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【世纪金榜】2015高考数学专题辅导与训练配套课件:专题四 数列.1


专题四 数



第一讲 等差、等比数列的概念与性质

【主干知识】 1.必记公式 a1+(n-1)d (1)等差数列通项公式:an=__________.
n ? a1 ? a n ? n ? n ? 1?

1 (2)等差数列前n项和公式:Sn=___________=_______

______. 2 2

na ?

d

n-1 a =a q n 1 (3)等比数列通项公式:________.

(4)等比数列前n项和公式:
?na1 ? q ? 1?, ? ? a1 ?1 ? q n ? a1 ? a n q ? (q ? 1). ? Sn=_______________________ 1? q ? 1? q
*,n≥2) 2a =a +a (n∈N n n-1 n+1 (5)等差中项公式:_______________________.

a n ? a n?1a n ?1 (n ? N*,n ? 2) (6)等比中项公式:____________________.
2

?S1 , n ? 1, ? (7)数列{an}的前n项和与通项an之间的关系:an=_____________ ?Sn ? Sn ?1 , n ? 2.

2.重要性质 (n-m)d 等比数列 (1)通项公式的推广:等差数列中,an=am+_______;
n-m a q m 中,an=_____.

递增数列 (2)增减性:①等差数列中,若公差大于零,则数列为_________; 递减数列 若公差小于零,则数列为_________. 递增数列 ②等比数列中,若a1>0且q>1或a1<0且0<q<1,则数列为_________; 递减数列 若a1>0且0<q<1或a1<0且q>1,则数列为_________.

3.易错提醒
(1)忽视等比数列的条件:

判断一个数列是等比数列时,忽视各项都不为零的条件.
(2)漏掉等比中项: 正数a,b的等比中项是± ab ,容易漏掉- ab . (3)忽略对等比数列的公比的讨论: 应用等比数列前n项和公式时应首先讨论公比q是否等于1.

【考题回顾】
1.(2013·安徽高考)设Sn为等差数列{an}的前n项和,

S8=4a3,a7=-2,则a9=(
A.-6 B.-4

)
C.-2
2

D.2

【解析】选A.由S8=4a3?8a1+ 8 ? 7d=4×(a1+2d);由a7=-2?
a1+6d=-2,联立解得a1=10,d=-2,所以a9=a1+8d=10-16=-6.

2.(2014·天津高考)设{an}是首项为a1,公差为-1的等 差数列,Sn为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则 a 1= ( A.2 ) B.-2 C. 1
2

D.- 1

2

【解析】选D.因为S1,S2,S4成等比数列,所以 S2 =S1·S4, 2 即(a1+a1-1)2=a1(4a1-
1 1 ×4×3),解得a1=- . 2 2

3.(2013·江西高考)等比数列x,3x+3,6x+6,?的第四项等 于 ( ) B.0 C.12 D.24

A.-24

【解析】选A.因为等比数列的前三项为x,3x+3,6x+6,所以 (3x+3)2=x(6x+6), 即x2+4x+3=0,解得x=-1或x=-3. 当x=-1时,3x+3=0不合题意,舍去.故x=-3. 此时等比数列的前三项为-3,-6,-12.所以等比数列的首项为-3, 公比为2,所以等比数列的第四项为-3×24-1=-24.

4.(2013·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m= ( A.3 B.4 C.5 ) D.6

【解析】选C.由已知得, am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3, 因为数列{an}为等差数列, 所以d=am+1-am=1,又因为Sm=
m ? a1 ? a m ? 2

=0,

所以m(a1+2)=0,因为m≠0,所以a1=-2, 又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.

热点考向一
【考情快报】

等差(比)数列的基本运算

难度:基础题

命题指数:★★☆

题型:以选择题、填空题为主 考查方式:主要考查等差、等比数列的基本量的求解,体现方 程思想、整体思想的应用.

【典题1】(1)(2014·重庆高考)在等差数列{an}中,a1=2, a3+a5=10,则a7= ( A.5 B.8 ) C.10 D.14

(2)(2014·江苏高考)在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是 .

等差数列的 【信息联想】(1)看到等差数列的项a3,a5,想到___________

通项公式 _________.
等比数列的通项公式 (2)看到等比数列的项a2,a4,a6,a8,想到___________________.

