反射角, ∴反射线 l′所在直线的方 程为
? 3(1+k)? ? ? y=-k?x+ ?,即 k ? ?

l′:y+kx+3(1+k)=0.

∵圆(x-2)2+(y-2)2=1 与 l′相切, |2+2k+3(1+k)| ∴圆心到 l′的距离 d= =1, 2 1+k 3 4 ∴k=-4或 k=-3,
∴ 光线 l 所在直线的方程为 3x + 4y - 3 = 0 或 4x + 3y + 3 =0. 解法2:已知圆(x-2)2+(y-2)2=1关于x轴的对称圆C′

的方程为(x-2)2+(y+2)2=1,如图所示.

可设光线l所在直线方程为y-3=k(x+3),

∵直线l与圆C′相切, ∴圆心C′(2,-2)到直线l的距离

|5k+5| 3 4 d= 2=1.解得 k=-4或 k=-3. 1+k ∴光线 l 所在直线的方程为 3x+4y-3=0 或 4x+3y +3=0.

[点评]

解法1用的是常规方法——待定系数法,关键在

于运用已知条件去确定系数,而解法2主要运用对称思想, 这样可使运算过程得以简化.

[例 5]

x y (1)若直线a+b=1 与圆 x2+y2=1 有公共点,则 ( ) B.a2+b2≥1 1 1 D.a2+b2≥1

A.a2+b2≤1 1 1 C.a2+b2≤1

(2)(08· 四川文)已知直线 l:x-y+4=0 与圆 C:(x-1)2 +(y-1)2=2,则 C 上各点到 l 距离的最小值为______.

[解析]

x y (1)∵直线 + =1 与圆 x2+y2=1 有公共点, a b

x y ∴圆心(0,0)到直线a+b=1 的距离小于或等于圆的半径 |ab| 1,即 2 2≤1, a +b 1 1 ∴a b ≤a +b ,∴ 2+ 2≥1,故选 D. a b
2 2 2 2

(2)C 上各点到 l 距离的最小值为圆心到直线距离减去半 |1-1+4| 径.dmin= - 2= 2,故填 2. 2

[ 点评 ] 解.

(1) 直线 l 与圆有公共点,可利用 d≤r 或 Δ≥0 求

(2)半径r、半弦m、弦心距d满足d2+m2=r2是解决弦长
问题的主要途径. (3)直线l与圆相离时,设圆心C到l距离为d,圆半径为r, 则圆上点到直线距离的最大值为 d + r ,最小值为 d - r ,自 己想想l与圆C相切(或相交)时呢?

(4)点P(x0,y0)在圆C内,圆半径为r,|PC|=d,则圆上
所有点中到P距离的最大值为d+r,最小值为r-d;过P的 所有直线与圆相交弦中,最长弦为直径,最短弦为与PC垂 直的弦,此时P为弦的中点.

(6)由切点 A、圆心 C、圆外点 P 组成一个直角三角形, 易求得由点 P(x0, y0)向圆 f(x, y)=0 引切线的长为 f(x0,y0) (其中 f(x,y)=(x-a)2+(y-b)2-r2 或 f(x,y)=x2+y2+Dx +Ey+F)

(1)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5) 的最长弦和最短弦分别为 AC和BD,则四边形ABCD的面积 为 ( )

A.10 6 C.30 6

B.20 6 D.40 6

(2) 已知圆 C的圆心与点 P( - 2,1) 关于直线 y = x + 1 对称, 直线3x+4y-11=0与圆C相交于A、B两点,且|AB|=6,则 圆C的方程为________.

(3)直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0

(a<3)相交于两点

A、B,弦AB的中点为(0,1),则直线l的方程为________.

(4) 由 点 P(2,0) 向 圆 C : x2 + y2 = 1 所 引 切 线 长 为 ________.

[ 答案 ] (4) 3

(1)B

(2)x2 + (y + 1)2 = 18

(3)x - y + 1 = 0

[解析] (1)圆x2+y2-6x-8y=0的圆心(3,4),半径为5. 由题意知,AC为圆的直径且BD⊥AC,

∴|BD|=2 52-12=4 6,|AC|=10. 1 ∴S 四边形 ABCD=2×4 6×10=20 6,故选 B.

(2)设圆的圆心坐标为(a,b), 由题意得a=0,b=-1,

∴圆心到直线3x+4y-11=0的距离
|-4-11| d= =3, 5 由圆的几何性质可得其半径 r= 3
2

?|AB|? +? 2 ?2= ? ?

18=3 2,

∴所求圆的方程为x2+(y+1)2=18.

(3)已知圆x2+y2+2x-4y+a=0的圆心C(-1,2), 弦AB的中点D(0,1),由圆的几何性质知,CD⊥l,

∵kCD=-1,∴kl=1,
∴l:y-1=1×(x-0),即x-y+1=0.

(4)切线长 l= 22+02-1= 3.

一、选择题 1.(09· 陕西文)过原点且倾斜角为 60° 的直线被圆 x2+ y2-4y=0 所截得的弦长为 A. 3 C. 6 B.2 D.2 3 ( )

[答案] D

[解析]

由题意得直线方程为 3x-y=0,圆是以(0,2)

为圆心,2 为半径的圆, ∴圆心到直线 3x-y=0 的距离 |-2| d= 2 2=1, ( 3) +1 ∴弦长 l=2 22-12=2 3,故选 D.

2.过点P(2,3)引圆x2+y2-2x+4y+4=0的切线,其方 程是 ( )

A.x=2
B.12x-5y+9=0 C.5x-12y+26=0 D.x=2和12x-5y-9=0 [答案] D

[解析] 点P在圆外,故过P必有两条切线,
∴选D.

二、填空题 3.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且

圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为__________.
[答案] (x+1)2+y2=2 [解析] 在直线方程x-y+1=0中,令y=0得,x=-1, ∴圆心坐标为(-1,0),
|-1+0+3| 由点到直线的距离公式得,圆的半径 R= = 2 2, ∴圆的标准方程为(x+1)+y2=2.

4.若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没 有公共点,则实数m的取值范围是____________.

[答案] (-∞,0)∪(10,+∞)
[解析] ∵圆x2+y2-2x+4y+4=0的圆心坐标为 (1, -2),半径r=1,
|3-8+m| ∴由题意得, 2 2 >1, 3 +4 ∴|m-5|>5,∴m-5>5 或 m-5<-5, ∴m>10 或 m<0.

5.将圆x2+y2=1沿x轴正向平移1个单位后得到圆C, 则圆C的方程是______________;若过点(3,0)的直线l和圆C

相切,则直线l的斜率是______________.
[答案]
[ 解析 ]

(x-1) +y =1

2

2

3 3 或- 3 3

将圆 x2 + y2 = 1 沿 x 轴正向平移 1 个单位得到的

圆C,其半径仍为1,

圆心由(0,0)变为(1,0),
所以其方程为(x-1)2+y2=1. 设过点(3,0)的直线l的斜率为k, 则方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0.

又∵与圆C相切,∴圆心(1,0)到直线kx-y-3k=0的距 离等于半径1.

|k-3k| 1 3 2 即 =1,∴k =3,即 k=± 3 . 1+k2

6.点A(3,5)是圆x2+y2-4x-8y-80=0的一条弦的中 点,则这条弦所在直线的方程为________.

[答案] x+y-8=0
[解析] x2+y2-4x-8y-80=0的圆心B(2,4)
5-4 ∴kAB= =1 3-2 ∴弦所在直线斜率为-1

∴弦所在直线方程为 y-5=-(x-3), 即 x+y-8=0.


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