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【一本通】2014届高考数学一轮复习 第14章 几何概型 理


2014 届高考数学(理)一轮复习 14 几何概型
一、选择题 1 1.已知三棱锥 S?ABC,在三棱锥内任取一点 P,使得 VP-ABC< VS?ABC 的概率是( 2 A. C. 7 8 1 2 B. 3 4 D. 1 4 )

1 7 解析:当 P 在三棱锥的中截面与下底面构成的三棱台内时符合要求,由几何概型知,P=1- = . 8 8

答案: A 2.如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩形 ABCD 内部随 机取一个点

Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于(
A. C. 1 4 1 2 B. D. 1 3 2 3

)

△ABE的面积 1 解析:点 E 为边 CD 的中点,故所求的概率 P= = . 矩形ABCD的面积 2 答案:C 3.平面上画了一些彼此相距 2a 的平行线,把一枚半径 r<a 的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与 任何一条平等线相碰的概率是( A. C. ) B. D.

a-r a
2a-r 2a

a-r 2a

a+r 2a

解析:∵硬币的半径为 r, ∴当硬币的中心到直线的距离 d>r 时,硬币与直线不相碰. 2? ∴P= 答案:A 4.已知 P 是△ABC 所在平面内一点, PB + PC +2 PA =0,现将一粒黄豆随机撒在△PBC 内,则黄 豆落在△PBC 内的概率是( A. C. 1 4 2 3 ) B. D. 1 3 1 2
1

a-r? a-r = . 2a a

??? ?

??? ?

??? ?

解析:由题意可知,点 P 位于 BC 边的中线的中点处. 记黄豆落在△PBC 内为事件 D,则 P(D)= 答案:D 1 5.在区间(0,1)内任取两个实数,则这两个实数的和大于 的概率为( 3 A. C. 17 18 2 9 B. D. 7 9 1 18 1 ,满足 x+y> 的 3 部分如图中阴 )

S△PBC 1 = . S△ABC 2

?0<x<1 ? 解析:设这两个实数分别为 x,y,则? ? ?0<y<1

1 1 1 1 17 影部分所示.所以这两个实数的和大于 的概率为 1- × × = . 3 2 3 3 18 答案:A 6.在区间[-π ,π ]内随机取两个数分别记为 a,b,则使得函数 f(x)=x +2ax-b +π 有零点的概 率为( A. C. 7 8 1 2
2 2 2 2

) B. D. 3 4 1 4
2 2 2 2

解析:因为 f(x)=x +2ax-b +π 有零点,所以 Δ =4a -4(π -b )≥0,即 a +b -π ≥0,由几何 2π ×2π -π ×? 概型的概率计算公式可知所求概率为 P= 2π ×2π 答案:B 二、填空题 7.在边长为 2 的正三角形 ABC 内任取一点 P,则使点 P 到三个顶点的距离至少有一个小于 1 的概率是 ________. 解析:以 A、B、C 为圆心,以 1 为半径作圆,与△ABC 交出三个扇形, 时符合要求. 3×? ∴P= 1 π 2 × ×1 ? 2 3 3 2 ×2 4 3π . 6 当 P 落在其内 π?
2

3π 3 = 2= . 4π 4

2



答案:

3 π 6

2

9 8.若 m∈(0,3),则直线(m+2)x+(3-m)y-3=0 与 x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于 的概率为 8 ________. 解析:直线与两个坐标轴的交点分别为( 1 3 3 9 ∴ · · < , 2 m+2 3-m 8 解得 0<m<2, 2-0 2 ∴ P= = . 3-0 3 2 答案: 3 3 3 3 3 ,0), (0, ),又当 m∈(0,3)时, >0, >0, m+2 3-m m+2 3-m

?y≤x ? 9.若不等式组?y≥-x ?2x-y-3≤0 ?

表示的平面区域为 M,x +y ≤1 所表示的平面区域为 N,现随机向

2

2

区域 M 内抛一粒豆子,则豆子落在区域 N 内的概率为________. 解析: 如图, AOB 为区域 M, △ 扇形 COD 为区域 M 内的区域 N,(3,3), A

B(1,-1),
为 P=

S△AOB= × 2×3 2=3,S
= π . 12 π 答案: 12 三、解答题

1 2

扇形 COD

π = ,所以豆子落在区域 N 内的概 率 4

S扇形COD S△AOB

10. 图(2)中实线围成的部分是长方体(图(1))的平面展开图, 其中四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形. 若 1 向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率是 ,求此长方体的体积. 4

解:设长方体的高为 h,则图(2)中虚线围成的矩形长为 2+2h,宽为 1+2h,面积为(2+2h)(1+2h), 2+4h 1 展开图的面积为 2+4h;由几何概型的概率公式知 = ,得 h=3,所以长方体的体积 ? 2+2h? ? 1+2h? 4 是 V=1×3=3. 11.已知函数 f(x)=-x +ax-b.
3
2

(1)若 a,b 都是从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数,求上述函数有零点的概率; (2)若 a,b 都是从区间[0,4]任取的一个数,求 f(1)>0 成立时的概率. 解:(1)a,b 都是从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数的基本事件总数为 N=5×5=25 个. 函数有零点的条件为 Δ =a -4b≥0,即 a ≥4b. 因为事件“a ≥4b”包含(0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),(4,0),(4,1),(4,2), 12 12 2 (4,3),(4,4),所以事件“a ≥4b ”的概率为 P= ,即函数 f(x)有零点的概率为 . 25 25 (2)a,b 都是从区间[0,4]任取的一个数,
2 2 2

f(1)=-1+a-b>0,
即 a-b>1,此为几何概型. 1 ×3×3 2 9 所以事件“f(1)>0”的概率为 P= = . 4×4 32 12.已知 复数 z=x+yi(x,y∈R)在复平面上对应的点为 M. (1)设集合 P={-4,-3,-2,0},Q={0,1,2},从集合 P 中随机取一个数作为 x,从集合 Q 中随机 取一个数作为 y,求复数 z 为纯虚数的概率; (2)设 x∈[0,3],y∈[0,4],求点 M 落在不等式组:

?x+2y-3≤0, ? ?x≥0, ?y≥0 ?

所表示的平面区域内的概率.

解:(1)记“复数 z 为纯虚数”为事件 A. ∵组成复数 z 的所有情况共有 12 个:-4,-4+i,-4+2i,-3,-3+i,-3+2i,-2,-2+i, -2+2i,0,i,2i, 且每种情况出现的可能性相等,属于古典概型,其中事件 A 包含的基本事件共 2 个:i,2i,∴所求事 2 1 件的概率为 P(A)= = . 12 6 (2)依条件可知,点 M 均匀地分布在 平面区域
? ? ?? ? ?

x,y? |?

?0≤x≤3? ? ? ? ? ? ?0≤y≤4?

内,属于几何概型,该平面区域的图形为下图中矩形 OABC 围成的区域,面积

为 S=3×4=12. 而所求事 件构成的平面区域为

? ?? ?

?x+2y-3≤0 ? x,y? |?x≥0 ?y≥0 ?

? ?, ?
4

其图形如图中的三角形 OAD(阴影部分). 3 又直线 x+2y-3=0 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A(3,0)、D(0, ), 2 1 3 9 ∴三角形 OAD 的面积为 S1= ×3× = . 2 2 4 9 S1 4 3 ∴所求 事件的概率为 P= = = . S 12 16

5


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