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2015新课标全国卷Ⅱ高考数学文科卷


2015 高考文科高中数学组卷
一.选择题(共 12 小题) 1.已知集合 A={x|﹣1<x<2},B={x|0<x<3},则 A∪B=( A.(﹣1,3) 2.若 a 为实数且 A.﹣4 B.(﹣1,0) ,则 a=( B.﹣3 C.(0,2)



D.(2,3)

) C.3 D.4 )
<

br />3.根据如图给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是(

A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

4. =(1,﹣1) , =(﹣1,2)则(2 + ) A.﹣1 B.0 C.1

=(

) D.2

5.Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a1+a3+a5=3,则 S5=( ) A.5 B.7 C.9 D.11 6. 一个正方体被一个平面截去一部分后, 剩余部分的三视图如图, 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( )

第 1页(共 22页)

A.

B.

C.

D.

7.过三点 A(1,0) ,B(0, A. B.

) ,C(2, C.

)则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( D.



8.如图程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入 a, b 分别为 14,18,则输出的 a=( )

A.0

B.2

C.4 ,a3a5=4(a4﹣1) ,则 a2=( C.

D.14

9.已知等比数列{an}满足 A.2 B.1

) D.

10.已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点,若三棱锥 O﹣ABC 体积的最大值为 36, 则球 O 的表面积为( ) A.36π B.64π C.144π D.256π 11.如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,记∠BOP=x.将 动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x) ,则 y=f(x)的图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

第 2页(共 22页)

12.设函数 f(x)=ln(1+|x|)﹣ A. ( ,1) B. ∪(1,+∞)

,则使得 f(x)>f(2x﹣1)成立的 x 的取值范围是( C. ( ) D.(﹣∞, , +∞)



二.填空题(共 4 小题) 13.已知函数 f(x)=ax3﹣2x 的图象过点(﹣1,4)则 a= .

14.若 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的最大值为



15.已知双曲线过点

且渐近线方程为 y=± x,则该双曲线的标准方程是



16.已知曲线 y=x+lnx 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,则 a=



三.解答题(共 8 小题) 17.△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC (Ⅰ) 求 .

(Ⅱ) 若∠BAC=60°,求∠B.

第 3页(共 22页)

18.某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 40 个用户,根据用户对产品的满意度 评分,得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表

B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 频数 [50,60) [60,70) 2 8 [70,80) 14 [80,90) 10 [90,100) 6

(1) 做出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图, 并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度 (不 要求计算出具体值,给出结论即可) (Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由.

第 4页(共 22页)

19.如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=16,BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E=D1F=4. 过 E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形 (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) (Ⅱ)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.

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20.椭圆 C:

=1, (a>b>0)的离心率

,点(2,

)在 C 上.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M.证明:直线 OM 的斜 率与 l 的斜率的乘积为定值.

21.设函数 f(x)=lnx+a(1﹣x) . (Ⅰ)讨论:f(x)的单调性; (Ⅱ)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a﹣2 时,求 a 的取值范围.

第 6页(共 22页)

22.如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,⊙O 与△ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的高 AD 交于点 G, 且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点. (1)证明:EF∥BC; (2)若 AG 等于⊙O 的半径,且 AE=MN=2 ,求四边形 EBCF 的面积.

23.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1:

(t 为参数,t≠0,0≤α<π)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的

极坐标系中,曲线 C2:ρ=2sinθ,曲线 C3:ρ=2 cosθ. (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标 (2)若 C2 与 C1 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值.

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24.设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d,证明: (1)若 ab>cd,则 (2) + > + + > + ; 是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.

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2015 高考文科高中数学组卷
参考答案与试题解析

一.选择题(共 12 小题) 1.已知集合 A={x|﹣1<x<2},B={x|0<x<3},则 A∪B=( A.(﹣1,3) 考点: 专题: 分析: 解答: B.(﹣1,0) C.(0,2)



D.(2,3)

并集及其运算. 集合.

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根据集合的基本运算进行求解即可. 解:∵A={x|﹣1<x<2},B={x|0<x<3}, ∴A∪B={x|﹣1<x<3}, 故选:A. 本题主要考查集合的基本运算,比较基础.

点评:

2.若 a 为实数且 A.﹣4 考点: 专题: 分析: 解答:

,则 a=( B.﹣3

) C.3 D.4

复数相等的充要条件. 数系的扩充和复数.

