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山东省各市2015届高三数学第一次模拟 试题分类汇编 导数及其应用 理


山东省各市 2015 届高三第一次模拟数学理试题分类汇编 导数及其应用
一、选择题 1、 (德州市 2015 届高三)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,其导函数为 f '( x) , 当 x<0 时, 2 f ( x) ? xf ?( x) ? 0 恒成立,则 f (1) ,2014 f ( 2014) ,2015 f ( 2015) 在大小 关系为

A、2015 f ( 2015) <2014 f ( 2014) ,< f (1) B、2015 f ( 2015) < f (1) <2014 f ( 2014) C、f(1)<2015 f ( 2015) <2014 f ( 2014) D、 f (1) <2014 f ( 2014) <2015 f ( 2015) 2、 (日照市 2015 届高三)已知函数 f ? x ? ?

1 2 x ? cos x, f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导函数,则 4

f ? ? x ? 的图象大致是

3、 (日照市 2015 届高三) 已知定义域为 R 的奇函数 y ? f ? x ? 的导函数为 y ? f ? ? x ? , 当x ? 0 时, f ? ? x ? ?

f ? x? 1 ? 0 ,若 a ? x 2

?1? ? 1? f ? ? , b ? ?2 f ??2 ?, c ? ? ln ? f ?2? ? 2?
C. a ? b ? c D. c ? a ? b

? ? ln ?

1? ? ,则 a, b, c 的大 2?

小关系正确的是 A. a ? c ? b B. b ? c ? a

4、 (泰安市 2015 届高三) 如图是函数 f ? x ? ? x2 ? ax ? b 的图象, 则函数 g ? x ? ? ln x ? f ? ? x ? 的零点所在的区间是

A. ?

?1 1? , ? ?4 2?

B. ?1, 2 ?

C. ?

?1 ? ,1? ?2 ?

D.

? 2,3?

二、填空题 1、 (烟台市 2015 届高三) 已知 f ? x ? ?

x ? , f1 ? x ? ? f ? ? x ? , f 2 ? x ? ? ? ? f1 ? x ?? ? , ??? , ex

1? x x?2 3? x ? ? f n?1 ? x ? ? ? ? f n ? x ?? ? , n ? ? ,经计算: f1 ? x ? ? e x , f 2 ? x ? ? e x , f 3 ? x ? ? e x ,

??? ,照此规律则 fn ? x ? ?
三、解答题



1、 (德州市 2015 届高三)20、(13 分)已知函数 f ( x) ? x ? a ln x ? (I)求 f(x)的单调区间;

1? a (a ? R ) x

(II) 若在 [1,e] (e=2.71828?) 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 成立,求 a 的取值范围。

2、 (菏泽市 2015 届高三)已知函数 f ? x ? ? 的底数) , f ? ? x ? 为 f ? x ? 导函数。

ln x ? k (其中 k ? R, e ? 2.71828 ex

是自然对数

(1)当 k ? 2 时,其曲线 y ? f ? x ? 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 x ? ? 0,1? 时, f ? ? x ? ? 0 都有解,求 k 的取值范围; (3)若 f ? ?1? ? 0 ,试证明:对任意 x ? 0, f ? ? x ? ?

e?2 ? 1 恒成立。 x2 ? x

3、 (济宁市 2015 届高三)已知函数 f ? x ? ? e ? ax ? a (其中 a ? R, e 是自然对数的底数,
x

e ? 2.71828 ?).
(I)当 a ? e 时,求函数 f ? x ? 的极值; (II)当 0 ? a ? 1 时,求证 f ? x ? ? 0 ; (III)求证:对任意正整数 n,都有 ? 1 ?

? ?

1 ?? 1 ? ? 1 ? ??1 ? 2 ? ??? ?1 ? n ? ? e . 2 ?? 2 ? ? 2 ?

4、 ( 临 沂 市 2015 届 高 三 ) 已 知 函 数 f ? x ? ? ?

? x 2 ? 2 x ? a, x ? 0, ?ln x, x ? 0,

其中a 是 实 数 , 设

A? x1, f ? x1 ?? , B ? x2 , f ? x2 ?? 为该函数图象上的两点,且 x1 ? x2 .
x (I)当 x ? 0 时,讨论函数 g ? x ? ? f ? x ? ? f e 的单调性;

? ?

(II)若函数 f ? x ? 的图象在点 A,B 处的切线重合,求 a 的取值范围.

5 、( 青 岛 市 2015 届 高 三 ) 已 知 函 数 f ( x)?

