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利用判别式巧解竞赛题


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中学数学研究 

2 0 0 5 年第 7 期 

? . .

原不等式成立.  

1 , 求证 :  
/   , ’   ’ ,   /   , ,   , ,  

评注: 本题的最大困难

在于如何使用条件  

、 /P   r  + q  

+V   q  r  + P  

≥ P + q?  

士 l +  + ÷ l 十 Y  l +  L 十 0   :l , 上 述 证 法 通 过 换 元  
和构造, 使问题 化归 为证 明不等式 ( a  +   b   ) ( b   +c   ) ( c   +a   ) ≥8 a b c , 其关键是由条 

分析: 由于不等式的左边结构和向量的模  比 较接近, 因此可以考虑构造平面向量证明  
之.  

件C O S   口 +C O S 2 1  ̄ +C O S 。 y:l 联想到构造一个  长方体, 使条件隐含在长方体之中.  
1 O . 构造平面向量 

证明: 设向   :( p r , q s )   :( 9 r ,  ) , 则  

上面介绍的多种构造途径总的来说离不   开两个方向, 即一个方向为“ 数” , 另一个方向   为“ 形” ; 而平面向量具有数和形的双重性, 因  

≥I   a+b   f =  

即   √P   r   +q 2   s   +√q   r   +p   s   ≥ ̄ / ( r   +S 2 ) ( p+q )   .  
? .

此用构造平面向量的方法证明不等式有时能  给你一个意想不到的“ 惊喜” .  


‘ P , q∈ R  , 且 r  +5  = l ,  
厂—  —  ———   — 


厂丁

 —一 —   —  

例l l   已知P , q ∈R   , 5 , r 满足r   + 5   :  
\ >  =  



、 /P   r  + q   s  + 、 /q   r  +P   s  
≥ P+ q ?  

利用判别式巧解竞赛题  7 一 +   一 6  
.  

+  四川绵阳东辰国际学校  ( 6 2 1 0 0 0 )   姚先伟  

判别式法是中学数学中常见的解题方法,   + 
它源于实系数一元二次方程是否有实根的判   定, 因而凡与一元二次方程有关联的二次三项 

解: 当 m :0 时, 方程 / 7 1 X   — 2 ( m+ 2 )  +   m+5=0 有实根, 不合题意, 故 m ≠0 ,  
△1 =4 ( m+2 )  一4 m( m+5 )<0 ,  

. .

式、 二次函数、 二次不等式等, 判别式均有用武  之地. 并且对于方程 a N   +   + c:0 ( a ≠0 ) ,  
有4 a   +4 a b  + 4   r 上 c=0 , 且 口 ( 2   r 上  +b )  =b  


r n > 4.  

当 m =5 时, 方程( m一 5 )  一 2 ( m+ 2 )   +m =0 只有一个解.   当 m≠5 时, △2 =4 ( m+ 2 )   一 4 m ( m一  
5 )=4 ( 9 m+4 ) .  
? .

4 a c . 由此可见, 判别式是配方的结果, 因而  

用判别式法解题比用配方法来得更直接. 下面   以初中 数学竞赛题为例说明其应用.   1 . 判断方程根的情况  
例1   关于  的方程  —2 ( m+2 )  +  

’ m> 4 且 m≠5  . △2 > 0 , 此时方程有  

两个不等实根.  

综上, 该方程有一个实根或两个不等实  
根, 选( D) .  

m+ 5=0 无实根, 那么关于  的方程( m一  

例2  若 a 、 b 、 c 、 d>0 , 证明下面四个方  

5 )  一 2 ( m+ 2 )  +m= 0 的实根个数为(  ) .  
( A ) 2   ( B ) l   ( C ) 0   ( D ) 不确定 

程:   z + ̄ / 厂  

+ ̄ / 广   :0 ,   z +  

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2 0 0 5 年第 7 期 
、   +   0,   1  


中学数学研究 
: 0 ,  1   +

4 l  



/ 2   _ +   +  
:0 中, 至 

√ 2+ √ 6   √ 2+ √ 6   1   — — — —   _ ,   2   一— —   ’  




、  

+  

例4   设方程 I   +n  I :4只有三个不 

少有两个方程有两个不等实根. ( 2 0 0 2 年黄冈  市竞赛题)   证明: 所给四个方程的判别式分别为 
△ l= 2 a+ b一2   v / c d,  
△ 2= 2 6+ C一2  
△ 3= 2 c+ d 一 2  

相等的实数根, 求 n的值及相应的三个根.  
( 2 0 0 2 年重庆市竞赛题)  
解: 原方程即为 

+n  =4 ,  
或  +n  :一4 .  

