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马鞍山二中2013年实验班招生数学试题卷及答案

时间:2014-06-19


2012 年马鞍山市第二中学创新人才实验班招生考试





【注意事项】 1.本试卷共 4 页,总分 150 分,答题时长 120 分钟,请掌握好时间。 2.请将自己的姓名、准考证号用钢笔或圆珠笔填写在答题卷的相应位置上。 3.考生务必在答题卷上答题,在试卷上作答无效。考试结束后,请将试卷 和答题卷一并交回。
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将正确选项的代号填入答题卷相应表格中 . ) .......... 1.如图 1,已知正方体六个面上分别写有“培养创新人才”六个汉字,根据图中正方体的 三种不同状态显示的汉字,推出 ? 处的汉字是( (A) 培 (B)才 (C)创 ) (D)养

人 新 培 养

培 创 新




图1

1? x 1 1 2.已知实数 x 满足 x ? 2 ? x ? ? 4 ,则 的值是( x x x
2
2

) (D)-1 或 2 )

(A)2 或-3

(B)-2 或 3

(C)-2 或 1

3.若 m 为实数,则函数 y ? (m ? 2) x 2 ? mx ? 1 的图像与坐标轴交点的个数为( (A)3 (B)2 (C)1 或 2 (D)2 或 3

4. 如图 2, 已知 AB 和 AC 是圆的两条弦, 过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D, 过 点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E,与 AB 相交于点 F,AF=3,FB=1,EF= 线段 CD 的长为( (A) )

3 ,则 2

C
(C)

D

6 5

(B)

8 7

4 3

(D)

5 4

A F E
图2

B

数学试卷

第1 页

共4页

5. 若 n 是正整数, 定义 n != n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 3 ? 2 ? 1 (例如:1! ? 1 、2! ? 2 ? 1 ? 2 ), 设 m=1!+2!+3!+4!+?+2011!+2012! ,则 m 的末位数字为( (A)3 (B)5 (C)7 (D)8 )

6.若一个三角形至少有两条边相等,则称它为“规则三角形” .用一个正方体的任意三个顶 点构成的所有三角形中, “规则三角形”的个数为( (A)24 (B)28 (C)32 ) (D)56

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.将答案填在答题卷中相应横线上 . ) ........... 7.在实数范围内分解因式: x 2 y 2 ? x 2 y ? xy 2 ? x ? y ? 1 = .

8.两人进行乒乓球比赛,先赢三局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人 输赢局次的不同视为不同情形)共有 种.

9.若关于 x 的不等式 a ? 2 ? 2a ? x ? .

1 只有一个整数解 2,则实数 a 的取值范围为 2

10.如图 3,一个圆盘作滚动运动,它从 A 位置开始,滚过与它相同的其他六个圆盘的上部 (已知圆盘的半径均为 3cm) , 到达 B 位置, 则点 A 滚过的路径的总长度为 cm.

A

图3

B

11.整数 2012 可表示成 k ( k ? 1 )个连续正整数的和,则 k =



12.已知 0<a<1,且满足 ?a ? 于

? ?

1? ? 2? 29? ? ? a ? ? ? ? a ? ? 20 ,则 ?30a ? 1? 的值等 ? ? 30? 30? 30 ? ? ? ? ? ?

. ( ?x ? 表示不超过 x 的最大整数,如: ?4.3? ? 4 , ?? 4.3? ? ?5 )

数学试卷

第2 页

共4页

三、解答题(本大题共 6 小题,共 78 分.将答案填在答题卷中相应 位置处 ,答题应写出文 ........ ... 字说明、证明过程或演算步骤. )

x 10 5 x3 ? x 2 ? ? ? 13. (满分 12 分)先化简,再求值: , x ? 2 x2 ? 4 x ? 2 x2 ? x ? 2
其中: x

?

1 2 2 ?3

? 2(tan60? ? cos45?) 0 .

14. (满分 13 分)已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 图像的顶点 M 在第二象限,且经过点 A(1,0)和点 B(0,l) ,与 x 轴的另一个交点为 C. (1)求实数 a 的取值范围; (2)当△ABC 面积等于

3 时,求△ABM 的面积. 2

15.(满分 13 分)如图 4,已知:矩形 ABCD 中,AD=7,AB=9,菱形 EFGH 的三个顶 点 E,G,H 分别在矩形 ABCD 的边 AB,CD,DA 上, AH ? 3 ,连接 CF . (1)当 △FCG 的面积为 3 时,求 DG 的长; (2)当 △FCG 的面积最小时,求 DG 的长.

