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武汉市部分重点中学2014-2015学年度下学期高二期中测试数学试题(文科word含答案)


武汉市部分重点中学 2014-2015 学年度下学期高二期中测试 数学试卷(文科)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 (1)命题“任意 x ? R ,都有 x ? x ? 1>0”的否定为(
2


2

A.对任意 x ?

R ,都有 x ? x ? 1≤0
2

B.不存在 x ? R ,都有 x ? x ? 1≤0 D.存在 x0 ? R ,使得 x02 ? x0 ? 1 ≤0
[来源:Zxxk.Com]

C.存在 x0 ? R ,使得 x02 ? x0 ? 1 >0

(2)已知命题 p : 对任意 x ? R ,总有 | x |? 0 ; q : x ? 1 是方程 x ? 2 ? 0 的根,则下列命 题为真命题的是 ( )

A. p ? ?q

B.?p ? q

C.?p ? ?q


D. p ? q

(3)设条件 p: a ? 0 ;条件 q: a 2 ? a ? 0 ,那么 p 是 q 的 ( A.必要而不充分条件 C.充分必要条件 (4)抛物线 y ? B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件 ) C. y ? ?1

1 2 x 的准线方程是( 4 1 1 A. x ? ? B. x ? ? 16 8

D. y ? ?2

(5 )双曲线 C: 的焦距等于( A. 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2,焦点到渐近线的距离为 3 ,则 C a 2 b2
) B. 2 2 C.4 D. 4 2

(6)已知椭圆 C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点为 F1、F2,离心率为 ,过 F2 的 2 a b 3


直线 l 交 C 与 A、B 两点,若△AF1B 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为( A.

x2 y 2 ? ?1 3 2

B.

x2 ? y2 ? 1 3
1

C.

x2 y 2 ? ?1 12 8

D.

x2 y 2 ? ?1 12 4

(7)过双曲线 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1 的右顶点作 x 轴的垂线与 C 的一条渐近线相交于 A ,若以 C b2

的右焦点为圆心、 半径为 4 的圆经过 A、O两点(O为坐标原点), 则双 曲线 C 的方程为 ( A. )

x2 y2 ? ?1 4 12

B.

x2 y2 ? ?1 7 9

C.

x2 y2 ? ?1 8 8

D.

x2 y2 ? ?1 12 4

(8)已知 y ? ( )

1 3 x ? bx 2 ? (b ? 2) x ? 3 是 R 上 的 单 调 增 函 数 , 则 b 的 取 值 范 围 是 3
B.

A. b ? ?1或b ? 2

b ? ?1或b ? 2

C. ? 1 ? b ? 2

D. ? 1 ? b ? 2

(9)已知点 P 是抛物线 y 2 ? 2 x 上的一个动点,则点 P 到点 M (0, 2) 的距离与点 P 到该抛 物线准线的距离之和的最小值为( A.3 B. ) C. 5 D.
'

17 2

9 2

[来源:学*科*网]

(10)函数 f(x)的定义域为开区间(a,b) ,其导函数 f ? x ? 在(a,b)内的图象如下图 所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内有( )极值点

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

' ' (11) 定义域为 R 的可导函数 y ? f ?x ? 的导函数为 f ? x ? , 满足 f ?x ? ? f ?x ? , 且 f ?0? ? 1,

则不等式

f ?x ? ? 1 的解集为( ex

) C. ?? ?,2? D. ?2,???

A. ?? ?,0?
2

B. ?0,???

(12)已知二次函数 y ? ax ? bx ? c(ac ? 0) 图象的顶点坐标为 ( ?

b 1 ,? ), 与 x 轴的交点 2a 4a

P、Q 位于 y 轴的两侧,以线段 PQ 为直径的圆与 y 轴交于(0,4)和(0,-4) ,则点(b,c)所 在曲线为( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。
2 (13)命题“若 x ? 0 ,则 x ? 0 ”的否命题是

. .

(14)函数 y ? ln x ? x 的递增区间是

2

(15)已知椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交 E 于 A, a 2 b2
.