【规范解答】(1)选B.设等差数列{an}的公差为d,因为a1=2, 所以a3+a5=2+2d+2+4d=4+6d=10, 解得d=1, 所以a7=a1+6d=2+6=8. (2)设等比数列{an}的公比为q,因为a2=1, 由a8=a6+2a4,得q6=q4+2q2, 即q4-q2-2=0,解得q2=2, 所以a6=a2q4=4. 答案:4

【互动探究】在本例(2)的条件下,求a2+a4+a6+?+a2n(n∈N*). 【解析】由已知得a2,a4,a6,?,a2n,构成以a2=1为首项,q2=2 为公比的等比数列,所以其前n项和
2 a[ 1 ? q ] 1 ? 2n ? ? 2 S n= =2n-1. ? 2 1? q 1? 2 n

【规律方法】等差(比)数列基本运算的关注点 (1)基本量:在等差(比)数列中,首项a1和公差d(公比q)是两个 基本的元素. (2)解题思路:①设基本量a1和公差d(公比q); ②列、解方程(组):把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组),然 后求解,注意整体计算,以减少计算量.

【变式训练】1.(2014·江西高考)在等差数列{an}中,a1=7,公 差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值 范围为 .

【解题提示】转化为a8>0,a9<0.
【解析】由题意得a8>0且a9<0,

所以7+7d>0且7+8d<0,
解得-1<d<7 8 7 . 8

答案: ( ?1, ? )

2.(2014·湖北高考)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得 Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.

【解析】(1)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比 数列,故有(2+d)2=2(2+4d), 化简得d2-4d=0, 解得d=0或d=4. 当d=0时,an=2;

当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,
从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2.

(2)当an=2时,Sn=2n. 显然2n<60n+800, 此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立. 当an=4n-2时,Sn= n[2 ? ? 4n ? 2 ?] =2n2.
2

令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0, 解得n>40或n<-10(舍去), 此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41. 综上,当an=2时,不存在满足题意的n. 当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.

【加固训练】1.(2014·温州模拟)已知等比数列{an}的各项均 为正数,对k∈N*,akak+5=a,ak+10ak+15=b,则ak+15ak+20=(
b2 b b b b b2 b A. ????????B. ????????C. ????????D. a a a a

)

【解析】选B.设公比为q,因为akak+5=a,ak+10ak+15=ak·q10·ak+5

·q10=a·q20=b,所以q10=

b ,所以a 15 k+15ak+20=ak·q ·ak+5 a

·q15=a·q30= a( b )3 ? b b .
a a

2.(2013·大纲版全国卷)等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9, (1)求{an}的通项公式. (2)设bn= 1 , 求数列{bn}的前n项和Sn.
na n

【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d, 则an=a1+(n-1)d.
?a1 ? 6d ? 4, ?a 7 ? 4, 因为 ? , 所以 ? ?a1 ? 18d ? 2 ? a1 ? 8d ? , ?a19 ? 2a 9 解得a1=1,d= 1 . 2 n ?1 所以{an}的通项公式为 a n ? . 2 (2)因为 b ? 1 ? 2 ? 2( 1 - 1 ), n na n n ? n ? 1? n n ?1 所以 Sn ? 2(1- 1 ? 1 -1 ??? 1 - 1 ) ? 2n . 2 2 3 n n ?1 n ?1

热点考向二
【考情快报】

等差(比)数列的判定与证明

难度:中档题

命题指数:★★☆

题型:客观题或作为解答题的一个小问题 考查方式:主要考查等差、等比数列的定义,常与递推关系 相结合考查.

【典题2】(2014·郑州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn, 且满足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2,n∈N*),a1= 1 . (1)求证:{ 1 }是等差数列.
Sn
2

(2)求数列{an}的通项公式.
2 2 (3)若bn=2(1-n)an(n≥2,n∈N*),求证: b2 1. 2 ? b3 ??? bn<

【现场答案】

【纠错析因】找出以上现场答案的错误之处,分析错因,并给出 正确答案. 提示:以上解题过程中出错之处是第(2)小题an的通项公式求错, 原因是求通项公式时忽略了对n=1的讨论,导致通项公式不完整.

【规范解答】(1)由an+2Sn·Sn-1=0(n≥2,n∈N*), 得Sn-Sn-1+2Sn·Sn-1=0, 所以 1 - 1 =2(n≥2,n∈N*),
Sn Sn-1 故{ 1 }是等差数列. Sn (2)由(1)知, 1 =2n, Sn 1 1 1 1 故Sn= ,a n ? Sn ? Sn ?1 ? ? (n≥2, n∈N*), ?? 2n 2n 2 ? n- 1? 2n(n ? 1) ?1 , n ? 1, ? 2 所以an= ? ? 1 ?- , n ? 2. 1? ? ? 2n ? n-

(3)b n ? 2(1 ? n) [? 所以b 2 n ?

