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平面向量的数量积及运算律


第十一教时
教材:平面向量的数量积及运算律 目的:掌握平面向量的数量积的定义及其几何意义,掌握平面向量数量积的性质和 它的一些简单应用。 过程: 一、复习:前面已经学过:向量加法、减法、实数与向量的乘法。 它们有一个共同的特点,即运算的结果还是向量。 但这种运算与实数的运算有了很大的区别。 F 二、 导入新课: ? 1.力做的功:W = |F|?|s|cos? s ?是

F 与 s 的夹角 2.定义:平面向量数量积(内积)的定义,a?b = |a||b|cos?, 并规定 0 与任何向量的数量积为 0。? C 3.向量夹角的概念:范围 0?≤?≤180?
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? = 0? A B ? = 180? O B O A O ?

A A O B ? B O

A ? C B O

A

B

?

4.注意的几个问题;——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 1?两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos?的符号所决定。 2?两个向量的数量积称为内积,写成 a?b;今后要学到两个向量的外积 a × b,而 ab 是两个数量的积,书写时要严格区分。 3?在实数中,若 a?0,且 a?b=0,则 b=0;但是在数量积中, 若 a?0,且 a?b=0,不能 推出 b=0。因为其中 cos?有可能为 0。这就得性质 2。 4?已知实数 a、b、 c(b?0),则 a b=bc ? a=c。但是 a?b = b?c ? a = c 如右图:a?b = |a||b|cos? = |b||OA| a b?c = |b||c|cos? = |b||OA| c ?ab=bc 但 a ? c ?? b 5?在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c ? a(b?c) O A 显然,这是因为左端是与 c 共线 的向量,而右端是与 a 共线的向量, 而一般 a 与 c 不共线。 5.例题、P116—117 例一 (略) 三、投影的概念及两个向量的数量积的性质: 1. “投影”的概念:作图
B O b O O ? A B O b ? a B1 B1 O O a O A B O b ? O (B ) 1 OO a A

定义:|b|cos?叫做向量 b 在 a 方向上的投影。 注意:1?投影也是一个数量,不是向量。 2?当?为锐角时投影为正值; 当?为钝角时投影为负值; 当?为直角时投影为 0; 当? = 0?时投影为 |b|; 当? = 180?时投影为 ?|b|。 2.向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积。 3.两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为 两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量。 1?e?a = a?e =|a|cos? 2?a?b ? a?b = 0 3? 当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|;当 a 与 b 反向时,a?b = ?|a||b|。 特别的 a?a = |a|2 或 | a |? a ? a a ?b 4?cos? = | a || b | 5?| a?b| ≤ |a||b| 四、例题: 《教学与测试》P151 第 72 课 例一(略) 五、小结:向量数量积的概念、几何意义、性质、投影 六、作业: P119 练习 习题 5.6 1—6
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