① 
② 

,  
,  

显然 ① 、 ② 无公共根.  

由题意应用: 方程 ① 有两个不等实数根,  
△ 4= 2 d + n一 2、 /   ,  
‘ . .

而方程 ② 有两个相等实数根 , 或者方程 ② 有   两个不等实数根而方程 ① 有两个相等实数  
一2  

△ 1+ △ 3  



2 n +2 c+ b+ d 一2  

根.  

=n+C +( √  一  ̄ /  )  +(   一 √  )   ,  
△ 2+ △ 4  

对于前者, △l =n  +1 6>0 , △2=n  一  
1 6 = 0, . ’ . n =±4.  



2 6+ 2 d+n+c 一2  

一2 、 / 厂 瓦 

对于后者, △l= n  +1 6=0 , 此式不成 
立.  



b +d+(   一   )   +(   一   ) 2 .  

‘ .

‘ n、 b、 C、 d>0   . △ l+ △ 3 > 0 , △ 2+  

当 n=4 时, 原方程为   + 4  一 4:0 或  
+4  +4=0 , 三个根分别为 l:一2+  

A4>0  . △l 、 △3 中至少有一个为正, △2 、 △4  

√ 2 , X 2=一2—2 4 2 ,   3=一2 .   中至少有一个为正 , 故已知四个方程至少有两  2

个方程有两个不等实根.   2 . 求解含参方程或不定方程  例3   已知 n 、 b 、 C 三数满足方程 



当 n= 一 4 时, 原方程为  一 4 x 一 4 :o H 
4  + 4=0 , 三个根分别为 l =2 + 2 1 2 ,   2  

2—2 1 2 , X 3:2 .  

f   n + 6 = 8 ,  
【 n b—c 2 +8   芝 c:4 8
.  

侈 0   5   求方程  +x y +y   一 3  一 3 Y+ 3  


0 的实数解. ( 1 9 9 5 年安徽省竞赛题)  
解: 原方程可化为  +( Y一3 )  +Y   一3 y+3:0 ,  
? . .

试 求 方 程   + C X — o = 0 的 根 . (   0 0   年 全 国 联 赛 题 )  
解: ’ . ’ n+b:8 , n b:4 8+c 2 —8  c ,  
? . .

n , b 是方程t   —8 t + 4 8 +c 2 —8  

:  

△ =( Y一3 )  一4 ( Y   一3 y+3 )≥0 ,   ( Y—1 )  ≤0  . Y=1 .  



?

0 的二根,  
? .





? . . 



△ =( 一8 )  一 4 ( 4 8 +c  一8  c ) ≥0 ,  
C  一8 √ 2 C+3 2≤ 0 ,  

2 x + 1: 0, . ? .   : 1 .  

’ . .

. .



?





( c一4  )  ≤0 ,   C=4 √ 2 , 进而易知 n:b:4 .  

原 方 程 的 解 为 』   =   ,   L Y= 1 .  

3 . 因式分解  例6   关于  的二次式  +7 x y+m y   一  

? . .

?





方程  +C X—n:0即为方程  +  

5  +4 3 y一2 4 可以分解成两个一次式的乘积,  

4 2  —l=0 , 解之得 

则 m的值是





( 2 0 0 2 年太原市竞赛题)  

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4 2  

中学数学研究 

2 0 0 5 年第 7 期 

解: 已知式可整理成  
2 +( 7 y一5 )   +m y 2 +4 3 y一2 4 .  

y :

虹  兰  

: 垂  ,  
:0 的 

由 题意, △ :( 7 y一 5 )   一 4 ( m y   + 4 3 Y一   2 4 ) :( 4 9 — 4 m ) Y   一 2 4 2 y + 1 2 1 是关于Y 的完   全平方式.  
?

于是 、 y 是方程£ 2 一   +  
二根 .  
? .


△ =口   一2 ( 口  一1 0 0 ) ≥0 ,  
口≤ 1 0   .  





△1 =( 一 2 4 2 )   — 4 ( 4 9 — 4 m) ×1 2 1 :0 ,  

解之得 m = 一l 8 .  

又, o   O   +y>A B=1 0 , _ ' . 1 0<0≤1 0 √ 2 .  