1 1 ] ? ? n ? 2, n ? N *? , 2n ? n- 1? n

1 1 1 1 < ? ? ? n ? 2, n ? N *?, 2 n n ? n- 1? n- 1 n

1 1 1 1 1 1 2 2 所以b 2 ? b ??? b < 1 ? ? ? ??? ? ? 1 ? < 1. 2 3 n 2 2 3 n- 1 n n

【规律方法】判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法 (1)定义法:对于n≥1的任意自然数,验证an+1-an (或 a n ?1 )
an

为同一常数. (2)通项公式法: ①若an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d或an=kn+b(n∈N*),则{an}为等差 数列; ②若an=a1qn-1=amqn-m或an=pqkn+b(n∈N*),则{an}为等比数列.

(3)中项公式法: ①若2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2),则{an}为等差数列;
*,n≥2),则{a }为等比数列. ②若 a 2 =a · a (n∈N n-1 n+1 n n

【变式训练】
1.(2014·重庆模拟)已知等比数列(an)的公比为q,记bn= am(n-1)+1+am(n-1)+2+?+am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1·am(n-1)+2·?· am(n-1)+m,(m,n ? N*)则以下结论一定正确的是( A.数列{bn}为等差数列,公差为qm B.数列{bn}为等比数列,公比为q2m C.数列{cn}为等比数列,公比为 q m
2

)

D.数列{cn}为等比数列,公比为 q m

m

【解析】选C.①bn=am(n-1)(q+q2+?+qm),当q=1时, bn=mam(n-1),bn+1=mam(n-1)+m=mam(n-1)·qm=bn·qm.

当q≠1时,bn=am(n-1)×

q ? q m ? 1?

q ?1 q ?1 m q q ? 1? ,此时 b n ?1 =qm,选项B不正确, m ? =am(n-1)q · bn q ?1 q ? q m ? 1? m

,bn+1=am(n-1)+m·

q ? q m ? 1?

又bn+1-bn=am(n-1)×

q ?1

(q -1),不是常数,故选项A不正确.

②cn=am(n-1)+1·am(n-1)+2·?·am(n-1)+m, cn+1=amn+1·amn+2·?·amn+m,
m 2 c n ?1 a mn ?1 a mn ? 2 ? a mn ? m m m m m ? ? q q ?q ? ? q ? ? q m .故C正确. cn a m(n-1)?1 a m(n-1) ? 2 ? a m(n-1) ?m

2.(2013·陕西高考)设Sn表示数列{an}的前n项和. (1)若{an}是等差数列,推导Sn的计算公式.
n 1 - q (2)若a1=1,q≠0,且对所有正整数n,有Sn= .判断{an}是否 1- q

为等比数列,并证明你的结论.

【解析】(1)设公差为d,则an=a1+(n-1)d,
?Sn ? a1 ? a 2 ??? a n-1 ? a n , ? 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+?+(an-1+a2) ? ?Sn ? a n ? a n-1 ??? a 2 ? a1 +(an+a1)?2Sn=n(a1+an)?Sn= n(a1 ? a n ) ? n(a1 ? n-1 d). 2 2

(2){an}是等比数列.证明如下:
n n ?1 n n n ?1 1 - q 1 - q 1 - q q - q 因为 Sn ? ? a n ?1 ? Sn ?1-Sn ? - ? ? qn , 1 -q 1 -q 1 -q 1 -q

又因为a1=1,q≠0,所以当n≥1时,
a n ?1 qn 有 ? n-1 ? q, an q

因此,数列{an}是首项为1,公比q≠0的等比数列.

【加固训练】1.已知数列{an},其前n项和为Sn= 3 n2+ 7 n
2 2

(n∈N*). (1)求a1,a2. (2)求数列{an}的通项公式,并证明数列{an}是等差数列. (3)如果数列{bn}满足an=log2bn,试证明数列{bn}是等比数列, 并求其前n项和Tn.