B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为

(16)若函数 f ( x) ? x2 ? ln x ? 1 在其定义域内的一个子区间 (a ? 1, a ? 1) 内存在极值,则 实数 a 的取值范围 .

1 2

三、解答题:解答应写出文字说明过 程或演算步骤。 (17) (本题满分 10 分)直线 y ? x ? 4 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A、B 两点,F 为抛物线的

焦点,求△ABF 的面积。
(18) (本题满分 12 分)已知命题 p: 4 - x ? 6, q : x ? 2x ? 1 ? a ? ( 0 a ? 0) ,若非 p
2 2

是 q 的充分不必要条件,求 a 的取值范围。

(19) (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3x(a, b ? R) ,在点 (1, f (1)) 处的 切线方程为 y ? 2 ? 0 . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若对于区间 [?2,2] 上任意两个自变量的值 x1 , x 2 ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? c ,求实 数 c 的最小值; (20) (本小题满分 12 分)已知 A(-2,0) ,B(2,0)为椭圆 C 的左、右顶点,F 为其右焦 点,P 是椭圆 C 上异于 A,B 的动点,△APB 面积的 最大值为 2 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 AP 的倾斜角为

3? ,且与椭圆在点 B 处的切线交于点 D,试判断以 BD 为直径 4

的圆与直线 PF 的位置关系,并加以证明.

3

(21) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 ? =1 (a>b>0) ,若椭圆 C 上的一动点到右焦点的最短距离为 2 ? 2 , a 2 b2 a2 的距离等于短半轴的长,已知 P ? 4, 0 ? ,过 P 的直线与椭圆交于 M、 c

且右焦点到直线 x ? N 两点

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程

(Ⅱ)求 OM ? ON 的取值范围

uuur uuu r

x (22) (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? e , g ( x ) ?

1nx . x

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ) ?x0 ? (0, +?) ,使不等式 f ( x) ? g ( x) ? e 成立,求 a 的取值范围.
x

4

武汉市部分重点中学 2014-2015 学年度下学期高二期中测试 数学试卷(文科)答案
一.选择题 DABC CAAD BCBB 二.填空题 13. 若 x ? 0 ,则 x ? 0
2

14.(0,1] 16. [1, )

(0,1)也给满分 填

x2 y 2 ? ?1 15. 18 9

3 2

三.解答题 17.解:设 A(x1,y1)、B(x2,y2), 直线交 x 轴于 C(4,0)点,知 F(1,0), FC ? 3 解? ????2 分

?y ? x ? 4 2 得 y -4y-16=0 ?????? 4 分 2 ? y ? 4x
?????? 8 分

得|y2-y1|=4 5

1 1 ??? 10 分 2 2 其他方法酌情给分 18. 解:对于 p: |4-x|≤6,∴|x-4|≤6,∴-6≤x-4≤6,解得-2≤x≤ 10 ∴?p:A={x|x>10,或 x<-2}????2 分

S△ABF= ? | FC | ? | y 2 ? y1 | = ×3×4 5 =6 5

对于 q: x -2x+1- a ≥0,解得 x≥1+a,或 x≤1-a, 记 B={x|x≥1+a,或 x≤1-a}????5 分 ∵?p 是 q 的充分不必要条件,∴ A ? B ∴?

2

2

?1 ? a ? ?2 解得 a≤3,又 a>0,∴0<a≤3. ?1 ? a ? 10

∴a 的取值范围为 ? 0,3? ????10 分 19. 解(I)? f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? 3
2

????2 分

根据题意,得 ?

? f (1) ? ?2, ? f ?(1) ? 0,

即?

?a ? b ? 3 ? ?2, ?3a ? 2b ? 3 ? 0,
????6 分

解得 ?

?a ? 1, ?b ? 0.

? f ( x) ? x 3 ? 3x.

5

(2)令 f ?( x) ? 3x 2 ? 3 ? 0 ,解得 x ? ?1

f (?1) ? 2, f (1) ? ?2 , f (?2) ? ?2, f (2) ? 2

?当x ? [?2, 2] 时, f ( x)max ? 2, f ( x)min ? ?2.