例7   求证 :   一x y+Y   +   +Y 不可能   分解为两个一次式之积.   证明: 假设原式可以分解为两个一次式之 
— — —

例1 0   已知实数 口 、 6 满足口   + 口 6 +6   :  
1 , 且 t:a b 一口   一6   , 那么 t 的取值范围是 



( 2 0 0 1 年 Ⅳ杯竞赛题)  

积, 把原式看作  的二次三项式   一( Y 一1 )  
+( Y   +Y ) , 贝 U △  :( Y 一1 ) 。 一 4 ( Y   +Y ) =  

解: O   o   O 口   +口 6+6  :1 , 口 6 一a 2 一b 2:t .  
?  



: ,  

,。

z+ 6 z:  
,  



3 y   一 6 y +1 必为完全平 方式, 但△  =  
? . .

( 一6 )  一4   X( 一3 ) X   1 ≠0 , 矛盾,  

n + 6 = ± √  ( c ≥ 一 3 ) ,  
n 、 6 是 方 程 u 2 干  ̄ / 3 + t   u + L  = 0  
△ :  
1  

故原式不可能分解为两个一次式之积.  
?

4 . 求参数的取值范围   的实根, 则实数 P的取值范围是(  ) .  
( A ) P≤0   ( c ) 0≤P≤   1   ( B ) P<  1  





  例8   若方程  — P=   有两个不相等  的二根.
? .



一4×  

≥ 0,  

‘ ? ?  

≤一  

‘  

( D) p≥   1  
? . .

£ 的取值范围是 一3 ≤£ ≤一   1
.  

( 1 9 9 9 年山东省竞赛题)  
解: 原方程可变为   一  + P:0 (  ≥0 ,  

5 . 求函数最值 

例1 1 口 、 6 为正数, 并且抛物线 Y:   +  

≥P ) . 由   ≥0 , 知该方程有两个不相等的非  负实根 l 、   2 , 从而  
f / x = 1—4 p >0 ,  
【 P=   1   X 2≥ 0 .  

口  +2 6 和Y:   + 2 b x+口 都与  轴有公共 
点, 则n   +6   的最小值为
— —

( 2 0 0 0 年全 

国 联赛题)  
解: 由 题意有/ x l =口   一 8 b ≥0 , / x 2 : 4 b  


解 之 得0 ≤ P < 寺 , 选 ( C ) .  
例9   设 AA B C的两边 A C与B C 之和为  

4 a≥ 0 , 即口  ≥ 8 b , 6  ≥ 口 .  

因口 、 b 为正数  . b   ≥口   ≥8 b  . b ≥2 ,  

口 , M是A B的中点, M A:M C:5 , 则口 的取值  口   ≥8 b ≥1 6 , 口 ≥4 . 又当 口:4 , b =2 时, 所  
范围是



— 一

( 2 0 0 1 年江苏省竞赛题)  

给两条抛物线均是抛物线 y:   + 4  + 4 , 与  
轴有公共点( 一 2 , 0 ) √. 口   =4 , 6   :2 .  

o o

解: M是A B 的中点, M A: M C :5 ,  
? . .

AA B C 为直角三角形, 且  C :9 0 。 , A B:  
+ Y = 口,  2+ Y 2= 1 0 0

口   +6   的最小值为 2 0 .  

l 0 . 设A C=  , B C:Y , 则 
, 

例1 2   已知实数 口 、 6 、 C 满足口 +b + c:  
0 , a 2+ 6  + c  :6 则 口 的最大值为  


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2 0 0 5 年第 7 期 

中学数学研究 

4 3  

( 2 0 0 2 年江苏省竞赛题)  
解: 由已知得 b+C=一口 , b  +C  =6一  
口   , 从而 b c:口   —3 ,  

?


?

△ :( b —C )   一 4 ( 口一b ) ( C 一口 )=0 ,  

且知 1 满足此方程, 故该方程的两个根均为 1 ,  
?

1× 1: 一 C- -   a






? . .

b 、 c 是方程  +口   +口   一 3=0 的二根.  
△ :口   一4 ( 口   一3 ) ≥0 , . ? . 一2 ≤口≤  



口 一 0  

即 b+c:2 a ,  

垒±!




?
. .



2  

 

2 . 又当 口=2 , b:C=一1 时, 口+b+C=0 ,  
口  + b  + C  = 6, . ? . 口   =2 .  

综上 , D _   :2
.  

例1 5 实数 口 、 b 满足口   +b   +3 a b=1 ,  

例1 3   已知三整数 口 、 b 、 C 之和为 1 3 , 且 


则 口+b:— — 一 . ( 2 0 0 4 年全国 联赛题)  
解: ? . ? 口  +b  +3 a b=1 ,  
? .


