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2014年人教A版必修五教案 2 .3等差数列的前n和


2.3 .1 等差数列的前 n 项和(一) 教学目标: 1.掌握等差数列前 n 项和公式及其推导过程和思想方法. 2.会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问题 3.经历公式的推导过程,体会数形结合的数学思想,体验从特殊到一般的研究方法,学会观 察、归纳、反思 教学重点:等差数列 n 项和公式的理解、推导及应 教学难点:灵活应用等差数列前 n 项公式解决

一些简单的有关问题 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 内容分析: 本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上,使学生掌握等差数列求和公式,并 能利用它求和 解决数列和的最值问题 等差数列求和公式的推导,采用了倒序相加法,思路 的获得得益于等到差数列任意的第 k 项与倒数第 k 项的和都等于首项与末项的和这一性质的 认识和发现 通过对等差数列求和公式的推导,使学生能掌握“倒序相加”数学方法 教学过程: 一、复习引入: 首先回忆一下前几节课所学主要内容:
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1.等差数列的定义:

? an - a n?1 =d , (n≥2,n∈N )

2.等差数列的通项公式:

an ? a1 ? (n ? 1)d

(

an ? am ? (n ? m)d 或 an =pn+q (p、q 是常数))
an ? am ③ d= n ? m

3.几种计算公差 d 的方法:

a a ① d= n - n ?1
A?
4.等差中项:

a n ? a1 ② d= n ? 1

a?b ? a , b, 2 成等差数列

a ? an ? a p ? aq 5.等差数列的性质: m+n=p+q ? m (m, n, p, q ∈N )
6.数列的前 n 项和: 数列

?an ?中, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an 称为数列 ?an ?的前 n 项和,记 S n .

“小故事”: 高斯是伟大的数学家,天文学家,高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大 家出道题目: 1+2+?100=?” 过了两分钟,正当大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10?算得不亦乐乎时,高斯站起来回答说: “1+2+3+?+100=5050 教师问: “你是如何算出答案的? 高斯回答说:因为 1+100=101; 2+99=101;?50+51=101,所以
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101×50=5050” 这个故事告诉我们: (1)作为数学王子的高斯从小就善于观察,敢于思考,所以他能从一些简单的事物中发现 和寻找出某些规律性的东西 (2)该故事还告诉我们求等差数列前 n 项和的一种很重要的思想方法,这就是下面我们要 介绍的“倒序相加”法 二、讲解新课: 如图,一个堆放铅笔的 V 形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层 都比它下面一层多放一支,最上面一层放 120 支,这个 V 形架上共放着 多少支铅笔? 这是一堆放铅笔的 V 形架,这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图, 看到此图,大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系,而且 可以用一个式子来表示这种关系,利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么,这个 V 形架上 共放着多少支铅笔呢?这个问题又该如何解决呢?经过分析, 我们不难看出, 这是一个等差 数求和问题? 这个问题, 它也类似于刚才我们所遇到的“小故事”问题, 它可以看成是求等差数列 1, 2, 3, ?, n,?的前 120 项的和.在上面的求解中,我们发现所求的和可用首项、末项及项数 n 来表示, 且任意的第 k 项与倒数第 k 项的和都等于首项与末项的和, 这就启发我们如何去求一般等差 数列的前 n 项的和.如果我们可归纳出一计算式,那么上述问题便可迎刃而解.
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1.等差数列的前 n 项和公式 1: 证明:

Sn ?

n(a1 ? a n ) 2


S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an

S n ? an ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2 ? a1 ②
①+②:

2S n ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? (a3 ? an?2 ) ? ? ? (an ? an ) a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ??
Sn ? n(a1 ? a n ) 2
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2S ? n(a1 ? an ) ∴ n

由此得:

从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2. 等差数列的前 n 项和公式 2: 用上述公式要求

S n ? na1 ?

