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2014届高考数学(理)一轮复习专题集训:函数的奇偶性与周期性


函数的奇偶性与周期性
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.(2012·济南模拟)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 ( (A)y=-x +5(x∈R) (C)y=x (x∈R)
3 2

)

(B)y=-x +x(x∈R) 1 (D)y=- (x∈R,x≠0) x

3

r />
2.( 2011·山东高考)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)= x -x,则函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点个数 为( (A)6 ) (B)7 (C)8 (D)9
3

1+f(x) 3.(2012·沈阳模拟)已知函数 f(x)满足:f(1)=2,f(x+1)= ,则 1-f(x) f(2 012)等于( (A)2 ) (C)-3 ) 1 (D) 3

1 (B)- 2

2 4.函数 y=lg( -1)的图象关于( 1+ x (A)x 轴成轴对称图形 (B)y 轴成轴对称图形 (C)直线 y=x 成轴对称图形 (D)原点成中心对称图形

5.(预测题)已知定义在 R 上的函数 f(x),对任意 x∈R,都有 f(x+8)=f(x)+f(4)成立,若 函数 f(x+1)的图象关于直线 x=-1 对称,则 f(2 012)=( (A)0 (B)1 006 (C)8 (D)2 012 )

6.已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,g(x)是 R 上的奇函数,且 g(x)=f(x-1),若 f(1)=2,则 f(2 013)的值为( (A)2 (B)0 ) (C)-2 (D)±2

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.(2011·广东高考)设函数 f(x)=x cosx+1,若 f(a)=11,则 f(-a)=
3

.

8.(2012·长春模拟)设 f(x)是(-∞, +∞)上的奇函数, 且 f(x+2)=-f(x), 下面关于 f(x) 的判定:其中正确命题的序号为 .

①f(4)=0; ②f(x)是以 4 为周期的函数; ③f(x)的图象关于 x=1 对称; ④f(x)的图象关于 x=2 对称. 9.函数 f(x)=(|x|-1)(x+a)为奇函数,则 f(x)的增区间为 三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.(易错题)设定义在[-2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减, 若 f(m)+f(m-1)>0, 求实数 m 的取值范围. 1 11.已知函数 f(x)=a- 是偶函数,a 为实常数. |2x-b| (1)求 b 的值; (2)当 a=1 时,是否存在 n>m>0,使得函数 y=f(x)在区间[m,n]上的函数值组成的集合也是 [m,n],若存在,求出 m,n 的值,否则,说明理由. (3)若在函数定义域内总存在区间[m,n](m<n),使得 y=f(x)在区间[m, n]上的函数值组成 的集合也是[m,n],求实数 a 的取值范围. 【探究创新】 (16 分)设函数 f(x)的定义域为 D,若存在非零实数 l 使得对于任意 x∈M(M? D),有 x+l∈D, 且 f(x+l)≥f(x),则称 f(x)为 M 上的 l 高调函数. (1)如果定义域为[-1,+∞)的函数 f(x)=x 为[-1,+∞)上的 m 高调函数,求实数 m 的取 值范围. (2)如果定义域为 R 的函数 f(x)是奇函数,当 x≥0 时,f(x)=|x-a |-a ,且 f(x)为 R 上的 4 高调函数,求实数 a 的取值范围.
2 2 2

.

答案解析 1.【解析】选 C.对于选项 A,函数 y=-x +5(x∈R)是偶函数,对于选项 B、D,函数在其定 义域内不是增函数,故选 C. 2.【解析】选 B.令 f(x)=x -x=0, 即 x(x+1)(x-1)=0, 所以 x=0,1,-1,
3 2

因为 0≤x<2,所以此时函数的零点有两个,即与 x 轴的交点个数为 2. 因为 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数, 所以 2≤x<4,4≤x<6 上也分别有两个零点, 由 f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0, 知 f(6)也是函数的零点, 所以函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点个数为 7. 1+f(x) 3.【解析】选 D.∵f(x+1)= , 1-f(x) 1+f(x+1) ∴f(x+2)= = 1-f(x+1) 1+f(x) 1+ 1-f(x) 1 =- , 1+f(x) f(x) 1- 1-f(x)