3 【解析】(1)a1=S1=5,a1+a2=S2= ×22+ 7 ×2=13,解得a2=8. 2 2

(2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1
3 2 7 [n -(n-1)2]+ [n-(n-1)] 2 2 = 3 (2n-1)+ 7 =3n+2. 2 2

=

又a1=5满足an=3n+2, 所以an=3n+2(n∈N*). 因为an-an-1=3n+2-[3(n-1)+2]=3(n≥2,n∈N*). 所以数列{an}是以5为首项,3为公差的等差数列.

(3)由已知得bn= 2 a (n∈N*),
n

b n ?1 2a n ?1 3 * ? a n ? 2a n ?1-a n =2 =8(n∈N ), bn 2

又b1= 2a =32,
1

所以数列{bn}是以32为首项,8为公比的等比数列. 所以Tn=
32 ?1 -8n ? 1 -8 ? 32 n 8 ? 1? . ? 7

2.(2014·沈阳模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+ (-1)n(n∈N*). (1)求数列{an}的前三项a1,a2,a3. (2)求证:数列{an+ 2 (-1)n}为等比数列,并求出{an}的通项公
3

式.

【解析】(1)在Sn=2an+(-1)n(n∈N*)中分别令n=1,2,3得
?a1 ? 2a1 ? 1, ?a1 ? 1, ? ? a ? a ? 2a ? 1 , 解得 ? 1 2 ?a 2 ? 0, 2 ?a ? a ? a ? 2a - ?a ? 2. 3 3 1, ? 1 2 ? 3

(2)由Sn=2an+(-1)n(n∈N*)得: Sn-1=2an-1+(-1)n-1(n≥2),两式相减得: an=2an-1-2(-1)n(n≥2),

an=2an-1- 4 (-1)n- 2 (-1)n
3

3 2 =2an-1+ 4 (-1)n-1- (-1)n(n≥2), 3 3 所以an+ 2 (-1)n=2[an-1+ 2(-1)n-1](n≥2). 3 3 故数列{an+2 (-1)n}是以a1- 2 =1 为首项,公比为2的等比 3 3 3

数列.
所以an+ 2 (-1)n= 1×2n-1,所以an=1 ×2n-1- 2×(-1)n=
3 3 3 3

2n-1 2 n - ?- 1? . 3 3

热点考向三
【考情快报】

等差(比)数列的性质
高频考向 多维探究

难度:基础、中档题

命题指数:★★★

题型:以选择题、填空题为主
考查方式:主要考查等差、等比数列项与和的性质,常与数 列通项、求和等相联系.

命题角度一

与等差(等比)数列的项有关的性质

【典题3】(1)(2014·嘉兴模拟)等比数列{an}前n项的乘积为

Tn,且2a3= a 2 ,则T 9= 4

.

(2)(2014·北京高考)若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,

则当n=

时,{an}的前n项和最大.

T9与a5之间的关系 【信息联想】(1)看到T9,想到________________.
等差数列的性质 (2)看到a7+a8+a9,a7+a10,想到_______________.

【规范解答】(1)设公比为q,因为2a3= a 2 , 4
a2 所以 4 =a4q=2, a3

所以T9=a1a2?a9= a 59 =(a4q)9=29=512. 答案:512 (2)a7+a8+a9=3a8>0,a7+a10=a8+a9<0, 所以a8>0,a9<0. 所以{an}的前8项为正数,从第9项开始为负数, 所以n=8时,{an}的前n项和最大. 答案:8

命题角度二

与等差(等比)数列的和有关的性质

【典题4】(1)(2014·杭州模拟)等差数列{an}的前n项和 Sn=a1+a2+?+an,若S10=31,S20=122,则S30= A.153 B.182 C.242 D.273 ( )

(2)(2014·东莞模拟)在等比数列{an}中,如果a1+a2=40, a3+a4=60,那么a7+a8等于 ( A.135 B.100 C.95 ) D.80

等差数列和的性质 【信息联想】(1)看到S10,S20,S30,想到_________________.
等比数列和的性质 (2)看到a1+a2,a3+a4,a7+a8,想到_________________.

【规范解答】(1)选D.根据等差数列的性质得到:S10,S20-

S10,S30-S20成等差数列,则S30=2(S20-S10)-S10+S20=2(122-31)31+122=273,故选D.

(2)选A.利用等比数列{an}的性质有S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6成等
比数列,所以S2=40,S4-S2=a3+a4=60, 则S6-S4=90,S8-S6=135,故a7+a8=S8-S6=135. 故选A.

