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高中数学竞赛教材讲义 第三章 函数讲义


第三章

函数

一、基础知识 定义 1 映射,对于任意两个集合 A,B,依对应法则 f,若对 A 中的任意一个元素 x,在 B 中 都有唯一一个元素与之对应,则称 f: A→B 为一个映射。 定义 2 单射,若 f: A→B 是一个映射且对任意 x, y∈A, x ? y, 都有 f(x) ? f(y)则称之为单射。 定义 3 满射,若

f: A→B 是映射且对任意 y∈B,都有一个 x∈A 使得 f(x)=y,则称 f: A→B 是 A 到 B 上的满射。 定义 4 一一映射,若 f: A→B 既是单射又是满射,则叫做一一映射,只有一一映射存在逆映 射,即从 B 到 A 由相反的对应法则 f-1 构成的映射,记作 f-1: A→B。 定义 5 函数,映射 f: A→B 中,若 A,B 都是非空数集,则这个映射为函数。A 称为它的定义 域, 若 x∈A, y∈B, 且 f(x)=( y 即 x 对应 B 中的 y) , 则 y 叫做 x 的象, x 叫 y 的原象。 集合{f(x)|x∈A} 叫函数的值域。通常函数由解析式给出,此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取 值范围,如函数 y=3 x -1 的定义域为{x|x≥0,x∈R}. 定义 6 反函数,若函数 f: A→B(通常记作 y=f(x))是一一映射,则它的逆映射 f-1: A→B 叫原 函数的反函数,通常写作 y=f-1(x). 这里求反函数的过程是:在解析式 y=f(x)中反解 x 得 x=f-1(y), 然后将 x, y 互换得 y=f-1(x),最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如:函数 y= 反函数是 y=1-

1 的 1? x

1 (x ? 0). x

定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。 定理 2 在定义域上为增(减)函数的函数,其反函数必为增(减)函数。 定义 7 函数的性质。 (1) 单调性: 设函数 f(x)在区间 I 上满足对任意的 x1, x2∈I 并且 x1< x2, 总有 f(x1)<f(x2)(f(x)>f(x2)), 则称 f(x)在区间 I 上是增(减)函数,区间 I 称为单调增(减)区间。 (2)奇偶性:设函数 y=f(x)的定义域为 D,且 D 是关于原点对称的数集,若对于任意的 x∈D, 都有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)是奇函数;若对任意的 x∈D,都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)是偶函数。奇 函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称。 (3)周期性:对于函数 f(x),如果存在一个不为零的常数 T,使得当 x 取定义域内每一个数时, f(x+T)=f(x)总成立,则称 f(x)为周期函数,T 称为这个函数的周期,如果周期中存在最小的正数 T0,则这个正数叫做函数 f(x)的最小正周期。 定义 8 如果实数 a<b,则数集{x|a<x<b, x∈R}叫做开区间,记作(a,b) ,集合{x|a≤x≤b,x∈R} 记作闭区间[a,b],集合{x|a<x≤b}记作半开半闭区间(a,b],集合{x|a≤x<b}记作半闭半开区间 [a, b),集合{x|x>a}记作开区间(a, +∞) ,集合{x|x≤a}记作半开半闭区间(-∞,a]. 定义 9 函数的图象,点集{(x,y)|y=f(x), x∈D}称为函数 y=f(x)的图象,其中 D 为 f(x)的定义域。 通过画图不难得出函数 y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b>0); (1)向右平移 a 个单 位得到 y=f(x-a)的图象; (2)向左平移 a 个单位得到 y=f(x+a)的图象; (3)向下平移 b 个单位得 到 y=f(x)-b 的图象; (4)与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称; (5)与函数 y=-f(-x)的图象关于原 点成中心对称; (6)与函数 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称; (7)与函数 y=-f(x)的图象关于 x 轴对称。 定理 3 复合函数 y=f[g(x)]的单调性,记住四个字: “同增异减” 。例如 y= ∞,2)上是减函数,y=

