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《数学概率》练习(学生版)


概率
一、知识要点: 1.随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。在大量重复进行同一试验时,
m 事件 A 发生的频率 n 总是接近于某个常数,在它附近摆动,这个常数叫做事件 A 发生的概率,记作

p(A),0≤p(A)≤1. 2.等可能事件的概率,如果一次试验中共有 n 种等可能出现的结果,其中事件 A 包含的结果有

m 种,
m . 那么事件 A 的概率为 p(A)= n

3.互斥事件:不可能同时发生的两个事件,叫做互斥事件,也叫不相容事件。如果事件 A1,A2,?, An 彼此互斥,那么 A1,A2,?,An 中至少有一个发生的概率为 p(A1+A2+?+An)= p(A1)+p(A2)+?+p(An). 4.对立事件:事件 A,B 为互斥事件,且必有一个发生,则 A,B 叫对立事件,记 A 的对立事件为 A 。 由定义知 p(A)+p( A )=1. 5.相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,这样的两个事件 叫做相互独立事件。 6.相互独立事件同时发生的概率:两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的 积。即 p(A?B)=p(A)?p(B).若事件 A1,A2,?,An 相互独立,那么这 n 个事件同时发生的概率为 p(A1?A2? ? ?An)=p(A1)?p(A2)? ? ?p(An). 7.独立重复试验:若 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这 n 次试验是独立的. 8.独立重复试验的概率:如果在一次试验中,某事件发生的概率为 p,那么在 n 次独立重复试验中,这个 事件恰好发生 k 次的概率为 pn(k)=
k Cn ?pk(1-p)n-k.

9.离散型随机为量的分布列:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫随机 变量,例如一次射击命中的环数ξ 就是一个随机变量,ξ 可以取的值有 0,1,2,?,10。如果随机变量 的可能取值可以一一列出,这样的随机变量叫离散型随机变量。 一般地,设离散型随机变量ξ 可能取的值为 x1,x2,?,xi,?,ξ 取每一个值 xi(i=1,2,?)的概率 p(ξ =xi)=pi,则称表 ξ x1 x2 x3 ? xi ? p p1 p2 p3 ? pi ? 为随机变量ξ 的概率分布,简称ξ 的分布列,称 Eξ =x1p1+x2p2+?+xnpn+?为ξ 的数学期望或平均值、 均值、 简称期望, 称 Dξ =(x1-Eξ )2?p1+(x2-Eξ )2?p2+?+(xn-Eξ )2pn+?为ξ 的均方差, 简称方差。 D? 叫随机变量ξ 的标准差。 10.二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中,这个事件恰
k k n?k 好发生 k 次的概率为 p(ξ =k)= Cn p q , ξ 的分布列为

ξ p

0
0 0 n Cn p q

1
1 1 n ?1 Cn pq

? ?

xi
k k n?k Cn p q

? ?

N
n n Cn p

此时称ξ 服从二项分布,记作ξ ~B(n,p).若ξ ~B(n,p),则 Eξ =np,Dξ =npq,以上 q=1-p. 11.几何分布:在独立重复试验中,某事件第一次发生时所做试验的次数ξ 也是一个随机变量,若在
1 一次试验中该事件发生的概率为 p,则 p(ξ =k)=qk-1p(k=1,2,?),ξ 的分布服从几何分布,Eξ = p ,
q 2 Dξ = p (q=1-p).

二、基础练习: 1.(全国新课标理 4)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个 小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
1 (A) 3 1 (B) 2 2 (C) 3 3 (D) 4

2.(陕西理 10)甲乙两人一起去游“2011 西安世园会” ,他们约定,各自独立地从 1 到 6 号景点中任 选 4 个进行游览,每个景点参观 1 小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是
1 A. 36 1 B. 9 5 C. 36 1 D. 6

3.(浙江理 9)有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本.若将其随机的并排摆 放到书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率
1 A. 5 2 B. 5 3 C. 5 4 D5

4.(辽宁理 5)从 1,2,3,4,5 中任取 2 各不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”,事件 B=“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B︱A)=
1 (A) 8 1 (B) 4 2 (C) 5 1 (D) 2
N ? 2,a 2 ?

5.(湖北理 5)已知随机变量 ? 服从正态分布 A.0.6 B.0.4 C.0.3

,且P( ? <4)= 0.8 ,则P(0< ? <2)=

D.0.2

6.(湖北理 7)如图,用 K、 A1 、 A2 三类不同的元件连接成一个系统。当 K 正常工作且 A1 、 A2 至少 有一个正常工作时,系统正常工作,已知 K、 A1 、 A2 正常工作的概率依次为 0.9、0.8、0.8,则 系统正常工作的概率为

A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576 7.(广东理 6)甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军,乙队需要再赢 两局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为

1 A. 2

3 B. 5

2 C. 3

3 D. 4

8.(福建理 4)如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于
1 A. 4 1 B. 3 1 C. 2 2 D. 3