【规律方法】等差(比)数列的性质盘点
类型 等差数列 2ak=am+al(m,k,l∈N*且 项的 m,k,l成等差数列) 等比数列
a k 2 =am·al(m,k,l∈N*且m,k,l

成等差数列)

性质 am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*, am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N*且 且m+n=p+q) m+n=p+q)

类型

等差数列

等比数列

当n为奇数时:Sn= na a ?1
2

当n为偶数时:

S偶 S奇

=q(公比)

和的

依次每k项的和:Sk,S2k-

依次每k项的和:Sk,S2k-Sk,

性质

Sk,S3k-S2k,?构成等差数


S3k-S2k,?构成等比数列(k不
为偶数且公比q≠-1)

【变式训练】1.(2014·成都模拟)已知等差数列{an}一共有12

项,其中奇数项之和为10,偶数项之和为22,则公差为
A.12 B.5 C.2 D.1

(

)

【解析】选C.因为等差数列{an}奇数项之和为10,偶数项之和
为22,且共有12项, 所以公差d= 故选C.
偶数项的和 ? 奇数项的和 22 ? 10 =2. ? 12 6 2

2.(2014·梅州模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9=72, 则a2+a4+a9= .

【解析】因为{an}是等差数列, 所以S9=9a5,a5=8, 所以a2+a4+a9=(a2+a9)+a4=(a5+a6)+a4=3a5=24.

答案:24

【加固训练】(2014·衡水模拟)等差数列{an}中,3(a3+a5) +2(a7+a10+a13)=24,则该数列前13项的和是( A.13 B.26 C.52 D.156 )

【解析】选B.因为3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24, 所以6a4+6a10=24,所以a4+a10=4, 所以 S13 ? 13(a1 ? a13 ) ? 13(a 4 ? a10 ) ? 13 ? 4 ? 26.
2 2 2

【备选考向】等差(比)数列的实际应用 【典题】(2014·黄冈模拟)某工业城市按照“十二五”(2011 年至2015年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求,进行减 排治污.现以降低SO2的年排放量为例,原计划“十二五”期间 每年的排放量都比上一年减少0.3万吨,已知该城市2011年SO2

的年排放量约为9.3万吨.

(1)按原计划,“十二五”期间该城市共排放SO2约多少万吨? (2)该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召, 决定加大减排力度.在2012年刚好按原计划完成减排任务的条 件下,自2013年起,SO2的年排放量每年比上一年减少的百分率 为p,为使2020年这一年SO2的年排放量控制在6万吨以内,求p的 取值范围. (参考数据: 8 2 ≈0.9505, 9 2 ≈0.9559)
3 3

【解析】(1)设“十二五”期间,该城市共排放SO2约y万吨,依
题意,2011年至2015年SO2的年排放量构成首项为9.3,公差为

-0.3的等差数列,
(5 ? 1) 所以y=5×9.3+ 5 ? ×(-0.3)=43.5(万吨). 2

所以按原计划“十二五”期间该城市共排放SO2约43.5万吨.

(2)由已知得,2012年SO2的年排放量为9.3-0.3=9(万吨),

所以2012年至2020年SO2的年排放量构成首项为9,公比为1-p的
等比数列.

由题意得9×(1-p)8<6,
由于0<p<1,所以1-p<
8

2 , 3

所以1-p<0.9505,解得p>4.95%. 所以SO2的年排放量每年减少的百分率p的取值范围为 4.95%<p<1.

【规律方法】等差(比)数列实际应用问题的常见模型 (1)等差数列模型:如果增加(或减少)的量是一个固定的量时, 该模型是等差数列模型,增加(或减少)的量就是公差. (2)等比数列模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的 常数,该模型是等比数列模型(如递增率或递减率),固定的数就

是公比.

(3)递推数列模型:如果题目中给出的前后两项之间的关系不固
定,随项的变化而变化时,应考虑是an与an+1的递推关系,还是Sn 与Sn+1之间的递推关系. (4)分期付款模型:设贷款总额为a,年利率为r,等额还款数为b, 分n期还完,则b=
r ?1 ? r ?
n

?1 ? r ?

n

?1

·a.

【加固训练】(2014·湖南师大附中模拟)某企业为扩大生产规

模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过
程中的设备维修、燃料和动力等消耗的费用(称为设备的低劣

化值)会逐年增加,第一年设备低劣化值是4万元,从第二年到第
七年,每年设备低劣化值均比上年增加2万元,从第八年开始,每

年设备低劣化值比上年增加25%.
(1)设第n年该生产线设备低劣化值为an,求an的表达式.