1 , u=2-x 在(2? x

1 1 在(0,+∞)上是减函数,所以 y= 在(-∞,2)上是增函数。 u 2? x

注:复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证,求导之后是显然的。 二、方法与例题 1.数形结合法。 1 y 例 1 求方程|x-1|= 的正根的个数. 1 x x x 1 x

【解】 分别画出 y=|x-1|和 y=

1 的图象,由图象可知两者有唯一交点,所以方程有一个正根。 x

例 2 求函数 f(x)= x ? 3x ? 6 x ? 13 ?
4 2 2 2 2 2

x 4 ? x 2 ? 1 的最大值。
2 2

【解】 f(x)= ( x ? 2) ? ( x ? 3) ? ( x ? 1) ? ( x ? 0) ,记点 P(x, x-2),A(3,2) ,B(0,

1) ,则 f(x)表示动点 P 到点 A 和 B 距离的差。
2 2 因为|PA|-|PA|≤|AB|= 3 ? ( 2 ? 1) ? 10 ,当且仅当 P 为 AB 延长线与抛物线 y=x2 的交点时

等号成立。 所以 f(x)max= 10. 2.函数性质的应用。 例 3 设 x, y∈R,且满足 ?
2 ? ?( x ? 1) ? 1997( x ? 1) ? ?1 ,求 x+y. 3 ? ( y ? 1 ) ? 1997 ( y ? 1 ) ? 1 ?

【解】 设 f(t)=t3+1997t,先证 f(t)在(-∞,+∞)上递增。事实上,若 a<b,则 f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)>0,所以 f(t)递增。 由题设 f(x-1)=-1=f(1-y),所以 x-1=1-y,所以 x+y=2. 例 4 奇函数 f(x)在定义域(-1,1)内是减函数,又 f(1-a)+f(1-a2)<0,求 a 的取值范围。 【解】 因为 f(x) 是奇函数,所以 f(1-a2)=-f(a2-1),由题设 f(1-a)<f(a2-1)。 又 f(x)在定义域(-1,1)上递减,所以-1<1-a<a2-1<1,解得 0<a<1。 例 5 设 f(x)是定义在(-∞,+∞)上以 2 为周期的函数,对 k∈Z, 用 Ik 表示区间(2k-1, 2k+1], 已知当 x∈I0 时,f(x)=x2,求 f(x)在 Ik 上的解析式。 【解】 设 x∈Ik,则 2k-1<x≤2k+1, 所以 f(x-2k)=(x-2k)2. 又因为 f(x)是以 2 为周期的函数, 所以当 x∈Ik 时,f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2. 例 6 解方程:(3x-1)( 9x 2 ? 6x ? 5 ? 1)+(2x-3)( 4x 2 ? 12x ? 13 +1)=0. 【解】 令 m=3x-1, n=2x-3,方程化为 m( m 2 ? 4 +1)+n( n 2 ? 4 +1)=0. ① 若 m=0,则由①得 n=0,但 m, n 不同时为 0,所以 m ? 0, n ? 0. ⅰ)若 m>0,则由①得 n<0,设 f(t)=t( t 2 ? 4 +1),则 f(t)在(0,+∞)上是增函数。又 f(m)=f(-n),

4 5 4 ⅱ)若 m<0,且 n>0。同理有 m+n=0,x= ,但与 m<0 矛盾。 5 4 综上,方程有唯一实数解 x= . 5
所以 m=-n,所以 3x-1+2x-3=0,所以 x= . 3.配方法。 例 7 求函数 y=x+ 2 x ? 1 的值域。