n(n ? 1)d 2

S n 必须具备三个条件: n, a1 , an
S n ? na1 ? n(n ? 1)d 2

a ? a1 ? (n ? 1)d 但 n
此公式要求

代入公式 1 即得:

S n 必须已知三个条件: n, a1 , d (有时比较有用)

总之:两个公式都表明要求 公式二又可化成式子:

S n 必须已知 n, a1 , d , an 中三个

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Sn ?

d 2 d n ? (a 1 ? ) n 2 2 ,当 d≠0,是一个常数项为零的二次式

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三、例题讲解 例 1 一个堆放铅笔的 V 型的最下面一层放一支铅笔, 往上每一层都比它下面一层多放一支, 最上面一层放 120 支,这个 V 形架上共放着多少支铅笔? 解:由题意可知,这个 V 形架上共放着 120 层铅笔,且自下而上各层的铅笔成等差数列, 记为

?an ?,其中 a1 ? 1, a120 ? 120,根据等差数列前 n 项和的公式,得
120 ? (1 ? 120 ) ? 7260 2
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S120 ?

答:V 形架上共放着 7260 支铅笔 例 2 等差数列-10,-6,-2,2,?前多少项的和是 54? 解:设题中的等差数列为 则

?an ?,前 n 项为 S n

a1 ? ?10, d ? (?6) ? (?10) ? 4, S n ? 54
? 10 n ? n(n ? 1) ? 4 ? 54 2

由公式可得

解之得: n1 ? 9, n2 ? ?3 (舍去) ∴等差数列-10,-6,-2,2?前 9 项的和是 54. 例 3 一凸 n 边形各内角的度数成等差数列,公差是 10°,最小内角为 100°,求边数 n.

n( n ? 1) 2 解:由(n-2)·180=100n+ ×10,
求得 n -17n+72=0,
2

n=8 或 n=9,

当 n=9 时, 最大内角 100+(9-1)×10=180°不合题意,舍去,∴ n=8.

例 4 在等差数列

?an ?中,已知 a6 ? a9 ? a12 ? a15 ? 34,求前 20 项之和.

分析:本题可以用等差数列的通项公式和求和公式求 a1 , d 求解;也可以用等差数列的性 质求解.

解:法一

a ? a9 ? a12 ? a15 ? 4a1 ? 38d ? 34 .由 由 6

S 20 ? 20 a1 ?

20 ?19 d 2

? 20a1 ? 190d ? 5(4a1 ? 38d ) ? 5 ? 34 ? 170

法二



S 20 ?

(a1 ? a20 ) ? 20 ? 10(a1 ? a20 ) a ? a15 ? a9 ? a12 ? a1 ? a20 , 所 以 2 ,而 6

a1 ? a20 ? 17,所以 a20 ? 10?17 ? 170
小结:在解决等差数列有关问题时,要熟练运用等差数列的一些性质.在本题的第二种解法 中,利用

am ? an ? a p ? aq (m ? n ? p ? q) 这一性质,简化了计算,是解决这类问题的常

用方法. 四.巩固练习

?的元素个数,并求这些元素的和 1.求集合 M ? ?m | m ? 7n, n ? N * 且m ? 100

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a a S 3.等差数列{an}的首项为 1 ,公差为 d,项数为 n,第 n 项为 n ,前 n 项和为 n ,请填
写下表:

a1
5

d
10 -2

n
10 8

an

Sn

104 -10 -360

-38

4.在等差数列

?an ? 中, a4 ? 0.8 , a11 ? 2.2 ,求 a51 ? a52 ?

? a80 .

五、小结 本节课学习了以下内容:

1.等差数列的前 n 项和公式 1:

Sn ?

n(a1 ? a n ) 2
n(n ? 1)d 2

2.等差数列的前 n 项和公式 2:

S n ? na1 ?

3.

