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河南省巩义二中2013-2014学年高二上学期第一次段考数学试题(重点班)


河南省巩义二中 2013-2014 学年高二上学期第一次段考 数学试题(重点班)
注意事项:
1.本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。分别答在答题卡(Ⅰ卷)和答题卷(Ⅱ卷) 上,满分 150 分,时间 110 分钟。 2.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上,将考号、考试科目用铅笔涂写 在答题卡上,答题卡考试类型为 涂黑。 3.第

Ⅱ卷直接答在答题卷上,答卷前将密封线内的项目写清楚。答卷必须用 0.5mm 的黑色签 字笔书写,字迹工整,笔迹清晰。并且必须在题号所指示的答题区内作答,超出答题区域书写无效。 4.只交答题卡和答题卷,不交试题卷。

A 类型.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号

第 Ⅰ 卷(选择题 60 分)
一. 选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1、在 ?ABC 中, a ? 1,b ? 2,A ? 30? , 则 B ? A. 45
?

B. 45 或 135

?

?

C. 135

?

D.无解

2、在 ?ABC 中,已知 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c) ,则 ? A 为 A.30
0

B.45

0

C.60
2

0

D.120

0

3、在 ?ABC 中,若 sin B sin C ? cos A.等腰三角形 B.直角三角形

A ,则 ?ABC 是 2
C.等边三角形 D.等腰直角三角形

4、在数列 ?an ? 中, a1 ? 2,2an?1 ? 2an ? 1 ,则 a101 的值为 A.49 B.50 C.51 D.52

5、设 a1 , a2 , a3 , a4 成等比数列,其公比为 2,则 A.

2a1 ? a 2 的值为 2a 3 ? a 4
1 8
D.1

1 4

B.

1 2

C.

6、 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S6 ? 36, Sn ? 324, Sn?6 ? 144(n ? 6) ,则 n 等于 A.15 B.16 C.17 A ? ABC sin A ? cos A 7、设 是 最小内角,则 的取值范围是 A. (? 2, 2) B. ? ? 2, 2 ? D.18 D. 1, 2 ?

?

?

C. (1, 2)

?

?

?1 x ?( ) ? 8, x ? 0 8、设函数 f ( x) ? ? 3 ,若 f (a) ? 1,则实数 a 的取值范围是( ? x 2 ? x ? 1, x ? 0 ?
A. ( ?2,1) B. ( ?? , ?2) ∪ (1, ??) C.(1,+∞) +∞) 9、下列函数中,在其定义域是减函数的是 A. f ( x ) ? ? x 2 ? x ? 1 B. f ( x ) ? D. f ( x ) ? ln(2 ? x )
1 x 1 C. f ( x ) ? ( )| x| 3



D. ( ?? , ?1) ∪(0,

10、若 f(x)满足 f(-x)=-f(x),且在(-∞,0)内是增函数,又 f(-2)=0,则 xf(x)<0 的解集是 A.(-2,0)∪(0,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,2) D.(-2,0)∪(2,+∞)

11、已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,且满足 f ( x ? 1) ? ? =2-x, 则 f(-2007.5)的值为 A.0.5 B.-1.5 C.1.5

1 ,当 x∈[0,1]时,f(x) f ( x)

D.1
2

12、设奇函数 f(x)在[-1,1]上是增函数,f(-1)=-1.若函数 f(x)≤t -2at+1 对所有 的 x∈[-1,1]都成立,则当 a∈[-1,1]时,t 的取值范围是 1 1 A.-2≤t≤2 B. ? ? t ? C.t ≤ -2 或 t=0 或 t ≥ 2 2 2 1 1 D .t ? ? 或t ? 0或t ? 2 2

第 II 卷(非选择题 90 分)
二.填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13、在数列 ?an ? 中, an =4n-

5 2 , a ? a2 ? a3 ? ... ? an =an +bn,其中 a,b 为常数,则 ab= 2 1

14、已知数列 ?an ? 满足 a 1 =2,且 an ? 1 ? 15、在 ?ABC 中, cos 16、关于函数 f ( x) ? lg
2

1 (n ? 2)则 a2009 = an ?1

A b?c 9 ? ? , c ? 5, ?ABC 的内切圆的面积是 ________ 2 2c 10

x2 ? 1 ( x ? 0) ,有下列命题: | x| ①其图象关于 y 轴对称;

②当

x ? 0 时,

f ( x) 是增函数;当

x ? 0 时,

f ( x) 是减函数;

③ f ( x) 的最小值是 lg 2 ; ④ f ( x) 在区间(-1,0) 、 (2,+∞)上是增函数; ⑤ f ( x) 无最大值,也无最小值.其中所有正确结论的序号是



三.解答题(共 6 个小题,满分 70 分) 17、 (本小题 10 分) 在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项 an ; (2) 若公差 d<0,求其前 n 项和 S n 的最大值

18、 (本小题 12 分) 如图,某人要测量顶部不能到达的电视塔 AB 的高度,他在 C 点测得塔顶 A 的仰角 是 45 , 在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30 ,并测得水平面上的角 ?BCD ? 120 ,CD ? 40m,
? 。
? 。

? 。

求电视 塔 AB 的高度.

19、 (本小题 12 分) 在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asinB= 3b . (1)求角 A 的大小; (2) 若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.

20、 (本小题 12 分) 在 ?ABC 中,已知内角 A ?