1 [2x+1+2 2 x ? 1 +1]-1 2 1 1 1 = ( 2 x ? 1 +1)-1≥ -1=- . 2 2 2 1 1 1 当 x=- 时,y 取最小值- ,所以函数值域是[- ,+∞) 。 2 2 2
【解】 y=x+ 2 x ? 1 = 4.换元法。 例 8 求函数 y=( 1 ? x + 1 ? x +2)( 1 ? x 2 +1),x∈[0,1]的值域。 【解】令 1 ? x + 1 ? x =u,因为 x∈[0,1],所以 2≤u2=2+2 1 ? x 2 ≤4,所以 2 ≤u≤2,所以

u?2 2 u2 2?2 u ? 2 ≤ ≤2,1≤ ≤2,所以 y= ,u ∈[ 2 +2,8]。 2 2 2 2 所以该函数值域为[2+ 2 ,8]。
5.判别式法。

x 2 ? 3x ? 4 例 9 求函数 y= 2 的值域。 x ? 3x ? 4
【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. ① 当 y ? 1 时,①式是关于 x 的方程有实根。 所以△=9(y+1)2-16(y-1)2≥0,解得

1 ≤y≤1. 7

又当 y=1 时,存在 x=0 使解析式成立, 所以函数值域为[

1 ,7]。 7

6.关于反函数。 例 10 若函数 y=f(x)定义域、值域均为 R,且存在反函数。若 f(x)在(-∞,+ ∞)上递增,求证: y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)上也是增函数。 【证明】设 x1<x2, 且 y1=f-1(x1), y2=f-1(x2),则 x1=f(y1), x2=f(y2),若 y1≥y2,则因为 f(x)在(-∞,+ ∞) 上递增,所以 x1≥x2 与假设矛盾,所以 y1<y2。 即 y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)递增。

4x ? 1 ,解方程:f(x)=f-1(x). 3x ? 2 2 1 【解】 首先 f(x)定义域为(-∞,- )∪[- ,+∞) ;其次,设 x1, x2 是定义域内变量,且 3 4 5( x2 ? x1 ) 2 4 x2 ? 1 4 x1 ? 1 x1<x2<- ; = >0, ? 3 3x2 ? 2 3x1 ? 2 (3x2 ? 2)(3x1 ? 2) 2 1 所以 f(x)在(-∞,- )上递增,同理 f(x)在[- ,+∞)上递增。 3 4 1 在方程 f(x)=f-1(x)中,记 f(x)=f-1(x)=y,则 y≥0,又由 f-1(x)=y 得 f(y)=x,所以 x≥0,所以 x,y∈[- , 4
例 11 设函数 f(x)= 4 +∞). 若 x ? y,设 x<y,则 f(x)=y<f(y)=x,矛盾。 同理若 x>y 也可得出矛盾。所以 x=y. 即 f(x)=x,化简得 3x5+2x4-4x-1=0, 即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0, 因为 x≥0,所以 3x4+5x3+5x2+5x+1>0,所以 x=1. 三、基础训练题

1.已知 X={-1, 0, 1}, Y={-2, -1, 0, 1, 2},映射 f:X→Y 满足:对任意的 x∈X,它在 Y 中的象 f(x) 使得 x+f(x)为偶数,这样的映射有_______个。 2.给定 A={1,2,3},B={-1,0,1}和映射 f:X→Y,若 f 为单射,则 f 有_______个;若 f 为满 射,则 f 有_______个;满足 f[f(x)] =f(x)的映射有_______个。 3.若直线 y=k(x-2)与函数 y=x2+2x 图象相交于点(-1,-1) ,则图象与直线一共有_______个交 点。 4.函数 y=f(x)的值域为[ , 5.已知 f(x)=

3 4 ],则函数 g(x)=f(x)+ 1 ? 2 f ( x) 的值域为_______。 8 9

1 ,则函数 g(x)=f[f(x)]的值域为_______。 x ?1

6.已知 f(x)=|x+a|,当 x≥3 时 f(x)为增函数,则 a 的取值范围是_______。

1 ,2)内是增函数,则 y=f(x2-1)的单调递减区间为_______。 2 8.若函数 y= ? (x)存在反函数 y= ? -1(x),则 y= ? -1(x)的图象与 y=- ? (-x)的图象关于直线_______
7.设 y=f(x)在定义域( 对称。

1 1 1 ? x ?1? ? =1- ? 2 ,则 f( )=_______。 x x x ? x ? 10. 函数 y= x ? 1 ? x ? 1 , x∈(1, +∞)的反函数是_______。
9.函数 f(x)满足 f ? 11. 求下列函数的值域: (1) y= (4) y=

x ? 2 ? x ? 1 ; (2)y= x ?