Sn ?

d 2 d n ? (a 1 ? ) n 2 2 ,当 d≠0,是一个常数项为零的二次式

六、课后作业: P46 . 4 题, 6 题

七、板书设计(略) 八、课后记: 学校:临清二中 2.3.1 学科:数学 编写人:郝伟光 一审:李其智 二审:马英济

等差数列的前 n 项和(一) (学案)

一、 【学习目标】 1、知识与技能: 掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路;会用等差数列的前 n 项和公式 解决一些简单的与前 n 项和有关的问题 2、经历公式的推导过程,体会数形结合的数学思想,体验从特殊到一般的研究方法, 学会观察、归纳、反思 二、 【本节重点】 等差数列前 n 项和公式的理解、推导及应用. 三、 【本节难点】 灵活运用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题 四、 【知识储备】 1、 复习:等差数列的概念、通项公式、等差中项,等差数列的性质 2、 (1)一般形式: (2)通项公式: (3)前 n 项和: 3、等差数列 (1)定义:

a1 , a2 ,?, an

an ? f (n)

Sn ? a1 ? a2 ? ?an

an ? an?1 ? d (n ? 2) ? {an }成等差数列 an ? a1 ? (n ? 1)d ? An ? B

(2)通项公式: 推广: (3)性质:

an ? am ? (n ? m)d

a与b的的等差中项 A ? A ?
① ②

a?b 2

若m ? n ? p ? q, 则am ? an ? a p ? aq 若m ? n ? 2 p, 则am ? an ? 2a p

特别地:

③ 奇数项 偶数项

a1 , a3 , a5 ,?成等差数列,公差为 2d a2 , a4 , a6 ,?成等差数列,公差为 2d

五、 【自主学习】 1、学习等差数列 2、等差数列

?an ?前 n 项和 S n 公式推导过程。

?an ?的公差为 d ,首项为 a1 ,前 n 项和 S n
Sn ? Sn ?
, 。

公式(1) 公式(2)

3、 前 n 项和公式

Sn 与 n 的关系:式变形:

S n ? na1 ?

d d n(n ? 1) d ? n 2 ? (a1 ? )n 2 2 2

六、 [小试身手] 1 等差数列 (1)已知

?a n ? 中,

a1 ? 3, a50 ? 101 则 s50 =__________________
d? 1 2 则 s10 =___________________ d? 1 3 15 an ? sn ? ? 2, 2, 2

a ?3, (2)已知 1

2 等差数列

?a n ? 中,已知



a 1 =______及 n=_____________

3、等差数列

?an ? 中,若 Sn ? 3n2 ? 2n ,则公差 d ?

.

七、[典型例析] 例 1 在等差数列{an}中, (1)已知 a15=10,a45=90,求

s60

(2)已知 S12=84,S20=460,求 S28; (3)已知 a6=10,S5=5,求 a8 和 S8.

例 2 在等差数列{

an }中,已知 a6+ a9+ a12+ a15 = 34,求前 20 项之和

八、[当堂检测] 1.一个等差数列前 4 项的和是 24,前 5 项的和与前 2 项的和的差是 27,求这个等差数列的 通项公式。 2.根据下列各题的条件,求相应等差数列的未知数. 1) 2) 3.

a1 ? 3 , an ? 2n ? 1, Sn ? 195 a2 ? a6 ? 16 , S6 ? 39 求 d , an
d ? 3, a2 ? 7 , n ? 12 ,求 a1 , Sn

求 d, n

4. 在等差数列{ (A)27 (B)28

an }中,a2+a5=19 S5 =40 则 a10 为
(C)29 (D)30

5. 在等差数列{ (A)5 或 7

an }中,d=2, an =11, Sn =35 则 a1 为
(C)7 或-1 (D)3 或-1 ,奇数项的和为 。

(B)3 或 5

6. 已知数列 1,2,3,4, ? ,2n, 则其和为 九、重点概念总结应用

a a S 等差数列{an}的首项为 1 ,公差为 d,项数为 n,第 n 项为 n ,前 n 项和为 n ,请填写下
表:

a1
5

d
10 -2

n
10 8

an

Sn

104 -10 -360

-38

检测答案: 1.

an =2n+1.
5.A

2. d=2 ,n=13 6.

