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2011届数学高考复习名师精品教案:第94课时:第十二章 极限-函数的极限与连续性


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第 94 课时:第十二章

极限——函数的极限与连续性

课题:函数的极限与连续性 教学目标:1.使学生掌握当 x ? x0 时函数的极限;
x 2.了 解 : l i m f ( )? A 的 充 分 必 要 条 件 是 lim f ( x) ? lim f

( x) ? A 掌握
x ? x0

x ? x0

?

x ? x0

?

函数极限的运算法则,并会求简单的函数的极限 教学重点:掌握当 x ? x0 时函数的极限 。运用函数极限的运算法则求极限 教学难点:函数极限法则的运用。对“ x ? x0 时,当 x ? x0 时函数的极限的概 念”的理解。 教学过程: 一.函 数的极限有概念:当自 变量 x 无限趋近于 x0 ( x ? x 0 )时,如果函数
y ? f (x) 无限趋近于一个常数 A,就说当 x 趋向 x0 时,函数 y ? f (x) 的极限是 A,

记作 lim f ( x) ? A 。
x ? x0

特别地, lim C ? C ; lim x ? x 0
x ? x0 x ? x0

二 .对于函数极限有如下的运算法则: 如果 lim f ( x) ? A, lim g ( x) ? B ,那么
x ? xo x ? xo x ? xo

lim[ f ( x) ? g ( x)] ? A ? B lim[ f ( x) ? g ( x)] ? A ? B

x ? xo

x ? xo

lim

f ( x) A ? ( B ? 0) g ( x) B

也就是说,如果两个函数都有极限,那么这两个函数的和、差、积、商组成 的函数极限,分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商(作为除数的函数的 极限不能为 0).

说明:当 C 是常数,n 是正整数时, lim[Cf ( x)] ? C lim f ( x)
x ? xo x ? xo

x ? xo

lim[ f ( x)]n ? [ lim f ( x)]n
x ? xo

这些法则对于 x ? ? 的情况仍然适用.

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三 典例剖析 例 1. 求下列函数在 X=0 处的 极限 (1) lim
x ?1 x ?0 2 x 2 ? x ? 1
2

(2) lim
x ?0

x x

?2 x , x ? 0 ? ( 3) f ( x) ? ?0 , x ? 0 ?1 ? x 2 , x ? 0 ?

例 2 求 lim( x 2 ? 3 x )
x?2

例 3 求 lim

2x3 ? x 2 ? 1 x ?1 x ?1

x 2 ? 16 例 4 求 lim x ?4 x ? 4

分析:当 x ? 4 时,分母的极限是 0,不能直接运用上面的极限运用法则.注意函 数y?
x 2 ? 16 在定义域 x ? 4 内, 可以将分子、 分母约去公因式 x ? 4 后变成 x ? 4 , x?4

由此即可求出函数的极限.

3x 2 ? x ? 3 例 5 求 lim x ?? x2 ?1

分析:当 x ? ? 时,分子、分母都没有极限,不能直接运用上面的商的极限运算 法则.如果分子、分母都除以 x 2 ,所得到的分子、分母都有极限,就可以用商的 极限运用法则计算。
k 总结: lim C ? C , lim x k ? xo (k ? N * ), x ? xo x ? xo

lim C ? C , lim
x ?? x ??

1 ? 0(k ? N * ) k x

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例 6 求 lim

2x 2 ? x ? 4 x ?? 3 x 3 ? x 2 ? 1

分析:同例 5 一样,不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以 x 3 ,就可 以运用法则计算了。 四 课堂练习(利用函数的极限法则求下列函数极限) (1) lim(2 x ? 3) ; 1
x? 2

(2) lim(2 x 2 ? 3x ? 1)
x ?2

(3) lim[( 2 x ? 1)( x ? 3)] ;
x?4

(4) lim

2x 2 ? 1 x ?1 3 x 2 ? 4 x ? 1

(5) lim

x2 ?1 x ? ?1 x ? 1

(6) lim
x ?3

x 2 ? 5x ? 6 x2 ? 9

(7) lim

2x 2 ? x ? 2 x ?? 3 x 3 ? 3 x 2 ? 1

(8) lim

2y2 ? y y ?? y 3 ? 5

五 小结 1.函 数极限存在的条件;如何求函数的极限。 2.有限个函数的和(或积)的极限等于这些函数的和(或积); 3.函数的运算法则成立的前提条件是函数 f ( x), g ( x)? 的极限存在,在进行极限 运算时,要特别注意这一点. 4.两个(或几个)函数的极限至少有一个不存在时,他们的和、差、积、商的 极限不一定不存在. 5.在求几个函数的和(或积)的极限时,一般要化简,再求极限. 六 作业(求下列极限) (1) lim (2 x 3 ? 3x ? 4)
x ??1

(2) lim
x?2

x2 ? 5 x2 ? 3

(3) lim
x ?1

2x x ? x ?1
2

x 2 ? 3x ? 1 ? 1) (4) lim( x ?0 x?4

x2 ? 3 (5) lim 4 x? 3 x ? x 2 ? 1

3x 3 ? x 2 (6) lim 5 x ?0 x ? 3 x 4 ? 2 x 2 x 3 ? 3x 2 ? 2 x x ??2 x2 ? x ? 6

(7) lim
x?2

x?2 x2 ? 4

(8) lim

x ?1 x ? ?1 x 2 ? 1

(9) lim

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(10)lim

( x ? m) 2 ? m 2 x ?0 x x3 ? x x ?? x 4 ? 3 x 2 ? 1

(11)lim( 2 ?
x ??

1 1 ? ) x x2

(12)lim

x2 ?1 x ?? 2 x 2 ? 2 x ? 1

(13) lim

(14) lim(
x ?2

2x3 ? 1 2 ) 3x 3 ? 2

(15) lim

3x 2 ? 11x ? 6 x ?1 2 x 2 ? 5 x ? 3

(16) lim

3x 2 ? 11x ? 6 x ?? 2 x 2 ? 5 x ? 3

(17) lim

x ? x 2 ? 6x 3 x ?0 2 x ? 5 x 2 ? 3 x 3

x ? x 2 ? 6x3 (18) lim x ?? 2 x ? 5 x 2 ? 3 x 3

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