1 2 x? kx ?1 , g ( x) ? ( x ? 1)ln( x ? 1) , 2

h( x) ? f ( x) ? g ?( x) .
(Ⅰ)若函数 g ( x) 的图象在原点处的切线 l 与函数 f ( x) 的图象相切,求实数 k 的值; (Ⅱ)若 h( x) 在 [0, 2] 上单调递减,求实数 k 的取值范围; (Ⅲ)若对于 ?t ?[0, e ? 1] ,总存在 x1 , x2 ? (?1,4) ,且 x1 ? x2 满 f ( xi ) ? g (t ) (i ? 1, 2) ,其中

e 为自然对数的底数,求实数 k 的取值范围.

6、 (日照市 2015 届高三)已知函数 f ? x ? ? cos ? x ? 数的底数.

? ?

??

x ? , g ? x ? ? e ? f ? ? x ? ,其中 e 为自然对 2?

(I)求曲线 y ? g ? x ? 在点 0, g ? 0? 处的切线方程; (II)若对任意 x ? ? ?

?

?

? ? ? , 0 ,不等式 g ? x ? ? x ? f ? x ? ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围; ? 2 ? ? ?? ? ? 时,方程 g ? x ? ? x ? f ? x ? 的解的个数,并说明理由. , ?4 2? ?

(III)试探究当 x ? ?

7、 (潍坊市 2015 届高三)已知函数 f ( x) ? x ? (Ⅰ)若 f ( x) 无极值点,求 a 的取值范围; (Ⅱ)设 g ( x ) ? x ? (Ⅲ)证明不等式:

1 ? a ln x . x

1 ? (ln x) a ,当 a 取(Ⅰ)中的最大值时,求 g ( x) 的最小值; x

?
i ?1

n

1 2 i (2 i ? 1)

? ln

2 n ?1 (n ? N *) . 2n ? 1
ax ?1( a ? 0 ) . 1 ? x2

8、 (烟台市 2015 届高三)已知函数 f ? x ? ?

?1? 当 a ? 1 时,求函数 f ? x ? 图象在点 ? 0,1? 处的切线方程; ? 2 ? 求函数 f ? x ? 的单调区间; ? 3? 若 a ? 0 ,g ? x? ? x2emx ,且对任意的 x1 ,x2 ??0, 2? , f ? x1 ? ? g ? x2 ? 恒成立,求实数 m
的取值范围. 9、 (淄博市 2015 届高三)设函数 f ? x ? ? (I)当 a ? 3 时,求函数 f ? x ? 的极值; (II)当 a ? 1 ,讨论函数 f ? x ? 的单调性; (III)对任意 x1,x2 ? ? 0, ??? ,且 x1 ? x2 , 有 围. 10、 (泰安市 2015 届高三)已知函数 f ? x ? ? x ? ln ? x ? a ?? a ? 0? 的最小值为 0. (I)求 f ? x ? 的解析式; (II)若对任意 x ? ?0, ?? ? 不等式 f ? x ? ? x ?

1? a 2 x ? ax ? ln x ? a ? R ? . 2

f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? 2 ? a 恒成立,求 a 的取值范 x2 ? x1

mx 恒成立,求实数 m 的取值范围. x ?1

[

参考答案
一、选择题 1、D 2、A 3、A 4、C 二、填空题

1、

(?1) n ( x ? n) ex

三、解答题 1、

2、解:(1)由 f ( x) ? ln x x? 2 得 f ' ( x) ? 1 ? 2 x ?xx ln x , x ? (0, ??) ,..1 分
e xe

所以曲线 y= f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线斜率为 f ' (1) ? ? 1 ,
e f (1) ? 2 ,? 曲线 y= f ( x) 切线方程为 y ? 2 ? ? 1 ( x ? 1) ; e e e

1 3 即 y ? ? x? . e e

??????????????????????4 分
1 ? x ln x , x

(2)由 f ' ( x) ? 0 得 k ? 1 ? x ln x ,令 F ( x) ?
x
0 ? x ? 1 ,? F ?( x) ? ?

x ?1 ? 0, x2

所以 F ( x) 在(0,1]上单调递减,又当 x 趋向于 0 时, F ( x) 趋向于正无穷大,故 F ( x) ? 1 即 k ?1; ????????7 分

(3)由 f '(1) ? 0 ,得 k ? 1 , ???????..8 分
1 令 g ( x) ? ( x 2 ? x) f ' ( x) , 所以 g ( x) ? x ? (1 ? x ? x ln x), x ? (0, ??) , x e

因此,对任意 x ? 0 , g ( x) ? e ?2 ? 1 等价于 1 ? x ? x ln x ?