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根据复数相等的条件进行求解即可. 解:由 则 a=4, 故选:D. ,得 2+ai=(1+i) (3+i)=2+4i,

点评:

本题主要考查复数相等的应用,比较基础. )

3.根据如图给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是(

A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
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D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 考点: 专题: 分析: 频率分布直方图. 概率与统计. A 从图中明显看出 2008 年二氧化硫排放量比 2007 年的二氧化硫排放量减少的最多,故 A 正确; B 从 2007 年开始二氧化硫排放量变少,故 B 正确; C 从图中看出,2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,故 C 正确; D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,与年份负相关,故 D 错误. 解:A 从图中明显看出 2008 年二氧化硫排放量比 2007 年的二氧化硫排放量明显减少,且减少的最 多,故 A 正确; B2004﹣2006 年二氧化硫排放量越来越多,从 2007 年开始二氧化硫排放量变少,故 B 正确; C 从图中看出,2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,故 C 正确; D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,而不是与年份正相关,故 D 错误. 故选:D

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解答:

4. =(1,﹣1) , =(﹣1,2)则(2 + ) A.﹣1 考点: 专题: 分析: 解答: B.0 平面向量数量积的运算. 平面向量及应用. C.1

=(

) D.2

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利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题. 解:因为 =(1,﹣1) , =(﹣1,2)则(2 + ) 故选:C =(1,0)?(1,﹣1)=1;

5.Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a1+a3+a5=3,则 S5=( ) A.5 B.7 C.9 D.11 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的前 n 项和. 等差数列与等比数列. 由已知结合等差数列的性质求得 a3=1,再由 S5=5a3 得答案. 解:∵数列{an}是等差数列,且 a1+a3+a5=3, 得 3a3=3,即 a3=1. ∴S5=5a3=5. 故选:A. )

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6. 一个正方体被一个平面截去一部分后, 剩余部分的三视图如图, 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 (

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A.

B.

C.

D.

解答:

解:设正方体的棱长为 1,由三视图判断,正方体被切掉的部分为以棱锥, ∴正方体切掉部分的体积为 ∴剩余部分体积为 1﹣ = , ∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为 . 故选:D. ×1×1×1= ,

7.过三点 A(1,0) ,B(0, A. B.

) ,C(2, C.

)则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( D.



考点: 专题: 分析: 解答:

圆的标准方程. 直线与圆.

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利用外接圆的性质,求出圆心坐标,再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论. 解:因为△ABC 外接圆的圆心在直线 BCD 垂直平分线上,即直线 x=1 上, 可设圆心 P(1,p) ,由 PA=PB 得 |p|= 得 p= 圆心坐标为 P(1, ) , = , ,

所以圆心到原点的距离|OP|= 故选:B

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8.如图程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入 a, b 分别为 14,18,则输出的 a=( )

A.0 考点: 专题: 分析: 解答:

B.2 程序框图.

C.4

D.14

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图表型;算法和程序框图. 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 a,b 的值,当 a=b=2 时不满足条件 a≠b,输出 a 的值 为 2. 解:模拟执行程序框图,可得 a=14,b=18 满足条件 a≠b,不满足条件 a>b,b=4 满足条件 a≠b,满足条件 a>b,a=10 满足条件 a≠b,满足条件 a>b,a=6 满足条件 a≠b,满足条件 a>b,a=2 满足条件 a≠b,不满足条件 a>b,b=2 不满足条件 a≠b,输出 a 的值为 2. 故选:B. ,a3a5=4(a4﹣1) ,则 a2=( C. D.

9.已知等比数列{an}满足 A.2 B.1



解答:

解:设等比数列{an}的公比为 q, ∵ ∴ ,a3a5=4(a4﹣1) , =4 ,

化为 q3=8,解得 q=2 则 a2= 故选:C.
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= .

10.已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点,若三棱锥 O﹣ABC 体积的最大值为 36, 则球 O 的表面积为( ) A.36π B.64π C.144π D.256π 分析: 解答: 当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时,三棱锥 O﹣ABC 的体积最大,利用三棱锥 O﹣ABC 体 积的最大值为 36,求出半径,即可求出球 O 的表面积. 解:如图所示,当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时,三棱锥 O﹣ABC 的体积最大,设球 O 的半径为 R,此时 VO﹣ABC=VC﹣AOB= 4πR2=144π, 故选 C. = =36,故 R=6,则球 O 的表面积为

11.如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,记∠BOP=x.将 动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x) ,则 y=f(x)的图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

解答:

解:由对称性可知函数 f(x)关于 x= 且当 0≤x≤ 时,BP=tanx,AP= +tanx,0≤x≤

对称, = ,

此时 f(x)= 故选:B. 12.设函数 f(x)=ln(1+|x|)﹣

,此时单调递增,排除 A,C(不是直线递增) , D.