D
H A

G

C
F
B

E
图4

16. (满分 14 分)已知 a、 b 为实数,关于 x 的方程 ( x 2 ? ax ? b) 2 ? 16 ? 0 有且仅有三个 不同的实数根. (1)求证: a ? 4b ? 16 ;
2

(2)若该方程的三个不同实数根恰好为一个直角三角形的三条边长,求 a、 b 的值.

数学试卷

第3 页

共4页

17. (满分 13 分)如图 5,已知: ?ABC 中, AC ? BC ,过 A 、 C 两点的圆分别交 AB 、

BC 于点 D 、 E ,设 AE 、 CD 相交于点 F , AC ? AF .
(1)求证: DF ? DB ; (2)求 ?ADC 的度数.

C F E D
图5

B

A

18. (满分 13 分)2012 年全国中学生生物学奥赛于 8 月 17 日在我校举行,为了做好来宾的 接待工作,现决定从我校计划招生的 1000 名高一新生(学号依次编为 1,2,?,1000) 中招募若干学生为青年志愿者, 但要使剩下的学生中没有 一个人的学号数等于另外两人 .. 的学号数的乘积 . .. (1)学号为 1 的学生强烈要求成为志愿者,他的要求是否可以实现?若可以,请给出一 个符合要求的安排方案;若不可,请说明具体理由; (2)被选为青年志愿者的学生至少要有多少人?给出你的选取方案,并说明理由.

2012 年马鞍山市第二中学创新人才实验班招生考试 数学试题答案及评分标准
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分. )
题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 C 5 A 6 C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分. )
7、 ( xy ? 1)(x ? 1)( y ? 1) 10、 16? 8、 11、 20 8 9、

3 ? a ?1 4
21

12、

三、解答题(本大题共 6 小题,共 78 分.答题应写出文字说明 、证明过程或演 ......... ...... 算步骤 ) ...

数学试卷

第4 页

共4页

13.解:化简:原式=

x 10 x?2 x 2 ( x ? 1) ? ? ? x ? 2 ( x ? 2)( x ? 2) 5 ( x ? 2)( x ? 1)
?????????????8 分 ????????10 分

?

x?2 x2 ( x ? 2)( x ? 1) ? ? ? x ?1 x?2 x?2 x?2
求值:? x ?

1 2 ?1

? 2( tan60? - cos 45?) 0 ? 2 ? 1

?原式 ?

2

????????12 分

14.解: (1)由题意知 a ? 0 . ????????1 分 因为图像过点 (0,1) ,所以 c ? 1 ,又图像过点 (1,0) ,所以 a ? b ? 1 ? 0 ,即 b ? ? a ? 1 ,由图 像 知 , 当 x ? ?1 时 , y ? 0 , 所 以 a ? b ? 1 ? 0 , 所 以 a ? ?1 , 故 a 的 取 值 范 围 为

?1 ? a ? 0 .
2 (2)由(1)得, y ? ax ? (a ? 1) x ? 1 ,令 y ? 0 ,得 x1 ?

????????5 分

1 , x2 ? 1 , a

∴C(

1 ,0) , a

∴ AC ? 1 ?

1 ,OA=OB=1. a
????????8 分

由 S ?ABC ?

1 1 1 1 3 AC ? OB ? (1 ? ) ? 1 ? ,解得 a ? ? . 2 2 2 a 2

于是, y ? ? ∴M( ?

1 2 1 1 1 9 x ? x ? 1 ? ? (x ? )2 ? , 2 2 2 2 8
??????11 分

1 9 , ) .所以, S ?ABM ? S ?AOB ? S ?BOM ? S ?AOM 2 8

?

1 1 1 1 9 3 ? 1? 1 ? ? 1? ? ? 1? ? . 2 2 4 2 8 16
D

?????????13 分

15. 解: (1)作 FM ? DC , M 为垂足,连结 GE ,

AB ∥ CD ,?∠AEG ? ∠MGE , HE ∥ GF ,?∠HEG ? ∠FGE . ?∠AEH ? ∠MGF .

G

C

M F

H
A E B

在 △ AHE 和 △MFG 中,∠A ? ∠M ? 90 , HE ? FG ,

?△ AHE ≌△MFG . ? FM ? HA ? 3 ,即无论菱形 EFGH 如何变化,
点 F 到直线 CD 的距离始终为定值 3. 因此 S ?FCG ?

????4 分

1 ? 3 ? GC ? 3 ,解得 GC ? 2 , DG ? 7 . 2
数学试卷 第5 页 共4页

????6 分

(2)设 DG= x ,则由第(1)小题得, S ?FCG ?

