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三角函数单调性、值域练习43答案


学科 学案序号 课型

数学 43 复习课

课题 三角函数单调性、值域练习 使用时间 2015 年 5 月 备课、 审核教师 辛卫国
) π C.[0, ] 2 π D.[ ,π] 2

1.函数 y=cos 2x 在下列哪个区间上是减函数( π π A.[- , ] 4 4 π 3π B.[ , ] 4 4



π 解析:选 C. 若函数 y=cos 2x 递减,应有 2k π≤2x≤π+2k π,k ∈Z,即 k π≤x≤ +k π,k ∈Z, 2 π 令 k =0 可得 0≤x≤ . 2 π? 2.函数 y=2sin? ?ωx+4?(ω>0)的周期为 π,则其单调递增区间为( A. ? ?k π- C. ? ?k π- 3π π ,k π+ ? (k ∈Z) 4 4? B.? ?2k π- D.? ?2k π- 3π π ,2k π+ ? (k ∈Z) 4 4? 3π π ,2k π+ ? (k ∈Z) 8 8? )

3π π ,k π+ ? (k ∈Z) 8 8?

2π π π π π 解析:选 C. 周期 T=π,∴ =π,∴ω=2. ∴y=2sin? 2x+ ? . 由- +2k π≤2x+ ≤2k π+ , ? ? ω 4 2 4 2 3 π k ∈Z,得 k π- π≤x≤k π+ ,k ∈Z. 8 8 π 3.若函数 y=cos 2x 与函数 y=sin(x+φ)在区间[0, ]上的单调性相同,则 φ 的一个值是 2 A. π 6 B. π 4 π C. 3 π D. 2

π 解析:选 D. 由函数 y=cos 2x 在区间[0, ]上单调递减,将 φ 代入函数 y=sin(x+φ)验证 2 π 可得 φ= . 2

敦品励行

勤学致知

-1-

π 4. 设函数 f (x)=|sin(x+ )|(x∈R),则 f (x)( 3 A.在区间[ 2π 7π , ]上是增函数 3 6

) π B.在区间[-π,- ]上是减函数 2 π 5π D.在区间[ , ]上是减函数 3 6

π π C.在区间[ , ]上是增函数 3 4

π π π π 解析: 选 A. f (x)的增区间为 k π≤x+ ≤k π+ (k ∈Z), 即 k π- ≤x≤k π+ (k ∈Z). 当 k=1, 3 2 3 6 则为 2π 7π 2π 7π ≤x ≤ ,故在其子区间[ , ]上为增函数. 3 6 3 6

1 π 5.函数 y=3tan( x+ )的增区间为_______ 2 4 3π π 答案:(2k π- ,2k π+ ),(k ∈Z) 2 2 π π 6.已知函数 y=tanωx 在(- , )内是减函数,则 ω 的取值范围是________. 2 2 π π π 解析:y=tanωx 在(- , )是减函数,∴ω<0 且 ≥π?-1≤ω<0. 答案:-1≤ω<0 2 2 | ω| π x 7. 求函数 f (x)=3tan( - )的周期和单调递减区间; 6 4 π x x π π π π x π π 解: (1)因为 f(x)=3tan( - )=-3tan( - ), 所以 T= = =4π. 由 k π- < - <k π+ (k 6 4 4 6 ω 1 2 4 6 2 4 ∈Z), 4π 8π x π 4π 8π 得 4k π- <x<4k π+ (k ∈Z). 因为 y=3tan( - )在(4k π- , 4k π+ )(k ∈Z)内单调递 3 3 4 6 3 3 x π 4π 8π 增,所以 f(x)=-3tan( - )在(4k π- ,4k π+ )(k ∈Z)内单调递减.故原函数的周期为 4 6 3 3 4π 8π 4π,单调递减区间为(4k π- ,4k π+ )(k ∈Z). 3 3 1 8.函数 f (x)=( )|cos x|在[-π,π]上的单调递减区间为________. 3 π π 解析:只需求出 y=|cos x|在[-π,π]上的单调递增区间.答案:[- ,0]和[ ,π] 2 2 敦品励行 勤学致知
-2-

π π 9.下列函数中,周期为 π,且在[ , ]上为减函数的是________( 填序号). 4 2 π ①y=sin(2x+ ); 2 π ②y=cos(2x+ ); 2 π ③y=sin(x+ ); 2 π ④y=cos(x+ ). 2