,则使得 f(x)>f(2x﹣1)成立的 x 的取值范围是(



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A.

( ,1

B. +∞)

C. ∪(1, (



D.

(﹣∞, +∞)



分析: 解答:

根据函数的奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行转化即可得到结论. 解:∵函数 f(x)=ln(1+|x|)﹣ 为偶函数,

且在 x≥0 时,f(x)=ln(1+x)﹣

导数为 f?(x)=

+

> 0,

即有函数 f(x)在[0,+∞)单调递增, ∴f(x)>f(2x﹣1)等价为 f(|x|)>f(|2x﹣1|) , 即|x|>|2x﹣1|, 平方得 3x2﹣4x+1<0, 解得 <x<1, 所求 x 的取值范围是( ,1) . 故选 A. 二.填空题(共 4 小题) 13.已知函数 f(x)=ax3﹣2x 的图象过点(﹣1,4)则 a= 考点: 专题: 分析: 解答: 函数解析式的求解及常用方法;函数的值. 函数的性质及应用. f(x)是图象过点(﹣1,4) ,从而该点坐标满足函数 f(x)解析式,从而将点(﹣1,4)带入函 数 f(x)解析式即可求出 a. 解:根据条件得: 4=﹣a+2; ∴a=﹣2. 故答案为:﹣2. ﹣2 .

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14.若 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的最大值为

8



考点: 专题: 分析: 解答:

简单线性规划.

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不等式的解法及应用. 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定 z 的最大值. 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) . 由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z, 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 A 时,直线 y=﹣2x+z 的截距最大,
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此时 z 最大. 由 ,解得 ,即 A(3,2)

将 A(3,2)的坐标代入目标函数 z=2x+y, 得 z=2×3+2=8.即 z=2x+y 的最大值为 8. 故答案为:8.

点评:

本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问 题的基本方法. x2﹣y2=1

15.已知双曲线过点

且渐近线方程为 y=± x,则该双曲线的标准方程是



考点: 专题: 分析: 解答:

双曲线的标准方程.

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计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 设双曲线方程为 y2﹣ x2=λ,代入点 解:设双曲线方程为 y2﹣ x2=λ, 代入点 ∴λ=﹣1, ∴双曲线的标准方程是 x2﹣y2=1. 故答案为: x2﹣y2=1. ,可得 3﹣ =λ, ,求出λ,即可求出双曲线的标准方程.

点评:

本题考查双曲线的标准方程,考查学生的计算能力,正确设出双曲线的方程是关键. .

16.已知曲线 y=x+lnx 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,则 a= 8 考点: 专题: 分析: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 开放型;导数的综合应用.

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求出 y=x+lnx 的导数,求得切线的斜率,可得切线方程,再由于切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相 切,有且只有一切点,进而可联立切线与曲线方程,根据△=0 得到 a 的值.
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解答:

解:y=x+lnx 的导数为 y?=1+ , 曲线 y=x+lnx 在 x=1 处的切线斜率为 k=2, 则曲线 y=x+lnx 在 x=1 处的切线方程为 y﹣1=2x﹣2,即 y=2x﹣1. 由于切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切, 故 y=ax2+(a+2)x+1 可联立 y=2x﹣1, 得 ax2+ax+2=0, 又 a≠0,两线相切有一切点, 所以有△=a2﹣8a=0, 解得 a=8. 故答案为:8.

点评:

本题考查导数的运用:求切线方程,主要考查导数的几何意义:函数在某点处的导数即为曲线在该 点处的导数,设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键.

三.解答题(共 8 小题) 17.△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC (Ⅰ) 求 .