÷, 求口 的 最大值与 最小 值, 并求此时 相  

应的 b 与c 的值. ( 2 0 0 4 年四川省竞赛题)  
解: 由口+b + c:1 3 及   :了 C消去c 得 
口 0  

( 口+b )   一1 —3 a   b 一3 a b   +3 a b=0 ,  

?
. .

( 口+b 一1 ) [ ( 口+b )  +( 口+b ) +1 ]  


3 a b ( 口+b一1 )=0 ,  

b  +口 b+a 2 —1 3 a:0 .   △ :口  一4 ( 口  一1 3 a ) ≥0 .  

① 

? . .

( 口+b 一1 ) ( 口   +b   一a b+口+b+1 )  


0.  

因口 是非零整数  . 口=1 、 2 、 3 、 …、 1 6 、 1 7 .   当 口:1 7 时, 方程 ① 变为 b  +1 7 b+6 8  


?





口+b:1 或 

口  +( 1 一b ) 口+b  +b+1=0 .  

0 , b 无整数解, 不合题意, 舍去;  
当口:1 6 时, 方程①变为 b   +1 6 b + 4 8=0 ,  

对于后一式,   △ :( 1 一b )  一4 ( b   +b+1 ) ≥0 ,  


b:一1 2 或一 4 , 对应的 C=9 或1 , 合题意.   当 口:1 时, 方程① 变为 b   +b 一1 2=0 ,  





3 b  +6 6 +3≤ 0 , . ‘ . b =一 1 .  

此时, 口=一1 , . ? . 口+b=一2 .  

b:一 4 或3 , 对应的 C=1 6 或9 , 合题意.  
综上 : 口 ~ =1 6 , 此时, 对应的 b=一1 2 , C  


综上, 口+b=1 或 口+b=一2 .   例1 6 口 、 b为整数, 已知关于  的方程 
1  


9或对应的 b=一4 , C=1 .   口   =1 , 此时, 对应的 b:一4 , c=1 6 或 

似 +口   +a b一口一b 一1 =O 有相同的 

对应的 b=3 , C=9 .  

两实根, 则 口一b 等于( ) .  
( A ) 1   (  ) 2   ( C ) ±1   ( D) ±2  

6 . 求代数式的值 

( 2 ( 1 0 4 年四J I I 省竞赛题)  

侈 9   1 4已 知 {( b — c )   : ( 口 一 b ) ( c 一 口 )  
解: △ =口   一 4×  ( 口   +a b 一口一b 一1 )   且 口≠0 , 则  联赛题)   解: 已知式可变为 
( b—C )  一4 ( 口一b ) ( C 一口 ):0 .  








( 1 9 9 9 年全国  
: :

0 , . ? . a b一口一b一1=0 , 即( 口一1 ) ( b一1 )  

2 . 因口 、 b 均为整数,  

当 口:b 时, b:C , 所求式的值的2 ;  
当口≠b时, 构造一元二次方程 :  
( 口一b )   +( b—c )  +c一口=0 .  

{ L   b 口 二 一   1   =   1 2   .   或 { L   b 口 二 一   1   =   2   .   或 { L   b 口 二 一   1   = 二 一   1 2   或 { b 口 二 1   二  
?
. .
.  

L   一   =一 2 .  

?
. .

口一b=±1 , 选( C ) .  

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中学数学研究  

2 0 0 5 年第 7 期  

7 . 求方程的整数根  例1 7   已知方程  一6 x一4 n  一3 2 n=  

5 、 6 、 9 , 检验知 Y 仅可取 2 5 , 此时  :3 0 或2 0 .   故所求四位数为2 0 2 5 或3 0 2 5 .   8 . 证明不等式 
例1 9   设 P为实数, 二次函数 Y=   一  

0 的根都是整数, 求整数 n 的值. ( 2 0 0 4 年全国  
联赛题)  
解: ? . ? △ :( 一6 )  +1 6 n   +1 2 8 n  


2 p x — P 的图象与   轴有两个不同的交点A (   l ,  
0 ) , B (   2 , 0 ) .  

( 4 n+1 6 )  一2 2 0  

:m   ( m为正整数) ,  
?
. .

( 1 ) 求证: 2 p x l +  ; +3 p>0 ;  
( 2 ) 若A 、 B 两点间距离不超过 l   2 p 一 3   l ,  

( 4 n+1 6一, n ) ( 4 n+1 6+, n )=2 2 0 .  

因4 n+1 6一, n<4 n+l 6 +, n 且4 n+l 6  


求P 的最大值.   ( 2 0 0 0 年全国联赛题)  
解: ( 1 ) 由题意, P≠0 且/ x=( 一 2 p )   +  

m与4 n+l 6 +m的奇偶性相同,  
f 4 n+1 6一, n=2 ,  
‘  

t 4 n+l 6+ , n= 1 1 0 .  