ex (e ?2 ? 1) , x ?1

由 h( x) ? 1 ? x ? x ln x , x ? (0, ??) .得 h' ( x) ? ? ln x ? 2, x ? (0, ??) , 因此,当 x ? (0, e ?2 ) 时, h' ( x) ? 0 , h( x) 单调递增; x ? (e ?2 , ??) 时, h' ( x) ? 0 , h( x) 单调递减 所以 h( x) 的最大值为 h(e ?2 ) ? e ?2 ? 1 ,故 1 ? x ? x ln x ? e ?2 ? 1 ,????10 分 设 ? ( x) ? e x ? ( x ? 1) ,

? ' ( x) ? e x ? 1 ,所以 x ? (0, ??) 时 ? ' ( x) ? 0 , ? ( x) 单调递增, ? ( x) ? ? (0) ? 0 ,
故 x ? (0, ??) 时, ? ( x) ? e x ? ( x ? 1) ? 0 ,即 所以 1 ? x ? x ln x ? e ?2 ? 1 ?
ex (e ?2 ? 1) . x ?1 e ?2 ? 1 恒成立.?????????13 分 x2 ? x ex ? 1 ,????????12 分 x ?1

因此,对任意 x ? 0 , f ' ( x) ?

3、

4、

5、解: (Ⅰ)

原函数定义域为 (?1, ??) , g ?( x) ? ln( x ? 1) ? 1 ,则 ?????????????????????2分

g (0) ? 0 , g ?(0) ? 1 ,?l : y ? x

1 2 ? ? y ? x ? kx ? 1 ? x 2 ? 2(k ? 1) x ? 2 ? 0 由? 2 ? y?x ? l 与函数 f ( x) 的图象相切,

?? ? 4(k ?1)2 ? 8 ? 0 ? k ? 1 ? 2 ?????????????????????4分 1 2 1 (Ⅱ)由题 h( x ) ? x ? kx ? 1 ? ln( x ? 1) ? 1, h?( x ) ? x ? k ? 2 x ?1 1 令 ? ( x) ? x ? k ? , x ?1 1 x( x ? 2) ? ? 0 对 x ? [0, 2] 恒成立, 因为 ? ?( x) ? 1 ? 2 ( x ? 1) ( x ? 1)2 1 所以 ? ( x) ? x ? k ? ,即 h?( x ) 在 [0, 2] 上为增函数 ????????????6分 x ?1 7 ? h?( x) max ? h?(2) ? k ? 3 h( x) 在 [0, 2] 上单调递减 7 ? h?( x) ? 0 对 x ? [0, 2] 恒成立,即 h?( x) max ? k ? ? 0 3 7 ?k ? ? ???????????????????????????????8分 3 (Ⅲ)当 x ?[0, e ?1] 时, g ?( x) ? ln( x ? 1) ? 1 ? 0
? g ( x) ? ( x ? 1) ln( x ? 1) 在区间 [0, e ?1] 上为增函数, ? x ?[0, e ?1] 时, 1 0 ? g ( x) ? e ????????????????????????????10分 2 1 f ( x) ? x 2 ? kx ? 1 的对称轴为: x ? ? k ,? 为满足题意,必须 ?1 ? ?k ? 4 ??11分 2 1 2 此时 f ( x) min ? f ( ? k ) ? 1 ? k , f ( x ) 的值恒小于 f (?1) 和 f (4) 中最大的一个 2 对于 ?t ?[0, e ?1] ,总存在 x1 , x2 ? (?1, 4) ,且 x1 ? x2 满足 f ( xi ) ? g (t ) (i ? 1, 2) , 1 ?[0, e ] ? ( f ( x) min , min{ f ( ?1), f (4)}) 2 ? ?4 ? k ? 1 ? ?1 ? ? k ? 4 ? ? f ( x) ? 0 ? 1? 1 k 2 ? 0 min ? 2 ? ?1 ? ?? ???????????????????13分 e ? f (4) ? ? 1 ?2 ? 2 e ? 4k ? 9 ?1 ? ? e ? f (?1) ? 1 e ? 3 ? k ?2 ? ?2 2 1 9 ? e ? ? k ? ? 2 ??????????????????????????14分 8 4
6、解: (Ⅰ)依题意得,

0 f?x s x? 0 .? ? e c o s?0 ,1 ? ? s i n x , ?g ? x? x e ? c o g

g ? ? x ? ? ex cos x ? ex sin x, g ?(0) ? 1 ,
所以曲线 y ? g ? x ? 在点 (0, g (0)) 处的切线方程为

y ? x ? 1 ???????????????4 分
? π ? (Ⅱ)等价于对任意 x ? ? ? ,0? , m ≤[ g ? x ? ? x ? f ? x ?]min . ? 2 ? ? π ? 设 h( x) ? g ? x ? ? x ? f ? x ? , x ? ? ? ,0? . ? 2 ? x x 则 h? ? x ? ? e cos x ? e sin x ? sin x ? x cos x ? e x ? x cos x ? e x ? 1 sin x

?