1 ∴f(x+4)=- =f(x), f(x+2) 即函数 f(x)是以 4 为周期的函数, ∴f(2 012)=f(503×4+0)=f(0), 1+f(0) 令 x=0 则原式为:f(0+1)= = 2, 1-f(0) 1 1 则 f(0)= ,即 f(2 012)= . 3 3 4.【解题指南】先确定函数的定义域,再判断函数的奇偶性,从而利用奇偶性判断其图象的 对称性. 2 1-x 【解析】选 D.函数 y=f(x)=lg( -1)=lg , 1+x 1+x ∴函数 y=f(x)的定义域为(-1,1), 1+x 又∵f(-x)=lg 1-x 1-x =-lg =-f(x), 1+x 2 ∴y=lg( -1)为奇函数. 1+x ∴其图象关于原点成中心对称图形. 5.【解析】选 A.∵f(x+8)=f(x)+f(4), ∴f(4)=f(-4)+f(4), ∴f(-4)=0. 又由题意知函数 f(x)是偶函数,

∴f(4)=f(-4)=0, ∴f(x+8)=f(x),即函数 f(x)是周期为 8 的函数, ∴f(2 012)=f(4)=0. 6. 【解题指南】 解答本题可以先用已知条件探究出函数 f(x)的周期性, 再用周期性求 f(2 013) 的值. 【解析】选 A.由 g(x)=f(x-1),得 g(-x)=f(-x-1), 又 g(x)为 R 上的奇函数,∴g(-x)=-g(x). ∴f(-x-1)=-f(x-1), 即 f(x-1)=-f(-x-1). 用 x+1 替换 x,得 f(x)=-f(-x-2), 又 f(x)是 R 上的偶函数, ∴f(x)=-f(x+2). ∴f(x)=f(x+4),即 f(x)的周期为 4. ∴f(2 013)=f(4×503+1)=f(1)=2. 7.【解析】令 g(x)=x cosx,则 f(x)=g(x)+1 且 g(x)为奇函数, 所以 g(-a)=-g(a). 由 f(a)=11 得 g(a)+1=11,所以 g(a)=10, f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-10+1=-9. 答案:-9 8.【解析】∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+2+2))=f(x+4), 即 f(x)的周期为 4,②正确. ∴f(4)=f (0)=0(∵f(x)为奇函数),即①正确. 又∵f(x+2)=-f(x)=f(-x), ∴f(x)的图象关于 x=1 对称,∴③正确, 又∵f(1)=-f(3),当 f(1)≠0 时,显然 f(x)的图象不关于 x=2 对称,∴④错误. 答案:①②③ 9.【解析】由 f(-x)=-f(x)知(|x|-1)(-x+a)=-(|x|-1)(x+a), ∴a=0,
3

?x -x,x≥0 ? ∴f (x)=(|x|-1)x=? 2 ? ?-x -x,x<0

2

1 1 ? ?(x-2) -4,x≥0 即 f(x)=? 1 1 ?-(x+2) +4,x<0 ?
2 2

1 1 ∴当 x∈[ ,+∞)和 x∈(-∞,- ]时,函数 f(x)是增函数. 2 2 1 1 答案:(-∞,- ],[ ,+∞) 2 2 10.【解析】由 f(m)+f(m-1)>0, 得 f(m)>-f(m-1), 即 f(1-m)<f(m). 又∵f(x)在[0,2]上单调递减且 f(x)在[-2,2]上为奇函数, ∴f(x)在[-2,2]上为减函数, -2≤1-m≤2 ? ? ∴?-2≤m≤2 ? ?1-m>m -1≤m≤3 ? ?-2≤m≤2 即? 1 m< ? ? 2 1 解得-1≤m< . 2 【误区警示】本题易忽视 m,1-m∈[-2,2]而致误. 1 b 11.【解析】(1)由已知,可得 f(x)=a- 的定义域为 D=(-∞, )∪ |2x-b| 2 b ( ,+∞). 2 又 y=f(x)是偶函数,故定义域 D 关于原点对称. b b 于是,b=0(否则,当 b≠0 时,有- ∈D 且 ? D,即 D 必不关于原点对称). 2 2 又对任意 x∈D,有 f(x)=f(-x),可得 b=0. 因此所求实数 b=0. 1 (2)由(1),可知 f(x)=a- (D=(-∞,0)∪(0,+∞)). 2|x|