3. a1 ? 4, s12 ? 246

4. C

s2n ? 2n 2 ? n , s奇 ? n 2

学校:临清二中

学科:数学 编写人:郝伟光

一审:李其智 二审:马英济

2.3.2 等差数列的前 n 项和(二) 教学目标 1.知识与技能:进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式;了解等差数列的一些 性质, 并会用它们解决一些相关问题; 会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究

的最值; 2.过程与方法:经历公式应用的过程; 3.情感态度与价值观: 通过有关内容在实际生活中的应用, 使学生再一次感受数学源于生活, 又服务于生活的实用性, 引导学生要善于观察生活, 从生活中发现问题, 并数学地解决问题。 教学重点 熟练掌握等差数列的求和公式 教学难点 灵活应用求和公式解决问题 授课类型:新授课 教学过程 Ⅰ.课题导入 首先回忆一下上一节课所学主要内容:

1.等差数列的前 n 项和公式 1:

Sn ?

n(a1 ? a n ) 2
n(n ? 1)d 2

2.等差数列的前 n 项和公式 2: Ⅱ.讲授新课

S n ? na1 ?

例 1.已知一个等差数列的前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1220, 求其前 n 项和的公式. 解:由题设:

S10 ? 310

S 20 ? 1 2 2 0

? 10 a1 ? 45 d ? 310 ?a ? 4 ?? 1 ? 20 a1 ? 190 d ? 1220 ?d ? 6 : 得: ?

易得: 探究 1.

s n ? 4n ?

n(n ? 1) ? 6 ? 3n 2 ? n 2

sn , s2n , s3n 之间的关系

例 2. 已知数列 求证:⑴ ⑵

?an ?, 是等差数列, S n 是其前 n 项和,

S 6 , S12 - S 6 , S18 - S12 成等差数列;

S n , S 2n ? S n , S 3n ? S 2n ( n ? N ? )成等差数列

证明:设 则 ∵

?an ?, 首项是 a1 ,公差为 d

S 6 ? a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 ? a6
S12 ? S 6 ? a7 ? a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12

? (a1 ? 6d ) ? (a2 ? 6d ) ? (a3 ? 6d ) ? (a4 ? 6d ) ? (a5 ? 6d ) ? (a6 ? 6d ) ? (a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ) ? 36d ? S 6 ? 36d S18 ? S12 ? a13 ? a14 ? a15 ? a16 ? a17 ? a18 ? (a7 ? 6d ) ? (a8 ? 6d ) ? (a9 ? 6d ) ? (a10 ? 6d ) ? (a11 ? 6d ) ? (a12 ? 6d ) ? (a7 ? a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 ) ? 36d ? (S12 ? S 6 ) ? 36d
∴ ∵ ∴

S 6 , S12 ? S 6 , S18 ? S12 是以 36d 为公差的等差数列

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同理可得

S n , S 2n ? S n , S 3n ? S 2n 是以 n 2 d 为公差的等差数列.

{a } 例 3. 已知数列 n 的前 n 项和为
解:根据

sn ? n 2 ?

1 n 2 ,求这个数列的通项公式.

sn ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an



sn?1 ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 , (n>1) 得:
当 n>1 时,

1 1 1 ? ? 2 an ? s n ? s n?1 ? n2 ? n ? ??n ? 1? ? ?n ? 1?? ? 2n ? 2 2 2 ⑴ ? ?
当 n=1 时,

a1 ? s1 ? 12 ?
也满足⑴式

1 3 ?1 ? 2 2
a n ? 2n ? 1 2

所以数列

{an } 的通项公式为:

探究 2. 课本 P51 的探究活动 一般地, 如果一个数列

?an ?, 的前 n 项和为 Sn ? pn2 ? qn ? r , 其中 p、 q、 r 为常数, 且 p?0,

那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是多少? 分析: 由

Sn ? pn2 ? qn ? r ,得 S1 ? a1 ? p ? q ? r

当n ? 2时

an ? Sn ? Sn?1 = ( pn2 ? qn ? r ) ? [ p(n ?1)2 ? q(n ?1) ? r ] = 2 pn ? ( p ? q)

?d ? an ? an?1 ? [2 pn ? ( p ? q)] ? [2 p(n ?1) ? ( p ? q)] =2p

? S1 ? a1 ? p ? q ? r , 当n ? 1 时 an ? ? ?Sn ? Sn?1 ? 2 pn ? ( p ? q), 当n ? 2 时 结论:通项公式是
探究 3. 对等差数列的前 n 项和公式 2:

S n ? na1 ?

n(n ? 1)d 2 可化成式子:

Sn ?

d 2 d n ? (a 1 ? ) n 2 2 ,当 d≠0,是一个常数项为零的二次式,那么它有何作用呢?

例 4. 已知等差数列

2 4 5,4 ,3 , ?? s s 7 7 的前 n 项和 n ,求使得 n 最大的序号 n 的值.

2 4 5 5,4 ,3 , ?? ? 7 7 解:由题意得,等差数列 的公差为 7 ,所以

n? 5 ? 75n ? 5n 2 5? 15 ? 1125 sn ? ?2 ? 5 ? (n ? 1)(? )? ? ? ? ?n ? ? ? 2? 7 ? 14 14 ? 2? 56
15 s 于是,当 n 取与 2 最接近的整数即 7 或 8 时, n 取最大值。
例 5. 在数列{ n 值等于

2

an }中,已知 an ? 25 ? 2n , (n? N*),那么使其前 n 项和 Sn 取得最大值的
.

解:依题意知, a1 >0 ... a12 >0,

a13 <0,

易知 s12 最大,即 n 取 12 时和最大. 小结: 对等差数列前项和的最值问题有两种方法: 利用 当 当

an :
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an >0,d<0,前 n 项和有最大值 可由 an ≥0,且 a n?1 ≤0,求得 n 的值 an <0,d>0,前 n 项和有最小值 可由 an ≤0,且 a n?1 ≥0,求得 n 的值
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利用

Sn :



Sn ?

d 2 d n ? (a 1 ? ) n 2 2 利用二次函数配方法求得最值时 n 的值

Ⅲ.课堂练习 已知等差数列的前 n 项和为 a,前 2n 项和为 b,求前 3n 项和。

2.已知数列

{an } 的前 n 项和为

sn ?

1 2 2 n ? n?3 4 3 ,求这个数列的通项公式.

3. 等差数列{ 4. 等差数列{

an }中, a4 =-15, 公差 d=3, 求数列{ an }的前 n 项和 S n 的最小值.
an }的第 10 项为 23,第 25 项为-22,求此数列

(1)第几项开始为负? (2)前 10 项的和? (3)从首项到第几项之和开始为负? 5. 在等差数列{ Ⅳ.课时小结

an }中,已知 a1=25, S9= S17,问数列前多少项和最大,并求出最大值。

(n ? 1), ?S1 an ? ? * S a ?S n ? S n ?1 (n ? 1, n ? N ). 1. n 表示 n ,
2.差数列前项和的最值问题有两种方法: (1)当 当

an >0,d<0,前 n 项和有最大值 可由 an ≥0,且 a n?1 ≤0,求得 n 的值。
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an <0,d>0,前 n 项和有最小值 可由 an ≤0,且 a n?1 ≥0,求得 n 的值。
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(2)由 3.

Sn ?

d 2 d n ? (a 1 ? ) n 2 2 利用二次函数配方法求得最值时 n 的值

S n , S 2n ? S n , S 3n ? S 2n 是以 n 2 d 为公差的等差数列.