π π π 解析:因为函数的周期为 π,所以排除③④,又因为 y=cos(2x+ )=-sin2x 在[ , ]上 2 4 2 π π π 为增函数, 所以②不符合, 只有函数 y=sin(2x+ )的周期为 π, 且在[ , ]上为减函数. 答 2 4 2 案:① π π 10.函数 y=2sin? -x? -cos? +x ?(x∈R)的单调递增区间是__________. ?3 ? ?6 ? π π π π π π π 解析: 因为( -x)+( +x)= , 所以 y=2sin( -x)-sin( -x)=sin( -x)=-sin(x- ). 由 3 6 2 3 3 3 3 π π 3 5 11 2k π+ ≤x- ≤2k π+ π(k ∈Z),得 2k π+ π≤x≤2k π+ π(k ∈Z),故原函数的单调递增 2 3 2 6 6 5 11 5 11 区间是[2k π+ π,2k π+ π](k ∈Z).答案:[2k π+ π,2k π+ π](k ∈Z) 6 6 6 6 11.求下列函数的单调递增区间: (1) π y=1+2sin( -x); 6 y=log1cos x.
2

(2)

π π π 解:(1)y=1+2sin( -x)=1-2sin(x- ).令 u=x- ,则根据复合函数的单调性知 ,所 6 6 6 π π 3π 给函数的单调递增区间就是 y=sin u 的单调递减区间,即 +2k π≤x- ≤ +2k π(k ∈Z), 2 6 2 2 5 π 2 5 亦即 π+2k π≤x≤ π+2k π(k ∈Z),故函数 y=1+2sin( -x)的单调递增区间是[ π+2k π, π 3 3 6 3 3 +2k π](k ∈Z). π π 1 (2)由 cos x>0,得- +2k π<x< +2k π,k ∈Z. ∵ <1,∴函数 y=log 1cos x 的单调递增区间 2 2 2
2

π π π 即为 u=cos x,x∈(- +2k π, +2k π)(k ∈Z)的递减区间,∴2k π≤x< +2k π,k ∈Z. 故函 2 2 2 敦品励行 勤学致知
-3-

π 数 y=log1cos x 的单调递增区间为[2kπ, +2kπ)(k∈Z). 2
2

?π? ? 12.已知函数 f (x)=sin(2x+φ),其中 φ 为实数且|φ|<π,若 f (x)≤? ?f?6? ?对 x∈R 恒成立,
π? 且 f? ?2?>f (π),求 f (x)的单调递增区间. π π π π 5π 解: 由 f(x)≤?f? ??对 x∈R 恒成立知 2× +φ=2k π± (k ∈Z), 得到 φ=2k π+ 或 φ=2k π- ? ?6?? 6 2 6 6 (k ∈Z), π 5π π 5π π 代入 f (x)并由 f? ?>f (π)检验得,φ 的取值为- ,所以由 2k π- ≤2x- ≤2k π+ (k ∈Z), ?2? 6 2 6 2 π 2π? 得 f (x)的单调递增区间是? ?k π+6,k π+ 3 ?(k ∈Z). π π 13.已知 ω>0,函数 f(x)=sin(ωx+ )在( ,π)上单调递减,则 ω 的取值范围是________. 4 2 π π π 解析:因为 ω>0,f(x)=sin(ωx+ )在( ,π)上单调递减,所以函数 f (x)=sin(ωx+ )的周 4 2 4 π π ωπ π π π 期 T≥2(π- )=π. 又 ω>0,所以 0<ω≤2. 因为 <x<π,所以 + <ωx+ <ωπ+ ,所 2 2 2 4 4 4 0<ω≤2, ?ω ? π+π≥π, 1 5 以? 2 4 2 解得 ≤ω≤ . 2 4 π 3π ? ?ωπ+4≤ 2 , 1 5 答案:[ , ] 2 4 1 14. 函数 y=( )sin x 的单调递增区间为_______ 2 解析:设 u=sinx,由复合函数的单调性知求原函数的单调递增区间即求 u=s inx 的单调 π 3π π 3π 递减区间, 结合 u=sinx 的图象知: 2k π+ ≤x≤2k π+ , k ∈Z. 答案: [2k π+ , 2k π+ ](k 2 2 2 2 ∈Z) 敦品励行 勤学致知
-4-

15.y=sin x-|sin x|的值域是( A.[-1,0]

) C.[-1,1] sin x≥0 sin x<0 ?-2≤y≤0. D.[-2,0]

B.[0,1]
? ? 0, ?2sin x, ?

解析:选 D. y=sin x-|sin x|=?