9.(湖北理 12)在 30 瓶饮料中,有 3 瓶已过了保质期。从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶,则至少取到一 瓶已过保质期饮料的概率为_______。 (结果用最简分数表示) 10.(福建理 13)盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球,其中红色球 3 个,黄色球 2 个。若从中随 机取出 2 个球,则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于_______。 11.(浙江理 15)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕
2 业生得到甲公司面试的概率为 3 , 得到乙丙公司面试的概率为 p ,且三个公司是否让其面试是相互独
P( X ? 0) ? 1 12 , 则随机变量 X 的数学期望 E ( X ) ? _____。

立的。 记 X 为该毕业生得到面试得公司个数。 若

12.(湖南理 15)如图 4,EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆的内接正方形。将一颗豆子随 机地扔到该图内,用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内” , B 表示事 件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内” ,则 (1)P(A)= _____________; (2)P(B|A)=_______。 . 13.(上海理 9)马老师从课本上抄录一个随机变量 ? 的概率分布律如下表 请小牛同学计算 ? 的数学期望,尽管“! ”处无法完全看清,且两个“?”处字迹模糊,但能肯定这 两个“?”处的数值相同。据此,小牛给出了正确答案 E? ? _______。
x P(ε=x) 1 ?


2 ! 3 ?

14. (重庆理 13) 将一枚均匀的硬币投掷 6 次, 则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率_______ 15. (上海理 12 )随机抽取 9 个同学中,至少有 2 个同学在同一月出生的概率是 _______ 。 (默认每月天数相同,结果精确到 0.001 ) 。 16.(江西理 12)小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到
1 1 圆心的距离大于 2 ,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于 4 ,则去打篮球;否则,在家看书,

则小波周末不在家看书的概率为_______。 三、例题分析: 例 1:(等可能性事件)(重庆理 17)某市公租房的房源位于 A,B,C 三个片区,设每位申请人只申请 其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任 4 位申请人中: (Ⅰ)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; (Ⅱ)申请的房源所在片区的个数 ? 的分布列与期望.

例 2: (相互独立事件) (全国大纲理 18)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5, 购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立 (I)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 l 种的概率; (Ⅱ)X 表示该地的 l00 位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数。求 X 的期望。

1 练习:1、小明每天骑自行车上学,路过 6 个红绿灯,若遇到每个红灯是相互独立的,且概率都为 。 3 (1) 若 x 表示他遇到红灯的个数,求 x 的分布列与数学期望; ; (2) 若 y 表示他首次停车经到的红绿灯路口的个数,求 y 的分布列; (3) 求他途中至少遇到一次红灯的概率。

2、 (陕西理 20)如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2,据统计,通过两条路径所用的时间互不 影响,所用时间落在各时间段内的频率如下表: 时间 (分钟) 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 L1 的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L2 的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站。 (Ⅰ)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径? (Ⅱ)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(Ⅰ)的选择方案,求 X 的分布列和数学期望。

例 4: (互斥事件) (天津理 16)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑 球,乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机 摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖. (每次游戏结束后将球放回原箱) (Ⅰ)求在 1 次游戏中, (i)摸出 3 个白球的概率; (ii)获奖的概率; (Ⅱ)求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E ( X ) .

练习:1、 (山东理 18)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛,甲对 A,乙对 B,丙 对 C 各一盘,已知甲胜 A,乙胜 B,丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立。 (Ⅰ)求红队至少两名队员获胜的概率; (Ⅱ)用 ? 表示红队队员获胜的总盘数,求 ? 的分布列和数学期望 E? .

2、 (福建理 19)某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 X 依次为 1,2,??,8,其中 X≥5 为标准 A,X≥为标准 B,已知甲厂执行标准 A 生产该产品,产品的零售价为 6 元/件;乙厂执行标准 B 生产该产品,产品的零售价为 4 元/件,假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准 (I)已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示: 5 6 7 8 x1 P 0.4 a b 0.1 且 X1 的数字期望 EX1=6,求 a,b 的值; (II)为分析乙厂产品的等级系数 X2,从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级系数组成一 个样本,数据如下: 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4

6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数 X2 的数学期望. (III)在(I) 、 (II)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性?
产品的等级系数的数学 期望 产品的零售价 说明理由.注: (1)产品的“性价比”= ;

(2) “性价比”大的产品更具可购买性.

3、 (广东理 17)为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分 别抽出取 14 件和 5 件,测量产品中的微量元素 x,y 的含量(单位:毫克) .下表是乙厂的 5 件产品的 测量数据: 编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y 75 80 77 70 81 (1)已知甲厂生产的产品共有 98 件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素 x,y 满足 x≥175,且 y≥75 时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙 厂生产的优等品的数量; (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随机抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中优等品数 ? 的分布列极其 均值(即数学期望) 。

4、 (四川理 18)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费 标准是每车每次租不超过两小时免费,超过两小时的收费标准为 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计
1 1 , 算) 。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 4 2 ; 1 1 , 两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 2 4 ;两人租车时间都不会超过四小时。

(Ⅰ)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ? ,求 ? 的分布列与数学期望 E? ;


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