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第三节 圆的方程


第三节

圆的方程

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第三节 备考基础· 查清 1.定点 定长

圆的方程

(x-a)2+(y-b)2=r2

(a,b)

r

x2+y2+Dx

+Ey+F=0 (y0-b)2>r

2

D E - ,- 2 2

1 2 D +E2-4F 2

2.(1)(x0-a)2+

(2)(x0-a)2+(y0-b)2=r2(3)(x0-a)2+(y0-b)2<r2
2

1 [试一试] 解析:由(4m) +4-4×5m>0 知 m< 或 m>1. 4 答案:B

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[练一练] 1.解析:设圆心为(0,b),半径为 r,则 r=|b|, ∴圆的方程为 x2+(y-b)2=b2. ∵点(3,1)在圆上, ∴9+(1-b)2=b2,解得:b=5. ∴圆的方程为 x2+y2-10y=0. 答案:B
2.解析:法一:直线 3x-4y+12=0 与两坐标轴的交点分别为 A(-4,0),B(0,3), ? 3? 所以线段 AB 的中点为 C?-2,2?, |AB|=5.故所求圆的方程为 ? ? ? 3?2 ?5?2 2 (x+2) +?y-2? =?2? . ? ? ? ?
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法二:易得圆的直径的两端点为 A(-4,0), B(0,3),设 P(x,y)为圆上任一点, 则 PA⊥PB. y y-3 ∴kPA· kPB=-1 得 · =-1(x≠-4,x≠0),即 x x+4 x (x+4)+y(y-3)=0. 化简得(x+2) 答案:(x+2)
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2

? 3?2 ?5?2 +?y-2? =?2? . ? ? ? ? ? 3?2 25 +?y-2? = 4 ? ?

2

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热点命题· 悟通 考点一 1. 解析: 设圆心坐标为(0, b), 则由题意知 0-1
2 2



b-2

=1,解得 b=2,故圆的方程为 x2+(y-2)2=1. 答案:A
? ?x=1, 2.解析:由? ? ?x+y=2 ? ?x=1, 得? ? ?y=1,

即所求圆的圆心坐标为(1,1),又由该圆过点(1,0),得其半径为 1,故圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1. 答案:B
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考点二 1.解:原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心, 3为 y 半径的圆.x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以 y 设x=k, 即 y=kx.当直线 y=kx 与圆相切时, 斜率 k 取最大值 |2k-0| 或最小值,此时 2 = k +1 3,解得 k=± 3.

y (如图)所以x的最大值为 3,最小值为- 3.
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2.解:y-x 可看作是直线 y=x+b 在 y 轴上的截距,当直线 y =x+b 与圆相切时,纵截距 b 取得最大值或最小值,此时 |2-0+b| = 2 3,解得 b=-2± 6.(如图)

所以 y-x 的最大值为-2+ 6, 最小值为-2- 6.

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3.解:x2+y2 表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几 何知识知, 在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大 值和最小值.(如图)又圆心到原点的距离为 ?2-0?2+?0-0?2=2, 所以 x2+y2 的最大值是(2+ 3)2=7+4 3, x2+y2 的最小值是??2- 3??2=7-4 3.
? ?

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4.解析:两圆的圆心均在第一象限,先求|PC1|+|PC2|的最
′ 小值,作点 C1 关于 x 轴的对称点 C1 (2,-3),则(|PC1|

+|PC2|)min=|C1 C2|=5 2,所以(|PM|+|PN|)min=5 2- (1+3)=5 2-4. 答案:A



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考点三 [典例] 解:(1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r. 由题设 y2+2=r2,x2+3=r2,从而 y2+2=x2+3.故 P 点的轨迹方程为 y2-x2=1.

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|x0-y0| 2 (2)设 P(x0,y0).由已知得 = . 2 2 又 P 点在双曲线 y2 - x2 = 1
? ?x0-y0=1, ? 2 2 ? y - x ? 0 0=1, ? ?x0=0, 得? ? ?y0=-1. ? ?x0=0, 得? ? ?y0=1. ? ?|x0-y0|=1, 上,从而得 ? 2 2 ? ?y0-x0=1.



此时,圆 P 的半径 r= 3.由

? ?x0-y0=-1, ? 2 2 ? ?y0-x0=1,

此时,圆 P 的半径 r= 3.故圆 P

的方程为 x2+(y-1)2=3 或 x2+(y+1)2=3.
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[针对训练] 解析:设圆上任一点坐标为(x0,y0),
2 则 x0 +y2 0=4,连线中点坐标为(x,y),

? ?2x=x0+4, 则? ? ?2y=y0-2

? ?x0=2x-4, ?? ? ?y0=2y+2.

2 2 2 代入 x2 + y = 4 中得 ( x - 2) + ( y + 1) =1. 0 0

答案:A
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迁移应用· 练透 1.解析:∵点(2a,a+1)在圆 x2+(y-1)2=5 的内部, ∴(2a)2+a2<5,解得-1<a<1. 答案:A 2. 解析: 由于圆心在第一象限且于 x 轴相切, 故设圆心为(a,1), |4a-3| 又圆与直线 4x-3y=0 相切可得 =1,解得 a=2,故 5 圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1. 答案:A 3.解析:由题意知所求圆的圆心坐标为(0,-2),所以所求圆 的方程为 x2+(y+2)2=5. 答案:D
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3 4.解析:lAB:x-y+2=0,圆心(1,0)到 l 的距离 d= , 2 3 则 AB 边上的高的最小值为 -1.故△ABC 面积的最小 2
? 3 ? 1 ? 值是 ×2 2×? -1? ?=3- 2. 2 2 ? ?

答案:3- 2

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5.解:(1)直线 AB 的斜率 k=1,AB 的中点坐标为(1,2).则直线 CD 的方程为 y-2=-(x-1),即 x+y-3=0. (2)设圆心 P(a,b),则由点 P 在 CD 上得 a+b-3=0.① 又∵直径|CD|=4 10,∴|PA|=2 10, ∴(a+1)2+b2=40.②
? ?a=-3, 由①②解得? ? ?b=6 ? ?a=5, 或? ? ?b=-2.

∴圆心 P(-3,6)或 P(5,-2). ∴圆 P 的方程为(x+3)2+(y-6)2=40 或(x-5)2+(y+2)2=40.
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