????10 分

则对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值 x1 , x2 ,都有

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| f ( x)max ? f ( x)min |? 4
所以 c ? 4. 所以 c 的最小值为 4。 ????12 分

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 b 20. 解: (I)由题意可设椭圆 C 的方程为 a , F (c, 0) .

?1 ? ? 2a ? b ? 2 3 , ?2 ? a?2 由题意知 ? 解得 b ? 3 .
x2 y 2 ? ?1 3 故椭圆 C 的方程为 4 .
(2)以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切.
[来源:学科网]

????

2分

???? 4 分

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

证明如下:由题意可知, c ? 1 , F (1, 0) ,直线 AP 的方程为 y ? ? x ? 2 . 则点 D 坐标为 (2, -4) , BD 中点 E 的坐标为 (2, -2) ,圆的半径 r ? 2 ???? 6分

? y ? ?x ? 2 ? 2 ?x y2 ?1 ? ? 2 3 由? 4 得 7 x ? 16 x ? 4 ? 0 .

设点 P 的坐标为 ? x0 , y0 ?

2 ? x0 ? ? ? ? 7 ,则 ? ? y ? ? 12 0 ? 7 ?

.????10 分

因为点 F 坐标为(1,0) ,直线 PF 的斜率为

4 ,直线 PF 的方程为 4x-3y-4=0, 3

点 E 到直线 PF 的距离为 d ?

8?6?4 ?2 5

所以 d=r,故以 BD 为直径的 圆与 PF 相切.????12 分 21.解:

6

?a ? c ? 2 ? 2 ? ? ?a ? 2 解: (Ⅰ)由题意知 ? a 2 , 解得 ? , ? ?b ? 2 ? ?c ?b ?c
故椭圆 C 的方程

x2 y 2 ? ? 1 . ???????????????????? 4 分 4 2
[来源:学科网 ZXXK]

(Ⅱ)由题意知直线 MN 的斜率存在,设直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 4) .

? y ? k ( x ? 4), ? 由 ? x2 y 2 ? 1. ? ? ?4 2

得 (2k 2 ? 1) x2 ?16k 2 x ? 32k 2 ? 4 ? 0 .

V? (?16k 2 )2 ? 4(2k 2 ? 1)(32k 2 ? 4) ? 16 ? 96k 2 ? 0

?k2 ?

1 ????????? ?????????? ?6 分 6

设点 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,

16k 2 x1 ? x2 ? 2 2k ? 1 32k 2 ? 4 x1 x2 ? 2k 2 ? 1 y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 4)( x2 ? 4) ? 12k 2 2k 2 ? 1

uuu r uuu r 44k 2 ? 4 26 1 2 OM ? ON=x1 x2 ? y1 y2 ? =22 ? 2 , 0 ≤ k ? ???10 分 2 6 2k ? 1 2k ? 1 uuur uuu r 5 即 OM ? ON ? [ ?4, ) . ????????? ?????????? ?12 分 2
22.解(1)∵ f ? ? x ? ? a ? e , x ? R
x

????

1分 ???? 3分

当 a≤0 时, f ? ? x ? ? 0 恒成立,f(x)在 R 上单调递减; 当 a>0 时,令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x=lna, 由 f ? ? x ? ? 0 得 f(x)的单调递增区间为 ? ??,ln a ? ; 由 f ? ? x ? ? 0 得 f(x)的单调递减区间为 ? ln a, ???

???? 5 分

7

(2)因为 ?x0 ? ? 0, ??? ,使不等式 f ? x ? ? g ? x ? ? e

x

,则 ax ?

ln x ln x ,即 a ? 2 , x x
8分

ln x ,则问题转化为 a ? h ? x ?max , x2 1 ? 2 ln x 由 h? ? x ? ? ,令 h? ? x ? ? 0 ,则 x ? e , x3
设 h ? x? ?

????

当 x 在区间 ? 0, ?? ? 内变化时, h? ? x ? , h ? x ? 变化情况如下表: x

? 0, e ?
+ 0

e

?
-

e , ??

?

h? ? x ?
h(x)

1 2e 1 , 2e

由上表可得,当 x= e 时,函数 h(x)有最大值,且最大值为 所以 a≤

1 2e

???? 12 分

8


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