4 p=4 p 2 + 4 p>0 ,   i 一 2 p x 2 一 P=0 ,   1 +  2  


或 1 『 I 4 n + l 6 一 m= 1 0 ,  
L 4n + l 6+ m = :   2 2. .  

2 p . . ‘ . 2 p x l +   ; + 3 p:2 p x l + 2 p x 2 + P+ 3 p  
2 p (  l +X 2 )+4 p =4 p  +4 p >0 .   ( 2 ) ’ . ’l   A B   l :I  1 一  2   l  




或 I f 4 n + 1 6 一 , n = 一 1 1 0 ,  
4n + l 6+ m :一 2 .  

或 I f 4 n + 1 6 一 , n = 一 2 2 ,  
4 n+l 6+ m : 一 l 0.  

 ̄ / (   l +  2 ) 。 一 4 x l   2  

≤l   2 p 一3   l ,  
’ . .

解之 n 为l 0 或为0 或为 一l 8 或为 一 8  

、 / 4 p  +4 p≤l   2 p 一3   l ,  

检验知 n=1 0 、 0 、 一l 8 、 一 8 均合题意.  
例l 8   试求出这样的四位数, 它的前两   位数字与后两位数字分别组成的二位数之和   的 平方恰好等于这个四位数. ( 2 0 0 3 年全国联  赛题)  

解之得 P≤   9
.  

当P=   时, 满足 / x>0  . P ~ =   9
. 

例2 0   已知首项系数不相等的两个二次  
方程( 0—1 )   一( 0  +2 ) x+( 0   +2 a ):0 ,  

解: 设这个四位数的前两位数字组成的两   ( b— 1 )  一 ( b   + 2 )  + ( b   + 2 6 ) =0 有— — 个  位数为  , 后两位数字组成的两位数为 Y , 则这   公共根 C . 求证: C   一 4 c   +8 c +4>0 .   个四位数为 l O O x +Y , 题意即求方程(  +y )  


证明: 将   =C 代入两个方程并整理得:  
( 1 ~C ) 0   +( 2+C   ) 0一C  一2 c:0 ,  

1 0 0 x+Y 在l 0 到9 9 的整数根. 该方程即为  
+2 ( Y一5 0 )   +Y   一Y:0 .  

( 1 一C ) 6  +( 2+C   ) 6一C   一2 c:0 .  

/ x=4 ( Y一5 O )  一4 ( Y   一Y )  
≥ 0 ,  

易知 C ≠1 , 否则 0=6 =1 与0 ≠6 矛盾.  
?





Ⅱ 、 6 是二次方程( 1 一C ) t   +( 2 + C   ) t —  

解之得 Y≤2 5  ?  

C   一 2 c=0 的不等二实根,  
?
. .

又   =5 0一 Y± , / — 2 5 o o — -9 % ,而 

△ :( 2+C 2 )  +4 ( 1 一C ) ( C  +2 c )  
> 0,  

2 5 0 o 一9 9 y 为完全平方数 , 其个位数字只能是  0 、 1 、 4 、 5 、 6 、 9 , 经计算知 Y 的个位数字是0 、 1 、 4 、  

即C   一4 c  +8 c+4>0 .  


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巧用判别式解题例析

用判别式解题例析 构造一元二次方程判别式解题是...3? ? 二、解方程组 例 2. 解方程组 ? ?x ?...(1992 年北京竞赛试题) 简析:由题意知:x、y、z...

2014 年最新编辑 巧用判别式

2014 年最新编辑 巧用判别式_数学_初中教育_教育专区。2014 年最新编辑 巧用判别式 在解题中,大家往往会遇到有关一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a、b...

一道竞赛题的一题多解初探

一道竞赛题的一题多解初探湖南省新化县游家镇乌石...巧解数学题, 领悟数学美, 这些解法没有本质的区别...以 b 2-4ac 为判别式的二次方程有无穷多: ax2...

高中数学试题巧解方法

高中数学试题巧解方法_数学_高中教育_教育专区。高中数学试题 代入法 直接法 定义...判别式法 分组法 等差中项 基本不等式 弦中点轨迹求法 配方法 降幂法 反证法...

判别式在中学数学解题中的应用

式的应用.本文主要通过例题来阐述其用法,进而归纳总结出判别式法解 题的思路和...“判别式” ,另一方面又要善于活巧用判别式” ,只要真正理解和熟悉“...