Ⅴ.课后作业 课本 P46 3 题 学校:临清二中 学科:数学 编写人:郝伟光 一审:李其智 二审:马英济

2.3.2 等差数列的前 n 项和(二) 一. 【学习目标】 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式. 2.了解等差数列的一些性质,并会用它们解决求通项公式,求前 n 项和的最值等问题..

二. 【学习重点】熟练掌握等差数列的求和公式 三. 【本节难点】灵活应用求和公式解决相关问题 四. 【知识储备】

1、

Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) na1 ? d 2 2 =

2、 前 n 项和公式

Sn 与 n 的关系:式变形:

S n ? na1 ?

d d n(n ? 1) d ? n 2 ? (a1 ? )n 2 2 2

五. 【自主学习】 阅读并完成课本例 2——例 4 探究下列问题: 1.

?an ?是等差数列, S n 是其前 n 项和,参考课本 46 页 B 组 2 题,探究 sk , s2k , s3k 的关系
S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k ( k ? N ? )仍成等差数列 )
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2. 完成例 3 ,已知数列 {an} 的前 n 项的和为 Sn ,则 Sn 与 Sn-1 之间的递推关系式 是 .由此可推得,数列{an}的通项公式 an= . 3.等差数列{an}的前 n 项和与二次函数的关系是 公差,求最值. 六.[小试身手] 1 数列 .,如何从中读出

?an ?前 n 项和 Sn ? n 2 ? 9n ,且 5 ? ak

? 8 ,则正整数 k ?

_____________

2 设等差数列 3. 等差数列

?an ?前 n 项和 S n ,若 S3 ? 9, S6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ?

?an ?前 n 项和为 sn ,若 s16 ? 0, s17 ? 0 ,则当 n=___________时, sn 最大

七 [典型例析]

例 1 在等差数列{an}中,

s10 ? 100 , s100 ? 10 ,求 s110

{a } 例 2 已知数列 n 的前 n 项和为

sn ? n 2 ?

1 n 2 ,求这个数列的通项公式.

例 3 在等差数列{an}中,已知 a1=25,S9=S17,问数列前多少项和最大,并求出最大值. .

八、[当堂检测] 1. 数列{

an }是等差数列的一个充要条件是
(B)Sn=an2+bn (D) Sn=an2+bn (a ? 0) )

(A)Sn=an2+bn+c (C)Sn=an2+bn+c (a ? 0)

2、等差数列{an}中,d 为公差.若前 n 项的和为 Sn= -n2,则( A.an=2n-1,d= -2 C. an= -2n+1,d= -2 B. an=2n-1,d= 2 D. an= -2n+1,d= 2

3.一个等差数列的前 10 项和为 100,前 100 项和为 10,求它的前 110 项和

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4.已知数列{an}的前 n 项和 明你的结论;

Sn ?

1 2 n ? 2n (n ? N *) 2 , 判断数列{an}是否为等差数列, 并证

5.在等差数列{ 6.设等差数列{

an }中, a4 =-15, 公差 d=3, 求数列{ an }的前 n 项和 S n 的最小值 an }的前 n 项和为 S n ,已知 a3 =12, S12 >0, S13 <0,

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(1) 求公差 d 的取值范围;

S (2) 指出 S1 , S 2 , 3 , ??, S12 中哪一个最大,说明理由
九.总结收获:

王新敞
奎屯

新疆

检测答案; 1.D 2.C

S 3. 110 =-110.

4.是,

an ? n ?

5 2

5. 当 n=8 或 n=9 时,

S8 = S 9 =-108 最小.

24 6.(1)- 7 <d<-3
(2) ∴

S13 =13 a7 <0, ∴ a7 <0, 由 S12 =6( a6 + a7 )>0, ∴ a6 + a7 >0, S 6 最大.

a6 >0,


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