16. 函数 f (x)=-2sin2 x+2cos x 的最小值和最大值分别是( A.-2,2 B.-2, 5 2 1 C.- ,2 2 5 D.- ,2 2

)

1 2 5 解析:选 D.f(x)=-2sin2 x+2cos x=2cos2 x+2cos x-2=2?cos x+ ? - .∵-1≤cos ? 2? 2

x≤1,∴当 cos x=- 时,f (x)min =- ,当 cos x=1 时,f(x)max=2. 故选 D.
sin x+1 17. 对于函数 y= (0<x<π),下列结论正确的是( sin x A.有最大值而无最小值 C.有最大值且有最小值 解析:选 B. ∵y= 选 B. π π 18. 函数 y=tan x(- ≤x≤ 且 x≠0)的值域是( 4 4 A.[-1,1] B.[-1,0)∪(0,1] ) C.(-∞,1] D.[-1,+∞) )

1 2

5 2

B.有最小值而无最大值 D.既无最大值也无最小值

sin x+1 1 =1+ ,又 x∈(0,π),∴sin x∈(0,1].∴y∈[2,+∞),故 sin x sin x

解析:选 B. 根据函数的单调性可得. 19.函数 y=|tan 2x|是( A.周期为 π 的奇函数 π C.周期为 的奇函数 2 ) B.周期为 π 的偶函数 π D.周期为 的偶函数 2

π 解析:选 D.f (-x)=|tan(-2x)|=|tan 2x|=f (x)为偶函数,T= . 2 20. 函数 y=sin2 x+sinx-1 的值域为( 敦品励行 勤学致知 )
-5-

A.[-1,1]

5 B.[- ,-1] 4

5 C.[- ,1] 4

5 D.[-1, ] 4

12 5 5 2 解析:选 C. 令 sinx=t,t∈[-1,1],∴y=t +t-1=(t+ ) - ,∵t∈[-1,1],∴y∈[- , 2 4 4 1]. 1 21.函数 y=sinx 的定义域为[a,b],值域为[-1, ],则 b-a 的最大值和最小值之和为 2 A. 4π 3 B.2π C.4π 3π D. 2

4π 2π 解析:选 B. 画出图象可知,b-a 的最大值为 ,最小值为 ,∴最大值和最小值的和为 3 3 4π 2π + =2π 3 3 22.函数 y=4cos2 x+4cosx-2 的值域为 A.[-2,6] B.[-3,6] C.[-2,4] D.[-3,8]

1 解 析 : 选 B.y = 4cos2 x + 4cosx - 2 = 4(cos2 x + cosx ) - 2 = 4(cos x + )2 - 3. ∵ - 2 1 1≤cosx≤1,∴ymin =-3,ymax =4(1+ )2 -3=6. 2 π π π 23. 函数 y=tan( -x)(x∈[- , ]且 x≠0)的值域为( 2 4 4 A.[-1,1] B.(-∞,-1]∪[1,+∞) C.(-∞,1) ) D.[-1,+∞)

π π π π 3π π π π 解析: 选 B. ∵- ≤x≤ , ∴ ≤ -x≤ 且 -x≠ . 由函数 y=tan x 的单调性, 可得 y=tan( - 4 4 4 2 4 2 2 2 x)的值域为(-∞,-1]∪[1,+∞).

24. 函数 y=3-sin x-4cosx 的最小值为( A.-2 B.-1

2

) C.-6 D.-3

解析: 选 B.y=3-sin2 x-4cosx=3-(1-cos2 x)-4cosx=cos2 x-4cosx+2=(cosx-2)2 -2. ∵-1≤cosx≤1,∴ymin =(1-2)2 -2=-1. 敦品励行 勤学致知
-6-

1 1 25. 已知函数 f(x) = (sinx +cos x) - |sinx - cos x| ,则 f (x) 的值域是 2 2 ( ) B. [- 2 , 1] 2 2 C. [-1, ] 2 D. [-1, - 2 ] 2
?cos x?sinx≥cos x?, ? ?sinx? sinx<cos x? . ?