1 x

? x?

1 ? 1 ; (3)y=x+2 x ? 1 ; x

x ?1 . x2 ? 2 12. 已知 y ? f ( x) 定义在 R 上,对任意 x∈R, f(x)=f(x+2),且 f(x)是偶函数,又当 x∈[2,3]时,
f(x)=x,则当 x∈[-2,0]时,求 f(x)的解析式。 四、高考水平训练题 1.已知 a∈ ? ?

? 1 ? ,0? , f(x)定义域是(0,1],则 g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域为_______。 ? 2 ?

2.设 0≤a<1 时,f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1 恒为正值。则 f(x)定义域为_______。 3.映射 f: {a, b, c, d}→{1,2,3}满足 10<f(a)·f(b)·f(c)·f(d)<20,这样的映射 f 有_______个。 4.设函数 y=f(x)(x∈R)的值域为 R,且为增函数,若方程 f(x)=x 解集为 P,f[f(x)]=x 解集为 Q, 则 P,Q 的关系为:P_______Q(填=、 ? 、 ? ) 。
?
?

5.下列函数是否为奇函数: (1)f(x)=(x-1)

1? x ; (2)g(x)=|2x+1|-|2x-1| ; (3) 1? x

? (x)= x 2 ? 1 ? 1 ? x 2 ; (4)y= x ? 1 ? x ? 1.
6. 设函数 y=f(x)(x∈R 且 x ? 0),对任意非零实数 x1, x2 满足 f(x1x2)=f(x1)+f(x2),又 f(x)在(0,+ ∞)是增函数,则不等式 f(x)+f(x7.函数 f(x)= ?

1 )≤0 的解集为_______。 2

x?P ,其中 P,M 为 R 的两个非空子集,又规定 f(P)={y|y=f(x), x∈P}, x?M f(M)={y|y=f(x), x∈M},给出如下判断:①若 P∩M= ? ,则 f(P) ∩f(M)= ? ;②若 P∩M ? ? ,则 f(P) ∩f(M) ? ? ;③若 P∪M=R, 则 f(P) ∪f(M)=R;④若 P∪M ? R,则 f(P) ∪f(M) ? R. 其中正确 ?x ?? x
的判断是_______。 8.函数 y=f(x+1)的反函数是 y=f-1(x+1),并且 f(1)=3997,则 f(1998)= _______。 9.已知 y=f(x)是定义域为[-6,6]的奇函数,且当 x∈[0,3]时是一次函数,当 x∈[3,6]时是二 次函数,又 f(6)=2,当 x∈[3,6]时,f(x)≤f(5)=3。求 f(x)的解析式。

10.设 a>0,函数 f(x)定义域为 R,且 f(x+a)=

1 ? 2

f ( x) ? [ f ( x)] 2 ,求证:f(x)为周期函数。 4x ? t ,(1)求 f(α )、 x2 ?1

11.设关于 x 的方程 2x2-tx-2=0 的两根为α ,β (α <β ) ,已知函数 f(x)=

f( β ) ; (2)求证:f(x)在[α ,β ]上是增函数; (3)对任意正数 x1, x2,求证:

? x1 ? ? x 2 ? f? ? x ?x 2 ? 1

? ? ?? ?

? x1 ? ? x 2? ? f? ? x ?x ? ? <2|α -β |. 2 ? 1 ?

五、联赛一试水平训练题 1. 奇函数 f(x)存在函数 f-1(x), 若把 y=f(x)的图象向上平移 3 个单位, 然后向右平移 2 个单位后, 再关于直线 y=-x 对称,得到的曲线所对应的函数是________. 2.若 a>0,a ? 1,F(x)是奇函数,则 G(x)=F(x) ? 3.若 F ?