(Ⅱ) 若∠BAC=60°,求∠B. 考点: 专题: 分析: 正弦定理. 解三角形. (Ⅰ)由题意画出图形,再由正弦定理结合内角平分线定理得答案; (Ⅱ)由∠C=180°﹣(∠BAC+∠B) ,两边取正弦后展开两角和的正弦,再结合(Ⅰ)中的结论得 答案. 解: (Ⅰ)如图, 由正弦定理得: , ∵AD 平分∠BAC,BD=2DC, ∴ ;

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解答:

(Ⅱ)∵∠C=180°﹣(∠BAC+∠B) ,∠BAC=60°, ∴ 由(Ⅰ)知 2sin∠B=sin∠C, ∴tan∠B= ,即∠B=30°. ,

点评:

本题考查了内角平分线的性质,考查了正弦定理的应用,是中档题.
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18.某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 40 个用户,根据用户对产品的满意度 评分,得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表

B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 频数 [50,60) [60,70) 2 8 [70,80) 14 [80,90) 10 [90,100) 6

(1) 做出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图, 并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度 (不 要求计算出具体值,给出结论即可) (Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由. 考点: 专题: 分析: 频率分布直方图;古典概型及其概率计算公式. 概率与统计. (I)根据分布表的数据,画出频率直方图,求解即可. (II)计算得出 CA 表示事件:“A 地区用户的满意度等级为不满意”,CB 表示事件:“B 地区用户的 满意度等级为不满意”, 解答: P(CA) ,P(CB) ,即可判断不满意的情况. 解: (Ⅰ)

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通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出, B 地区用户满意度评分的平均值高于 A 地区用户满意度评分的平均值, B 地区的用户满意度评分的比较集中,而 A 地区的用户满意度评分的比较分散. (Ⅱ)A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 记 CA 表示事件:“A 地区用户的满意度等级为不满意”,CB 表示事件:“B 地区用户的满意度等级
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为不满意”, 由直方图得 P(CA)=(0.01+0.02+0.03)×10=0.6 得 P(CB)=(0.005+0.02)×10=0.25 ∴A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 点评: 本题考查了频率直方图,频率表达运用,考查了阅读能力,属于中档题.

19.如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=16,BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E=D1F=4. 过 E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形 (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) (Ⅱ)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.

考点: 专题: 分析:

棱柱、棱锥、棱台的体积;平面的基本性质及推论. 综合题;空间位置关系与距离.

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(Ⅰ)利用平面与平面平行的性质,可在图中画出这个正方形; (Ⅱ)求出 MH= 的比值. =6,AH=10,HB=6,即可求平面 a 把该长方体分成的两部分体积

解答:

解: (Ⅰ)交线围成的正方形 EFGH 如图所示; (Ⅱ)作 EM⊥AB,垂足为 M,则 AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8. 因为 EFGH 为正方形,所以 EH=EF=BC=10, 于是 MH= =6,AH=10,HB=6.

因为长方体被平面α分成两个高为 10 的直棱柱, 所以其体积的比值为 .

点评:

本题考查平面与平面平行的性质,考查学生的计算能力,比较基础.

20.椭圆 C:

=1, (a>b>0)的离心率

,点(2,

)在 C 上.

(1)求椭圆 C 的方程;
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(2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M.证明:直线 OM 的斜 率与 l 的斜率的乘积为定值. 分析: (1)利用椭圆的离心率,以及椭圆经过的点,求解椭圆的几何量,然后得到椭圆的方程. (2)设直线 l:y=kx+b, (k≠0,b≠0) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(xM,yM) ,联立直线方程与椭 圆方程,通过韦达定理求解 KOM,然后推出直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值. 解答: 解: (1)椭圆 C: =1, (a>b>0)的离心率 ,点(2, )在 C 上,可得 ,

,解得 a2=8,b2=4,所求椭圆 C 方程为:



(2)设直线 l:y=kx+b, (k≠0,b≠0) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(xM,yM) , 把直线 y=kx+b 代入 可得(2k2+1)x2+4kbx+2b2﹣8=0,

故 Mx=

=

,yM=kxM+b=



于是在 OM 的斜率为:KOM=

=

,即 KOM?k=



∴直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值. 21.设函数 f(x)=lnx+a(1﹣x) . (Ⅰ)讨论:f(x)的单调性; (Ⅱ)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a﹣2 时,求 a 的取值范围. 分析: 解答: (Ⅰ)先求导,再分类讨论,根据导数即可判断函数的单调性; (2)先求出函数的最大值,再构造函数(a)=lna+a﹣1,根据函数的单调性即可求出 a 的范围. 解: (Ⅰ)f(x)=lnx+a(1﹣x)的定义域为(0,+∞) , ∴f?(x)= ﹣a= ,

