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1.3.3函数的最大(小)值与导数(学、教案)


§1.3.3 函数的最大(小)值与导数 课前预习学案
【预习目标】 通过预习初步理解函数的最值的概念,并初步了解最值的求法。 【预习内容】 1 、一般地,在闭区间 ?a, b? 上函数 y ? f ( x) 的图像是一条 的曲线,那么函数

y ? f ( x) 在 ?a, b? 上必有
2、在开区间 ( a, b) 内连续的函数 f (

x)

. 最大值与最小值.

【提 出疑惑】 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案
【学习目标】 1.借助函数图像,直观地理解函数的最大值和最小值概念。 2.弄清函数最大值、最小值与极 大值、极小值的区别与联系,理解和熟悉函数 f ( x) 必有 最大值和最小值的充分条件。 3.掌握求在闭区间 [ a, b] 上连续的函数 f ( x) 的最大值和最小值的思想方法和步骤。 【学习过程】 (一) 情景问题: 极值反映的是函数在某一点附近的局部性质, 而不是函数在整个定义域内的性质. 也就 是说,如果 x0 是函数 y ? f ? x? 的极大(小)值点,那么在点 x0 附近找不到比 f ? x0 ? 更大 (小)的值.但是,在解决实际问题或研究函数的性质时,我们更关心函数在某个区间上, 哪个值最大,哪个值最小.如果 x0 是函数的最 大(小)值点,那么 f ? x0 ? 应满足什么条件 呢? 探究 1: “最值”与“极值”的又有怎样的区别和联系呢?

(二) 合作探究、精讲点拨
1

例题:求 f ? x ? ?

1 3 x ? 4 x ? 4 在 ?0 , 3? 的最大值与最小值 3

王新敞
奎屯

新疆

探究 2:你能总结一下,连续函数在闭区间上求最值的步骤吗?

变式训练:求下列函数的最值: (1)已知 f ( x) ? 6 ? 12 x ? x , x ? [? ,1] ,则函数的最大值为______,最小值为______。
3

1 3

(2)已知 f ( x) ? 6 x 2 ? x ? 2, x ?[1,2] ,则函数的最大值为______,最小值为______。

(3)已知 f ( x) ? x 3 ? 27x, x ?[?3,3] ,则函数的最大值为______,最小值为______。

课后练习与提高
1.下列说法中正确的是( ) A 函数若在定义域内有最值和极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值 B 闭区 间上的连续函数一定有最值,也一定有极值 C 若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极 值 ,则一定有最值 D 若函数在定区间上有最值,则最多有一个最大值,一个最小值,但若有极值,则可有多 个极值 2.函数 f ( x) ? x ? 3ax ? a 在 (0,1) 内有最小值,则 a 的取值范围是(
3



A

0 ? a ?1 B

0 ? a ?1 C

?1? a ?1

D

0?a?

1 2

3.已知函数 f ( x) ? 2 x ? 6 x ? a 在[-2,2]上有最小值-37,
3 2

(1)求实数 a 的值; (2)求 f ( x) 在[-2,2]上的最大值。

2

§1.3.3 函数的最大(小)值与导数
【教学目标】 ⒈使 学 生 理解函数的最大值和最小值的概念,掌 握 可 导 函 数 f ( x) 在 闭 区 间 ?a, b? 上 所 有 点 ( 包 括 端 点 a , b ) 处 的 函 数 中 的 最 大 ( 或 最 小 ) 值 必有的充分条件; ⒉使 学 生 掌 握 用 导 数 求 函 数 的 极 值 及 最 值 的 方 法 和步骤 【教学重难点】 教学重点:利用导数求函数的最大值和最小值的方法. 教学难点:函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系. 【教学过程】 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。 (二)情景导入、 展示目标 教师:我们知道,极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义 域内的性质.也就是说,如果 x0 是函数 y ? f ? x ? 的极大(小)值点,那么在点 x0 附近找不 到比 f ? x0 ? 更大(小)的值.但是,在解决实际问题或研究函数的性质时,我们更关心函 数在某个区间上,哪个值最大,哪个值最小.如果 x0 是函数的最大(小)值点 ,那么 f ? x0 ? 不小(大)于函数 y ? f ? x ? 在相应区间上的所有函数值. 结合已学极值问题设置情境,引导学生延伸到对最值的理解,进而给出本节目标。 (三)合作探究、精讲点拨 (1)提出概念 引导学生观察图中一个定义在闭区间 ?a, b? 上的函 数 f ( x) 的图象.图中 f ( x1 ) 与 f ( x3 ) 是极小值, f ( x2 ) 是极大值.函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最大值是 f (b) ,最 小值是 f ( x3 ) . 引导学生总结如下结论: 一般地, 在闭区间 ?a, b? 上函数 y ? f ( x) 的图像是一条连续不 断的曲线,那么函数 y ? f ( x) 在 ?a, b? 上必有最大值与最小值. 探究 1 : “最值”与“极值”的有怎样的区别和联系呢? (2)引导探究 例题:求 f ? x ? ?
a x1 O x2 x3 b
王新敞
奎屯 新疆

y

x

1 3 x ? 4 x ? 4 在 ?0 , 3? 的最大值与最小值 3
3

王新敞
奎屯

新疆

探究 2:你能总结一下,连续函数在闭区间上求最值的步骤吗? (四)反馈测评 求下列函数的最值: (1)已知 f ( x) ? 6 ? 12 x ? x , x ? [? ,1] ,则函数的最大值为______,最小值为______。
3

1 3

(2)已知 f ( x) ? 6 x 2 ? x ? 2, x ?[1,2] ,则函数的最大值为______,最小值为______。 (3)已知 f ( x) ? x 3 ? 27x, x ?[?3,3] ,则函数的最大值为______,最小值为______。 (五)课堂总结 对极值与最值的区分:一个函数在其定义域上的最值是唯一的;而极值不唯一;函数在 其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一 个
王新敞
奎屯 新疆

求函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最大值与最 小值的步骤如下: ⑴求 f ( x) 在 ( a, b) 内的极值; ⑵将 f ( x) 的各极值与端点处的函数值 f ( a ) 、 f (b) 比较,其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值,得出函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最值 【作业布置】 发导学案、布置预习。

王新敞
奎屯

新疆

4


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