3 (9 ? x) , 2
????10 分

2 2 2 又在 △ AHE 中, AE ? AB ? 9 ,∴ HE ? AH ? AE ? 90,

∴ x ? 16 ? 90 , x ?
2

74 ,
????13 分

∴ S ?FCG 的最小值为

3 (9 ? 74 ) ,此时 DG= 74 . 2
2

16.解: (1)由原方程得 x ? ax ? b - 4 ? 0 或

① ② ????1 分 ????3 分

x 2 ? ax ? b ? 4 ? 0

其判别式分别为 ?1 ? a 2 ? 4b ? 16, ? 2 ? a 2 ? 4b ? 16

因原方程有三个不等的实数根,且显然①、②无公共根,所以,方程①、②中有一个 方程有两个不等实数根,而另一个方程有两个相等实根,又显然 ?1 ? ? 2 ,所以

? 2 ? 0 ,即 a 2 - 4b ? 16 .

????????????6 分

(2)设方程①的两个不等实数根为 x1、x 2 ,方程②的根为 x3 ,不妨设 x1 ? x 2 , 由 x1 ? x2 ? ?a ? 2 x3 可知 x1 ? x3 ? x2 ,a<0.
2 2 2 2 依题意,得 x1 ,即 ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? x3 , ? x2 ? x3

????????8 分 ??????10 分

由根与系数关系可得,

? a? ? a a ? 4(b ? 4) ? ? ? ? , ? 2?
2
2 2

2

?????12 分

因为 a<0,所以, 15a ? 64a ? 256 ? 0 ,联立 a ? 4b ? 16 ,解得

a ? ?16 2 , b ? 124 .

????????????????14 分

17. (1)证明:连接 DE,∵AC=AF,∴∠ACF=∠AFC, ∵∠ACF=∠DEF,∠AFC=∠DFE, ∴∠DEF=∠DFE, ∴DE=DF. ??????????3 分 又∵AC=BC,∴∠CAB=∠B, ∵∠BED=∠CAB, A ∴∠BED=∠B,∴DB=DE, ∴DF=DB. ??????????6 分 (2)解:由(1)知,DF=DE=DB,∴点 D 是△BEF 的外心, ∴

C

F

E B

D

1 ∠BDF+∠BEF=180°, 2
数学试卷 第6 页 共4页

????????10 分



1 (180°-∠ADC)+(180°-∠AEC)=180°, 2

∵∠ADC=∠AEC, 解得 ∠ADC=60°. ???????13 分 (2)另解:由(1) ,可设∠DEF=∠DFE=x°,∠B=∠BED=y°, 则∠BDF=∠EDF+∠BDE=180°-2x°+180°-2y°=360°-2(x+y)°, ∠BEF=(x+y)°. ????????????????10 分 又∠ADC=∠AEC,所以∠BDF=∠BEF, 即 360-2(x+y)=x+y,解得 x+y=120, 所以,∠BDF=∠BEF=120°,于是,∠ADC=60°. ??????13 分 18.解:(1) 学号为 1 的学生要求可以实现。 ????1 分 例如:若安排学号为 1 到 50 的学生为志愿者,因为 51 ? 1000,所以剩下的学生中
2

明显没有一个人的学号数等于另外两人的学号数的乘积。 (方案不唯一,安排合理均给分。 )
2

????4 分

(2)因为 32 ? 1000,若两个学生的学号都大于或等于 32,则其积大于 1000,不可 能等于另一个学生的学号;若两学号中有一个为 1,则 1 与另一学号的积等于该学号,明显 不等于第三个学生的学号。因此,若剩下的学生学号都大于或等于 32 或等于 1,均没有学 生的学号等于另外两人的学号的积。 现取学号为 2,3, ?31的学生,则剩下的学生满足要求,故选为青年志愿者人数要求大 于或等于 30。 又 取 抽 屉 ????8 分

?2,61,2 ? 61?, ?3,60,3 ? 60?,?, ?31,32,31? 32?

( 组 成 方 法 为 :

?k ,63 ? k , k (63 ? k )? 共

30 组) ,这些写出的学号互不相同(因函数 y ? x(63 ? x) 在

2 ? x ? 32 时, y 随 x 增加而增加) ,且都在 1~1000 之间。若选出学生数小于 30,则上
述数组中至少有一组中的三个数都没有选到,于是剩下的学生有人的学号等于另外两人学 号的积。 综上所述,被选为青年志愿者至少要有 30 人。

数学试卷

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