? , 边 BC ? 2 3. 设内角 B ? x, 周长为 y. 3

(1)求函数 y ? f (x) 的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值

21、 (本小题 12 分)

b ? 2x 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? x 是奇函数。 2 ?a
(1) 求 a、b 的值; (2) 用定义证明 f(x)在 (??, ??) 上为减函数; (3) 若对于任意 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围。
2 2

22、 (本小题 12 分) 已知函数 f(x)对任意实数 p,q 都满足 f(p+q)=f(p)f(q),且 f(1)= (1) 当 n ? N 时,求 f(n)的表达式;
*

1 3

(2) 设 an =nf(n)( n ? N ), S n 是数列 {an } 的前 n 项和,求证: S n <
*

3 4
n

(3) 设 bn ?

nf (n ? 1) * ( n ? N ) , 数 列 { bn } 的 前 n 项 和 为 T f ( n)

,若

1 1 1 1 m ? 2000 * ? ? ? ... ? < 对 n ? N 恒成立,求最小正整数 m. 2 T1 T2 T3 Tn

巩义二中 2013—2014 学年高二上学期第 1 次段考

数 学 试 题 卷(重点班)参考答案
DBADAD 13. -1 DBDACC 14.

1 2

15.

?

1 ○ 3 ○ 4 16. ○

17、解: (1) 由 a1,2a2+2,5a3 成等比数列

?(2a2 ? 2)2 ? a1 ? 5a3
即 [2(a1 ? d ) ? 2]2 ? a1 ? 5(a1 ? 2d ) 解得 d=4 或-1

?an ? 4n ? 6 或 11-n
(2) 因为 d<0,? an ? 1 ? n

? Sn ?

n( 1 0 ? 1? 1n ) 1 ? ? (n 2 ? 2 n 1 ) 2 2 1 21 441 ? ? (n ? ) 2 ? 2 2 8

? n 取 10 或 11 时, Sn 取最大值 55.
18、解: 由题意可设 AB 的高度为 x 米
。 在 Rt ? ABC 中, ?ACB ? 45 ? BC ? x

在 Rt ? ABD 中, ?ADB ? 30 ? BD ? 3x


在 ? BCD 中, ?BCD ? 120 ,CD=40,


由余弦定理得:

BD2 ? BC 2 ? DC 2 ? 2BC ? DC ? cos ?BCD
即: 3x ? x ? 1600 ? 40 x
2 2

解得 x=40

答:电视塔 AB 的高度是 40 米。 19、解:

(1)由正弦定理及 2asinB= 3b 可得 2sinAsinB= 3sinB 又 B ? (0, ? ) ,所以 sinB ? 0

?s i n A?
?A?

3 2

又锐角 ?ABC

?
3

(2)由余弦定理可得

cos A?

b2 ? c 2 ? a 2 ( b? )c 2 ?2 b c ? 2a 1 ? ? 2b c 2bc 2
28 3

又 a=6,b+c=8 解得 bc=

1 1 28 3 7 3 ? S ? bc sin A ? ? ? ? 2 2 3 2 3

20、

21、

解:(1) 由定义域为 R 的函数 f ( x) ?

b ? 2x 是奇函数 2x ? a

? f (0) ? 0 代入得 b=1

1 ? 2x 此时 f ( x) ? x 又 f(x)=-f(-x) 2 ?a


1 ? 2x 1 ? 2? x ? ? 化简可得 a=1 2x ? a 2? x ? a
2 ?1 2 ?1
x

(2)任取 x1、x2 ? (??, ??) 且 x1 ? x2 则 f ( x) ?

2 2 2(2 x2 ? 2 x1 ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? ? 2 ? 1 2x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)
因为函数 y ? 2 在 R 上单调递增,所以 2
x
x2

? 2 x1

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f(x)是 (??, ??) 上减函数。
(3) 由题意知 f(x)是 R 上单调递减的奇函数

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0
? f (t ? 2t ) ? f (k ? 2t )
2 2

?t 2 ? 2t ? k ? 2t 2
即 k ? 3t ? 2t 在 t ? R 时恒成立。
2

? k ? 3(t ? ) ?
2

1 3

1 3

?k ? ?

1 3

所以 k 的取值范围是 k ? ?

1 3

22、 解:(1)由题意可得当 n ? N 时有
*

f(n+1)=f(n)f(1)又 f(1)=

1 f (n ? 1) 1 即 ? 3 f ( n) 3

1 1 ? 数列{f(n)}是以 为首项 为公比的等比数列 3 3 1 1 1 ? f (n) ? ? ( ) n ?1 ? n 3 3 3 n (2)因为 an =nf(n)= n 3 1 2 3 n S n ? ? 2 ? 3 ? ... ? n 3 3 3 3 1 1 2 3 n Sn ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? n ?1 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 n 两式相减得 S n ? ? 2 ? 3 ? ... ? n ? n ?1 3 3 3 3 3 3 1 1 (1 ? n ) 3 ? n =3 1 3n ?1 1? 3 3 2n ? 3 3 ? 得证 所以 Sn = ? 4 4 ? 3n 4
(3) bn ?

nf (n ? 1) n = 3 f ( n)

1 n(n ? 1) ?Tn ? (1 ? 2 ? 3 ? ... ? n) ? 3 6

?

1 6 1 1 ? ? 6( ? ) Tn n(n ? 1) n n ?1

所以

1 1 1 1 1 ) 由题意可得 = 6(1 ? ? ? ? ... ? n ?1 T1 T2 T3 Tn

m ? 2000 ? 6 恒成立即 m ? 2012 2
所以 m 的最小正整数是 2012


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