A. [-1,1]

解析: 选 C. 当 sinx≥cos x, f (x)=cos x, 当 sinx<cos x, f (x)=sinx, ∴f (x)=? 2 ],故选 C. 2

图象如图实线表示.所以值域为[-1,

π 26. 函数 y=3+3cos(2x+ )的值域是________. 3 π 解析:-1≤cos(2x+ )≤1,∴0≤y≤6. 答案:[0,6] 3 27. 已知函数 y=3cos(π-x),则当 x=________时函数取得最大值. 1 π π π 解析:当函数取最大值时, x- =2k π(k ∈Z),x=4k π+ (k ∈Z).答案:4k π+ (k ∈Z) 2 4 2 2 28.函数 y=sin2 x-6sinx+10 的最大值是________,最小值是________. 解析:令 sinx=t,t∈[-1,1],则 t2 -6t+10=(t-3)2 +1,∴最大值为 17,最小值为 5. 答案:17 5

1 π? 29. 函数 y=3cos? ?2x- 4? 在 x=________时,y 取最大值. 1 π π π 解析:当函数取最大值时, x- =2k π(k ∈Z),x=4k π+ (k ∈Z).答案:4k π+ (k ∈Z) 2 4 2 2 π π 30.已知函数 f (x)=2sin(x+ ),x∈[0, ],则 f (x)的值域是________ 3 3 π π π 2 π 3 π 解析:x∈[0, ],x+ ∈[ , π].sin(x+ )∈[ ,1],则 2sin(x+ )∈[ 3,2].答案: 3 3 3 3 3 2 3 [ 3,2] π 31.若函数 f (x)=2sinωx(0<ω<1)在区间[0, ]上的最大值为 2,则 ω=________. 3

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勤学致知

-7-

π π 解析:由 0<ω<1 知,函数 f (x)在[0, ]上单调递增,所以 f( )= 2,则可求出 ω. 3 3 3 答案: 4 1 π π 32. 函数 y= (- ≤x≤ 且 x≠0)的值域是________ tanx 4 4 π π 解析:当 x∈[- ,0)∪(0, ]时,tanx∈[-1,0)∪(0,1],∴y∈(-∞,-1]∪[1,+∞). 4 4 答案:(-∞,-1]∪[1,+∞) π 33. f (x)=2sin ωx(0<ω<1),在区间?0, ?上的最大值是 2,则 ω=_______ ? 3? π 34. .已知函数 f (x)= 2asin(x- )+a+b. 4 (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的单调递减区间; (2)当 a<0 时,f (x)在[0,π]上的值域为[2,3],求 a,b 的值. π π 解:(1)当 a=1 时,f (x)= 2sin(x- )+1+b. ∵y=sinx 的单调递减区间为[2k π+ ,2k π+ 4 2 3π π π 3π 3π 7π ](k ∈Z),∴当 2k π+ ≤x- ≤2k π+ ,即 2k π+ ≤x≤2k π+ (k ∈Z)时,f (x)是减函 2 2 4 2 4 4 3π 7π 数,所以 f (x)的单调递减区间是[2k π+ ,2k π+ ](k ∈Z). 4 4 π π π 3π 2 π (2)f (x)= 2asin(x- )+a+b,∵x∈[0,π],∴- ≤x- ≤ ,∴- ≤sin(x- )≤1. 又 4 4 4 4 2 4 ∵a<0, π ∴ 2a≤ 2asin(x- )≤-a. ∴ 2a+a+b≤f (x)≤b,∵f (x)的值域是[2,3] ,∴ 2 a+a+b 4 =2 且 b=3,解得 a=1- 2,b=3.

35.求下列函数的最大值和最小值:

敦品励行

勤学致知

-8-

(1)y=

1 1- cos x; 2

π (2)y=3+2cos(2x+ ). 3 1 ? ?1- cos x≥0, 1 1 3 6 2 解:(1)因为? 所以 ≤1- cos x≤ . 所以当 cos x=-1 时,ymax= ; 2 2 2 2 ? ?-1≤cos x≤1. 当 cos x=1 时,ymin = 2 . 2

π π π (2)因为-1≤cos(2x+ )≤1, 所以当 cos(2x+ )=1 时, yma x=5; 当 cos(2x+ )=-1 时, ymin 3 3 3 =1. π 36. .已知:f(x)=2sin(2x+ )+a+1(a∈R,a 为常数). 6 (1)若 x∈R,求 f(x)的最小正周期; π π (2)若 f(x)在[- , ]上最大值与最小值之和为 3,求 a 的值. 6 6 π π π π 解:(1)∵2sin[2( x+π)+ ]=2sin[(2x+ )+2π]=2sin(2x+ ),∴函数 f (x)=2sin(2x+ )+a 6 6 6 6 +1 的最小正周期为 π. π π π π π π π 1 π (2)x ∈ [ - , ]?2x ∈ [ - , ]?2x + ∈ [ - , ] . ∴ - ≤sin(2x + )≤1. 即 6 6 3 3 6 6 2 2 6
?f (x)max=2+a+1=3+a ? ? ,∴2a+3=3?a=0. ?f (x)min =-1+a+1=a ?

敦品励行

勤学致知

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