?

?

?

? π ? 因为 x ? ? ? ,0? ,所以 ex ? x cos x ≥ 0, ex ? 1 sin x ≤ 0 , ? 2 ? ? π ? 所以 h? ? x ?… 0 ,故 h( x) 在 ? ? ,0 ? 单调递增, ? 2 ? ? π ? ?? 因此当 x ? ? 时,函数 h( x) 取得最小值 h ? ? ? ? ? ; 2 2 ? 2? π? ? ? 所以 m ≤ ? ,即实数 m 的取值范围是 ? ??, ? ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 2? 2 ? ?π π? (Ⅲ)设 H ( x) ? g ? x ? ? x f ? x ? , x ? ? , ? . ?4 2? ?π π? ?π π? 当 x ? ? , ? 时, H ?( x) ? e x (cos x ? sin x) ? sin x ? xcos x ? 0 ,所以函数 H ( x) 在 ? , ? 上单调 ?4 2? ?4 2? ?π π? 递减,故函数 H ( x) 在 ? , ? 至多只有一个零点, ?4 2? π π 2 4 π π π ?π π? 又 H( ) ? (e ? ) ? 0, H ( ) ? ? ? 0 ,而且函数 H ( x) 在 ? , ? 上是连续不断的, 4 2 4 2 2 ?4 2? ?π π? 因此,函数 H ( x) 在 ? , ? 上有且只有一个零点.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 ?4 2? 7、

?

?

?

?

8、解(1)当 a ? 1 时, f ( x) ?

x ? 1 , f (0) ? 1 , 1 ? x2
?????2 分

f ?( x) ?

( x 2 ? 1) ? x ? 2 x 1 ? x2 ? , ( x 2 ? 1) 2 ( x 2 ? 1) 2

所以 f ?(0) ? 1 ,切线方程为 y ? 1 ? 1 ? ( x ? 0) ,即 x ? y ? 1 ? 0 (2)由题意可知,函数 f ( x) 的定义域为 R ,

?????4 分

f ?( x) ?

a ( x 2 ? 1) ? ax ? 2 x a (1 ? x 2 ) a (1 ? x)(1 ? x) ? 2 ? , ( x 2 ? 1) 2 ( x ? 1) 2 ( x 2 ? 1) 2

?????6 分

当 a ? 0 时, x ? (?1,1) , f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数, x ? (??, ?1), (1, ??) , f ?( x) ? 0 ,

f ( x) 为减函数;

当 a ? 0 时, x ? (?1,1) , f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数, x ? (??, ?1), (1, ??) , f ?( x) ? 0 ,

f ( x) 为增函数.

?????8 分

(3) “对任意的 x1 , x2 ? [0, 2], f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立”等价于“当 a ? 0 时,对任意的 ,当 a ? 0 时,由(2)可知,函数 f ( x) 在 [0,1] 上 x1 , x2 ? [0, 2], f min ( x) ? g max ( x) 成立” 单调递增,在 [1, 2] 上单调递减,而 f (0) ? 1, f (2) ?

2a ? 1 ? 1 ,所以 f ( x) 的最小值为 5

f (0) ? 1 ,

g ?( x) ? 2 xe mx ? x 2e mx ? m ? (mx 2 ? 2 x)e mx ,
当 m ? 0 时, g ( x) ? x ,
2

x ? [0, 2] 时, g max ( x) ? g (2) ? 4 ,显然不满足 g max ( x) ? 1 ,
当 m ? 0 时,令 g ?( x) ? 0 得, x1 ? 0, x2 ? ? (i)当 ?

?????10 分

2 , m

2 ? 2 ,即 ?1 ? m ? 0 时,在 [0, 2] 上 g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 [0, 2] 单调递增,所 m

以 g max ( x) ? g (2) ? 4e 2 m ,只需 4e 2 m ? 1 ,得 m ? ? ln 2 ,所以 ?1 ? m ? ? ln 2

2 2 ? 2 ,即 m ? ?1 时,在 [0, ? ], g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增,在 m m 2 2 4 [? , 2], g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减,所以 g max ( x) ? g (? ) ? 2 2 , m m me 4 2 只需 2 2 ? 1 ,得 m ? ? ,所以 m ? ?1 me e 2 (iii) 当 ? ? 0 ,即 m ? 0 时,显然在 [0, 2] 上 g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增, m
(ii) 当 0 ? ?

g max ( x) ? g (2) ? 4e 2 m , 4e 2 m ? 1 不成立,
综上所述, m 的取值范围是 (??, ? ln 2] 9、

?????13 分 ?????14 分

10、


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