观察函数 f(x)=a- 又 n>m>0,

1 的图象,可知:f(x)在区间(0,+∞)上是增函数, 2|x|

∴y=f(x)在区间[m,n]上是增函数. 因 y=f(x)在区间[m,n]上的函数值组成的集合也是[m,n]. 1 ? ?1-2m=m ∴有? 1 ? ?1-2n=n



1 2 即方程 1- =x,也就是 2x -2x+1=0 有两个不相等的正根. 2x ∵Δ =4-8<0,∴此方程无解. 故不存在正实数 m,n 满足题意. 1 (3)由(1),可知 f(x)=a- (D=(-∞,0)∪(0,+∞)). 2|x| 观察函数 f(x)=a- 1 的图象, 2|x|

可知:f(x)在区间(0,+∞)上是增函数, f(x)在区间(-∞, 0)上是减函数. 因 y=f(x)在区间[m, n]上的函数值组成的集合也是[m,n],故必有 m、n 同号. 1 ? ?a-2m=m ①当 0<m<n 时,f(x)在区间[m,n]上是增函数,有? 1 ?a-2n=n ?
?a>0 ? 2 是 2x -2ax+1=0 有两个不相等的正实数根,因此? 2 ? ?Δ =4a -8>0

1 ,即方程 x=a- ,也就 2x

,解得 a> 2(此时,m、

n(m<n)取方程 2x -2ax+1=0 的两根即可). 1 ? ?a+2m=n ②当 m<n<0 时,f(x)在区间[m,n]上是减函数,有? 1 ?a+2n=m ? 1 得 a=0(此时,m、n(m<n)的取值满足 mn= ,且 m<n<0 即可). 2 综上所述,所求实数 a 的取值范围是 a=0 或 a> 2. 【变式备选】已知函数 f(x)=e -e (x∈R 且 e 为自然对数的底数).
x -x

2

,化简得(m-n)a=0,解

(1)判断函数 f(x)的奇偶性与单调性; (2)是否存在实数 t,使不等式 f(x-t)+f(x -t )≥0 对一切 x 都成立?若存在,求出 t;若 不存在,请说明理由. 1 x x x 【解析】(1)∵f(x)=e -( ) ,且 y=e 是增函数, e 1 x y=-( ) 是增函数,所以 f(x)是增函数. e 由于 f(x)的定义域为 R, 且 f(-x)=e -e =-f(x), 所以 f(x)是奇函数. (2)由(1)知 f(x)是增函数和奇函数, ∴f(x-t)+f(x -t )≥0 对一切 x∈R 恒成立 ?f(x -t )≥f(t-x)对一切 x∈R 恒成立 ?x -t ≥t-x 对一切 x∈R 恒成立 ?t +t≤x +x 对一切 x∈R 恒成立 1 2 1 2 ?(t+ ) ≤(x+ )min 2 2 1 2 1 ?(t+ ) ≤0?t=- . 2 2 1 即存在实数 t=- , 2 使不等式 f(x-t)+f(x -t )≥0 对一切 x 都成立. 【探究创新】 【解析】(1)f(x)=x (x≥-1)的图象如图(1)所示,要使得 f(-1+m)≥f(-1),有 m≥2;x ≥-1 时,恒有 f(x+2)≥f(x),故 m≥2 即可.所以实数 m 的取值范围为[2,+∞); (2)由 f(x)为奇函数及 x≥0 时的解析式知 f(x)的图象如图(2)所示, ∵f(3a )=a =f(-a ), 由 f(-a +4)≥f(-a )=a =f(3a ), 故-a +4≥3a ,从而 a ≤1, 又 a ≤1 时,恒有 f(x+4)≥f(x),故 a ≤1 即可. 所以实数 a 的取值范围为[-1,1].
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 -x x 2 2


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