1? ? 1 ? ? 是________(奇偶性). x ? a ?1 2 ?

?1? x ? ?1? x ? ? =x,则下列等式中正确的有________.①F(-2-x)=-2-F(x);②F(-x)= F ? ?; ?1? x ? ?1? x ?

③F(x-1)=F(x);④F(F(x))=-x. 4.设函数 f: R→R 满足 f(0)=1,且对任意 x,y∈R, 都有 f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2, 则 f(x)=________. 5.已知 f(x)是定义在 R 上的函数,f(1)=1,且对任意 x∈R 都有 f(x+5)≥f(x)+5, f(x+1) ≤f(x)+1。 若 g(x)=f(x)+1-x,则 g(2002)= ________. 6. 函数 f(x)=

1

x 2 ? 2x ? 3 x x ? 的奇偶性是:________奇函数,________偶函数(填是,非) 7. 函数 f(x)= 。 x 2 1? 2
8. 函数 y=x+ x 2 ? 3x ? 2 的值域为________. 9.设 f(x)= ?

的单调递增区间是________.

?1 ?x ? 1

x ? [1,2] , x ? ?2,3?

对任意的 a∈R,记 V(a)=max{f(x)-ax|x∈[1, 3]}-min{f(x)-ax|x∈[1, 3]},试求 V(a)的最小值。

?1 ? x 2 ? y ? 2 10.解方程组: ?1 ? y ? z. (在实数范围内) ?1 ? z 2 ? x ?
11.设 k∈N+, f: N+→N+满足: (1)f(x)严格递增; (2)对任意 n∈N+, 有 f[f(n)]=kn,求证:对任 意 n∈N+, 都有

2k k ?1 n. n≤f(n)≤ k ?1 2

六、联赛二试水平训练题 1.求证:恰有一个定义在所有非零实数上的函数 f,满足: (1)对任意 x≠0, f(x)=x·f ? ? ; (2)对所有的 x≠-y 且 xy≠0,有 f(x)+f(y)=1+f(x+y). 2.设 f(x)对一切 x>0 有定义,且满足: (ⅰ)f(x)在(0,+∞)是增函数;(ⅱ)任意 x>0, f(x)f ? f ( x) ?

?1? ? x?

? ?

1? ? =1,试求 f(1). x?

3. f:[0,1]→R 满足: (1)任意 x∈[0, 1], f(x)≥0; (2)f(1)=1; (3)当 x, y, x+y∈[0, 1]时,f(x)+f(y) ≤f(x+y),试求最小常数 c,对满足(1) , (2) , (3)的函数 f(x)都有 f(x)≤cx. 4. 试求 f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x>0, y>0)的最小值。

5.对给定的正数 p,q∈(0, 1),有 p+q>1≥p2+q2,试求 f(x)=(1-x) [1-q,p]上的最大值。

p 2 ? x 2 + x q 2 ? (1 ? x ) 2 在

?x ? 6.已知 f: (0,1)→R 且 f(x)= ? p ? 1 ? q ?
当 x∈ ?

x ?Q . p x ? , ( p, q) ? 1,0 ? p ? q q

?7 8? , ? 时,试求 f(x)的最大值。 ?8 9?

(n ? 1000 ) ,求 f(100)的值。 (n ? 1000 ) ? 8.函数 y=f(x)定义在整个实轴上,它的图象在围绕坐标原点旋转角 后不变。 (1)求证:方 2
7.函数 f(x)定义在整数集上,且满足 f(n)= ? 程 f(x)=x 恰有一个解; (2)试给出一个具有上述性质的函数。 9.设 Q+是正有理数的集合,试构造一个函数 f: Q+→Q+,满足这样的条件:f(xf(y))= y∈Q+.

?n ? 3 ? f [ f (n ? 5)]

f ( x) , ? x, y

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