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基本不等式公开课

时间:2015-05-20


基本不等式
高一备课组 盛刘洋

探究新知

基本不等式1:
对于任意实数a, b, 都有a 2 ? b2 ? 2ab, 当且仅当a ? b时等号成立。

基本不等式2:
a?b ? ab, 2 当且仅当a ? b时等号成立。 如果a, b是正实数, 那么

探究

新知
a?b ? 2 ab

平均数:两正数的算术平均数与几何平均数
数列中项:两正数的等差中项与正的等比中项
D

几何解释:
A

a?b 2

ab

a

O

C

b

B

E

探究新知
对基本不等式1的理解:
(1) 从平均数的角度看:
a ?b ? ab ?a ? 0, b ? 0 ? 2

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
(2) 从数列的角度看:

两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。
(3) 几何解释:

半径长不小于半弦长。

再探新知

基本不等式常用四公式
a 2 ? b2 ? 2ab
a?b 2 ab ? ( ) 2

a ? b ? 2 ab
a 2 ? b2 ab ? 2

牛刀小试

判断下列推理是否正确: 1 1 (1)若a ? R,则由a ? ? 2 a ? ? 2得 a a 1
a? a 的最小值是2

×

(2)若0 ? x ? 1 ,则由 x(1 ? x) ?
x (1 ? x)的最大值是 1 2

x ? (1 ? x ) 1 ? 得 2 2



牛刀小试
(3)若0 ? x ? ?,则由sin x ? 得, sin x ? 4 最小值是4. sin x 4 4 ? 2 sin x ? ?4 sin x sin x

×

(4)若a, b ? 0且a ? b ? 18, a?b 2 18 2 则由a ? b ? ( ) ? ( ) ? 81得 2 2 a ? b的最大值是81 √

例题小结

使用基本不等式解决问题 时,要注意的条件: 正数; 等号成立的条件。

智慧闪光 陶渊明打算用篱笆围一个面积为100平 方米的矩形菊花园,问这个矩形的长、宽各 为多少时,所用篱笆最短,最短篱笆是多少?

y

积定和最小

x

智慧闪光
陶渊明打算用一段长为36m的篱笆围成一矩形菊

花园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菊花园的
面积最大。最大面积是多少?

y

和定积最大

x

例题小结

在求最值的过程中需要满足:一正、二定、三相等。

课堂小结

顶 天 立 地

两转化

三条件

四公式

堂 堂 正 正

课外延伸
4 求函数f (x)=x ? 的值域,并画出函数的图像。 x