若 a≤0,则 f?(x)>0,∴函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增, 若 a>0,则当 x∈(0, )时,f?(x)>0,当 x∈( ,+∞)时,f?(x)<0,所以 f(x)在(0,

)上单调递增,在( ,+∞)上单调递减, (Ⅱ) ,由(Ⅰ)知,当 a≤0 时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;当 a>0 时,f(x)在 x= 取得 最大值,最大值为 f( )=﹣lna+a﹣1,

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∵f( )>2a﹣2, ∴lna+a﹣1<0, 令 g(a)=lna+a﹣1, ∵g(a)在(0,+∞)单调递增,g(1)=0, ∴当 0<a<1 时,g(a)<0, 当 a>1 时,g(a)>0, ∴a 的取值范围为(0,1) . 22.如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,⊙O 与△ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的高 AD 交于点 G, 且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点. (1)证明:EF∥BC; (2)若 AG 等于⊙O 的半径,且 AE=MN=2 ,求四边形 EBCF 的面积.

分析:

(1)通过 AD 是∠CAB 的角平分线及圆 O 分别与 AB、AC 相切于点 E、F,利用相似的性质即得 结论; (2)通过(1)知 AD 是 EF 的垂直平分线,连结 OE、OM,则 OE⊥AE,利用 S△ABC﹣S△AEF 计 算即可.

解答:

(1)证明:∵△ABC 为等腰三角形,AD⊥BC, ∴AD 是∠CAB 的角平分线, 又∵圆 O 分别与 AB、AC 相切于点 E、F, ∴AE=AF,∴AD⊥EF, ∴EF∥BC; (2)解:由(1)知 AE=AF,AD⊥EF,∴AD 是 EF 的垂直平分线, 又∵EF 为圆 O 的弦,∴O 在 AD 上, 连结 OE、OM,则 OE⊥AE, 由 AG 等于圆 O 的半径可得 AO=2OE, ∴∠OAE=30°,∴△ABC 与△AEF 都是等边三角形, ∵AE=2 ,∴AO=4,OE=2, ,∴OD=1, ∵OM=OE=2,DM= MN= ∴AD=5,AB= , × ﹣ × × = .

∴四边形 EBCF 的面积为

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23.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1:

(t 为参数,t≠0,0≤α<π)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的

极坐标系中,曲线 C2:ρ=2sinθ,曲线 C3:ρ=2 cosθ. (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标 (2)若 C2 与 C1 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值. 分析: 解答: (1)把曲线的极坐标分别化为直角坐标方程联立可得交点坐标; (2)求出曲线 C1 的极坐标方程,可得 A,B 的极坐标,即可求|AB|的最大值. 解: (1)曲线 C2:ρ=2sinθ化为ρ2=2ρsinθ,∴x2+y2=2y. 曲线 C3:ρ=2 cosθ化为ρ2=2 ρcosθ,∴x2+y2=2 x.

联立

,解得





∴C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和(

, ) ;

(2)曲线 C1 的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0) ,其中 0≤α<π.

因此 A 的极坐标为(2sinα,α) ,B 的极坐标为(2 所以|AB|=|2sin 当α= cosα|=4|sin(α﹣ )|,

cosα,α) ,

时,|AB|取得最大值,最大值为 4.

24.设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d,证明: (1)若 ab>cd,则 (2) + > + 考点: 专题: 分析: + > + ; 是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.

不等式的证明;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 不等式的解法及应用;简易逻辑.

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(1)运用不等式的性质,结合条件 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d,ab>cd,即可得证; (2)从两方面证,①若 + > + ,证得|a﹣b|<|c﹣d|,②若|a﹣b|<|c﹣d|,证得 > + ,注意运用不等式的性质,即可得证. +

解答:

证明: (1)由于(

+

)2=a+b+2



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( + )2=c+d+2 , 由 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d,ab>cd, 则 即有( 则 + > + > , )2>( + ; + )2, ,则( , + )2>( + )2,

(2)①若 + > + 即为 a+b+2 >c+d+2 由 a+b=c+d,则 ab>cd,

于是(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab, (c﹣d)2=(c+d)2﹣4cd, 即有(a﹣b)2<(c﹣d)2,即为|a﹣b|<|c﹣d|; ②若|a﹣b|<|c﹣d|,则(a﹣b)2<(c﹣d)2, 即有(a+b)2﹣4ab<(c+d)2﹣4cd, 由 a+b=c+d,则 ab>cd, 则有( + 综上可得, )2>( + > + + )2. 是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.

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