(2)若该生产线前n年设备低劣化平均值为An,当An达到或超过
12万元时,则当年需要更新生产线,试判断第几年需要更新该生

产线,并说明理由.

【解析】(1)当n≤7时,数列{an}是首项为4,公差为2的等差数 列,所以an=4+2(n-1)=2n+2. 当n≥8时,数列{an}是首项为a7,公比为 5 的等比数列,又a7= 16,所以an=16× ( 5 ) n ?7 ,
4 4 ? 2n ? 2, n ? 7, 所以an= ? ? 5 n ?7 16 ? ( ) , n ? 8. ? 4 ?

(2)设Sn表示数列{an}的前n项和,由等差及等比数列的求和 公式得 当1≤n≤7时,Sn=4n+n(n-1)=n2+3n, 当n≥8时,由S7=70,得
5 n ?7 1? ( ) 5 5 4 Sn ? S7 ? 16 ? ? ? 80 ( ) n ?7 ? 10. 5 4 4 1? 4

该生产线前n年设备低劣化平均值为
?n ? 3,1 ? n ? 7, Sn ? ? An ? ? ? 80 ( 5 ) n ?7 ? 10 n ? 4 , n ? 8. ? n ?

当1≤n≤7时,数列{An}为单调递增数列;
5 n 80 ( ) n ?7 ( ? 1) ? 10 4 4 当n≥8时,因为 Sn ?1 ? Sn ? >0, n ?1 n n(n ? 1)

所以{An}为单调递增数列.
又 S7 S S ? 10< 12, 8 ? 11.25< 12, 9 ? 12.78> 12, 7 8 9

则第九年需要更新该生产线.

函数与方程思想 ——解决数列中的求值问题 【思想诠释】 等差、等比数列问题中应用函数与方程思想的常见类型: 1.求基本量:求等差或等比数列中的某些量时,常根据题设条件 构建方程(组)求解.

2.值域(最值):求等差或等比数列中的某些量的取值范围或最
值时,经常选一变量将待求量表示成其函数或构建函数,从而转

化为求函数的值域(最值)问题求解.
3.单调性:研究等差(比)数列单调性时,常利用研究函数单调性

的方法求解.
4.比较大小:等差(比)数列中某些量的大小比较,常利用比较函

数值大小的方法,如单调性法、作差法等.

【典例分析】 【典题】(2014·石家庄模拟)已知数列{an}是各项均为正数的 等差数列. (1)若a1=2,且a2,a3,a4+1成等比数列,求数列{an}的通项公式an. (2)在(1)的条件下,数列{an}的前n项和为Sn,设bn=
1 1 1 若对任意的n∈N*,不等式b ≤k恒成立,求 ? ??? , n Sn ?1 Sn ?2 S2n

实数k的最小值.

【思想联想】(1)知道a1的值,a2,a3,a4+1成等比数列,联想到方 程思想,列方程求解. (2)题目涉及恒成立、求最值问题,联想到函数思想,构建函数 或利用函数性质求解.

【规范解答】

【能力迁移】 已知等比数列{an}满足an+1+an=9·2n-1,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设数列{an}的前n项和为Sn,若不等式Sn>kan-2对一切n∈N* 恒成立,求实数k的取值范围. 【思想联想】(1)根据所给等式,由n=1,2得出两特殊式,可联想 到利用方程思想求得a1和q的值. (2)涉及恒成立问题,可联想到函数思想,利用函数的单调性求 出最值.

【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,因为an+1+an= 9·2n-1,n∈N*. 所以a2+a1=9,a3+a2=18, 所以q= a 3 ? a 2 ? 18 ? 2,
a 2 ? a1 9

所以2a1+a1=9,所以a1=3. 所以an=3·2n-1,n∈N*.

(2)由(1)知, S n=
a1 ?1 ? q n ? 1? q ? 3 ?1 ? 2n ? 1? 2

=3(2n-1), 所以3(2n-1)>k·3·2n-1-2,
1 . n ?1 32 令f(n)= 2 ? 1n ?1 , 则f(n)随n的增大而增大, 32 1 所以f(n)min= f(1)=2- = 5 ,所以k< 5 . 3 3 3 5 所以实数k的取值范围是(-≦, ). 3

所以k< 2 ?


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